考点33直线、平面垂直的判定及其性质

1、考点33 直线、平面垂直的判定及其性质、选择题1. (2011 辽宁高考理科-T 8)如图，四棱锥 S-ABCD的底面为正方形，SD丄底面ABCD则下列结论中不正确的是(A) AC 丄 SB (B) AB /平面 SCD (C) SA与平面SBD所成的角等于 SC与平面SBD所成的角 (D)AB与SC所成的角等于 DC与 SA所成的角【思路点拨】 先逐项分析，再判断结论.【精讲精析】选D.选项具体分析结论A四棱锥S-ABCD勺底面为正方形，所以 AC! BD,又SDI底面ABCD所以SD丄AC,从而AC丄面SBD故AC丄SB.正确B由AB/ CD 可得AB/平面SCD正确C选项A中已证得AC丄

2、面SBD又SA=SC所以SA与平面SBD所成的角 SAC等于SC与平面SBD所成的角 SCA正确DAB与SC所成的角为 SCD，此为锐角，而 DC与SA所成的角即AB与SA所成的角，此为 直角，二者不相等.不正确2. (2011 浙江高考理科-T 4)下列命题中错误的是(A)(B)如果平面丄平面，那么平面内一定存在直线平行于平面如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面(C)如果平面丄平面，平面丄平面I，那么I丄平面(D)如果平面丄平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【思路点拨】 本题考查空间线面的垂直关系【精讲精析】选D.如果平面 丄平面，那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面

3、，其它与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故D项叙述是错误的.二、解答题3. （2011 江苏高考-T 16）如图，在四棱锥 P ABCD中，平面PAD_平面ABCDABAD, / BAD=60 , E、F 分别是 AP AD的中点求证：（1）直线EFH平面PCDPAD(Mic题连结BD.因为AB AD , BAD 60 ,所以 ABD为等边三角形.因为F分别是AD的中点,所以（2）平面BEFL平面【思路点拨】本题证明的线面平行和面面垂直，解决的关键是根据线面平行和面面垂直的判定定理寻找需 要的条件，注意要把所需的条件摆充分【精讲精析】又因为EF 平面PCD,PD 平（1）在 PAD中，因为E,

4、F分别是AP,AD的中点，所以EF/ PD ,面PCD,所以直线EF /平面PCD .平面PAD 平面ABCDBF AD .因为平面PAD 平面ABCD , BF 平面ABCD ,又因为所以BF 平面pad .又因为BF 平面BEF，所以平面BEF 平面PAD .4. （2011 新课标全国高考理科-T18）如图，四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为平行四边形.DAB 60o, AB 2AD, PD底面ABCD.(I)证明：PA BD(II )设PD AD 1,求棱锥D PBC的高.【思路点拨】第问，通过证明BD 平面 PAD PA明BD AD时,可利用勾股定理2 2 2BD AD AB ,

5、第（2）问，在Rt PDB中，可证PB边上的高即为三棱锥D PBC的高，其长度利用等面积法可求【精讲精析】（I ）因为 DAB 60 ,AB 2AD ,由余弦定理得BD J3aD从而 BD+AD= AB2, 故 BD AD.又PD 底面ABCD可得BD PD.所以BD 平面PAD. 故PA BD(n)过D作DEIPB于E,由(I )知BCIBD,又PD!底面 ABCD ,所以Bc丄平面PBD而DE 平面PBD故DEI BC所以DE丄平面PBC由题设知PD=1,贝U BD=73 ,PB=2 ,由 DE. PB=PD. BD得 DE,2即棱锥DPBC的高为5. (2011辽宁高考文科-T 18)(

6、本小题满分12分)如图，四边形 ABCD为正方形,1QA!平面 ABCD PD/ QA QA=AB PD.2(I )证明：PQI平面DCQ(II )求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥 P-DCQ的体积的比值.由已知可证面PDAQ面 ABCD【思路点拨】(IDC ADPQDC由已知可得DQ PQPQQDPQ 面 DCQ ；(II )设出正方形的边长为 a，分别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值.【精讲精析】(I)由条件知PDAQ为直角梯形因为 QAL平面ABCD所以平面PDAQ丄平面ABCD交线为AD 又四边形ABCD为正方形,DC丄AD，所以DC丄平面PDAQ，可得PQ DC .在直角梯形PDAQ

