统计学：二项分布与泊松分布PPT课件

1、第1页,医 学 统 计 学,主讲 程 琮,泰山医学院预防医学教研室 ,医学本科生用,第2页,The teaching planfor medical students,Professor Cheng Cong,Dept. of Preventive Medicine Taishan Medical College,MEDICAL STATISTICS,第3页,医学统计学教授，硕士生导师。男，1959年6月出生。汉族，无党派。1982年12月，山东医学院公共卫生专业五年本科毕业，获医学学士学位。1994年7月，上海医科大学公共卫生学院研究生毕业，获医学硕士学位。2003年12月晋升教授。现任预防

2、医学教研室副主任。主要从事医学统计学、预防医学，医学人口统计学等课程的教学及科研工作，每年听课学生600-1000人。自2000年起连续10年，为硕士研究生开设医学统计学、SPSS统计分析教程、卫生经济学等课程，同时指导研究生的科研设计、开题报告及科研资料的统计处理与分析。发表医学统计学及预防医学的科研论文50多篇。代表作有“锌对乳癌细胞生长、增殖与基因表达的影响”，“行列相关的测度” 等。主编、副主编各类教材及专著10部，代表作有医学统计学、SPSS统计分析教程。获得院级科研论文及科技进步奖8项，院第四届教学能手比赛二等奖一项，院教学评建先进工作者一项。获2004年泰山医学院首届十大教学名师

3、奖。医学统计学为校级和省级精品课程,程琮教授简介,第4页,医学统计学目录,第1章 绪论 第2章 定量资料的统计描述 第3章 总体均数的区间估计和假设检验 第4章 方差分析 第5章 定性资料的统计描述 第6章 总体率的区间估计和假设检验 第7章 二项分布与Poisson分布 第8章 秩和检验 第9章 直线相关与回归 第10章 实验设计 第11章 调查设计 第12章 统计表与统计图,第5页,第7章二项分布与泊松分布 目录,第二节 泊松分布及其应用,第三节 两种分布的拟 合优度检验,第一节 二项分布及其应用,第6页,第7章 二项分布与泊松分布 学习要求,掌握：二项分布的概念及意义。 熟悉：二项分布的

4、适用条件及计算方法。 了解：二项分布的概率函数、性质及医学应用。 掌握：Poisson分布的概念及意义。 熟悉：Poisson分布的适用条件、医学应用及计算方法。 了解：Poisson分布的概率函数及性质。 了解：二项分布与Poisson分布的拟合优度检验的概念及意义。 了解：常用的拟合优度检验方法,第7页,第一节 二项分布及其应用,1.二项分布（binominal distribution） 是一种重要的离散型分布，在医学上常遇到属于两分类的资料，每一观察单位只具有相互独立的一种结果，如检查结果的阳性或阴性，动物试验的生存或死亡，对病人治疗的有效或无效等,一、二项分布的概念及应用条件,第8页

5、,2.二项分布定义：如果已知发生某一结果（如阳性）的概率为，其对立结果（阴性）的概率为（1-），且各观察单位的观察结果相互独立，互不影响，则从该总体中随机抽取n例，其中出现