7、中可得DQ PQ匝PD，贝PQ QD .2所以PQ 平面DCQ .(II )设 AB a .由题设知AQ为棱锥Q ABCD的高，所以棱锥 Q ABCD的体积V；3由（I ）知PQ为棱锥P DCQ的高，而PQ=J5a , DCQ的面积为空322所以棱锥P DCQ的体积V2 a33故棱锥Q-ABCD勺体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1.12分6. （2011 广东高考文科-T 18）图5所示的几何体是将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的.A , A, B,B分别为Cd , Cd , De , De的中点,0,01,02,02 分别为 CD,CD,

8、DE,DE的中点.（1）证明：O；,A,O2,B四点共面;（2）设G为AA 中点，延长 a。；到H,使得01h aO；.证明：B02 平面H B G【思路点拨】（1）证明01 A/O2B，从而它们确定一个平面，这个四点同在此平面内作辅助线如图，证 B02 H G , B02 H B从而得结论.【精讲精析】【证明】证明：（1）Q A, A分别为Cd,Cd中点,01 A /O1A连接B0Q直线BQ是由直线A0平移得到A01 / 佗020i A / /B020 ,A,02,B共面.（2）将A0延长至H使得0日=0人，连接HQ ,HB,H H由平移性质得Oj 02与HB平行且相等BO2 / /HO1Q

9、 AGH O, , H H AH ,O1 H HGA HGAH1O1 H HH O,H GH A -2O1 HH GBO2HGQO1O2BO2 ,O O2O2 O2，BO2O2O2O2O1 O2平面B BO2O2O1 O2BO2BO2H BQ H BH G Hbo2平面H BG.即求二面角P AD B的余弦值为7. （2011 广东高考理科-T 18）如图5,在锥体P ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且 DAB 60，PAPD 72, PB 2, E,F 分另IJ是BC, PC的中点证明：AD 平面DEF【思路点拨】（1）证明AD EF, ADDE从而证得AD 平面DEF ；（2）取AD

10、的中点G,连结PG BG.，证 PGB是所求二面角的平面角，在PGB中由余弦定理可求得所求面角的余弦.【精讲精析】(1 )证明：取AD的中点G连结PG BG.PA=PD AD PG.在 ABG中,GAB=boO,AG=1 , AB=1,AGB=9O0 ,即 AD GB.又 PG GB=G AD 平面 PGB 从而 AD PB.E,F分别是BC,PC的中点， EF/PB ,从而ADEF.又 DE/GB, AD GB AD DE,DE EF=E,AD 平面DEF（2）由（1）知 PGB是所求二面角的平面角PGB中, P&=（72）2 G）2 I,BG=1 sin60 0=半，PB=2.由余弦定理得

11、2 2 2cos PGB _BG_PB-2PG BG734447 43 丁 T8. (2011 山东高考文科-T 19)(本小题满分如图，在四棱台 ABCD ABGDj中，D1DABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD ,AD=A 1B1 ,BAD= 60(I)证明:AA1 BD ；12 分）平面(n)证明:CC1II 平面 A1BD .【思路点拨】(I )本题考查线面垂直的判定定理，以及空间位置关系的转化思想，要证AA 1 BD，可先证BD平面ADD1A1,只需证D1DBD, BDIAD 由 D1D 平面 ABCD，所以 DQ BD,设 AD=a 则AB=2a由余弦定理得：BD2 (

12、2 a)2a2 2a 2a cos60。332,所以BDa，在由勾股定理的逆定理判断BDI AD.原命题得证.(II )本小题考查线面平行的判定，只需在平面ABD内找一条直线和 CG平行即可，因此可连结 AC, Ac,设 ACI BD E，连结 EA ,只要证CC / EA即可.【精讲精析】(I)证明：因为AB=2AD，所以设 AD=a则 AB=2a,又因为 BAD= 60 ,所以在 ABD中,由余弦定理得：BD2(2 a)22o2a 2a 2a cos603a ,所以 BD=J3a ,所以 AD2 BD2 AB2,故 BDI AD,又因为DiD 平面ABCD，所以DiD BD,又因为AD D

13、1D D ,所以BD 平面ADD1A1,故AAiBD .(II)连结AC, AiC,设 AC I BD E ,连结EA,因为四边形 ABCD为平行四边形,AC2由棱台定义及 AB=2AD=2的知CC / EA ,所以EC又因为EA 平面AiBD, CG 平面AiBD, 所以CCJ平面A1BD .9. (2011 北京高考文科-T17) (14 分)如图，在四面体 PABC中, PC AB, PA BC，点 D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB勺中点.(I)求证：DE/平面BCP(n)求证：四边形 DEFG为矩形;(川)是否存在点 Q到四边形PABCD条棱的中点的距离相等？说明理由BC【

14、思路点拨】BC(I)禾U用线面平行的判定定理进行证明;(n)先证DEFG为平行四边形，再证明相邻两边垂直；(川)假设存在，再证明【精讲精析】(I)因为 D,E分别为AP,AC的中点,所以 DE/PC.又因为DE 平面BCP所以DE/平面BCP.(n )因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,所以 DE/PC/FG , DG/AB/EF所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC AB,所以DE DG.所以四边形DEFG为矩形.（川）存在点Q满足条件，理由如下:1 连接DF,EG设Q为EG的中点，由（n）知， DF I EG Q,且QD QE QF QG - EG，分别2取P C,A

15、B的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN与（n）同理，可证四边形 MENG矩形，其对角线交点为 EG3考查思维能力.二是向量法，主要考查向量的运用，而向量法又有两种，一是坐标法，二是基底法XV 匚旷【精讲精析】（I）因为OA OC,D是AC的中点,所以AC 0D.P0是平面POD内的两条相交直线，所以P0 底面e O,AC 底面e O,所以AC OD.AC 平面P0D;（II ）由（I ）知，AC 平面P OD,又AC 平面PAC,所以平面POD 平面PAC,在平面POD中,POgODJPO2 OD2过0作0H PD于H,则0H 平面PAC,连结CH，则CH是0C在平面PAC上的射影，

16、所以 OCH是直线0C和平面PAC所成的角.在 RtVPOD中,0HRtV0HC 中,sin 0CH OT 普11. （ 2011 陕西高考文科-T16）（本小题满分12分）如图，在 ABC中，/ ABC=45 , / BAC=90 , AD是 BC上的高，沿 AD把 ABD折起，使/ BDC=90 .(I)证明：平面 ADBL平面BDC(n)若 BD=1,求三棱锥 D ABC的表面积.【思路点拨】(I)确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变,再由面面垂直的判定定理进行推理证明；(n)充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算.【精讲精析】(I

17、)T折起前 AD是BC边上的高,当 ABD折起后，ADX DC, AD丄 DB又DB DC= D,. AD丄平面BDC又 AD U 平面 BDC.平面ABDL平面BDC(n)由(I)知，DADB, DB DC , DCDA,Q DB=DA=DC=1 / ABC=ab=bc=ca=2 ,S DAB S DBC S dCASvabc2忑血sin 60三棱锥 DABC的表面积是12. ( 2011 天津高考文科-T17)如图，在四棱锥 P- ABCD 中,底面ABCD为平行四边形,ADC 450, AD = AC =1 , O 为AC中点，PO平面ABCD，” PO=2 , M为PD中点.(I)证明

18、:PB/ 平面 ACM ;(n)证明:AD平面PAC ;(川)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.【思路点拨】(1)证明MO/PB;(2)证明AD垂直于平面PAC内的两条相交直线 PO AC;取OD的中点N,证明DMAN即为所求的线面角,又M为PD的中点，所以 PB/MO.因为PB ?平面ACM MO 平面ACM所以PB/平面ACM.(n)证明：因为ADC 45，且 AD=AC=1 所以 DAC 90，即 AD AC，又 PO 平面 ABCDAD 平面ABCD所以PO AD ,而AC PO 0，所以AD 平面PAC.1面ABCD得MN 平面ABCD所以(川)取DO中点N,连接MN AN因为M为PD的中点，所以MN/PO,且MN - PO 1 由 PO 平 2MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，在 Rt DAO中，AN = - DO =逻24从而 AN 二一DO =24在 Rt ANM 中,tan MANMNAN仪5，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为虫5513.(2011 浙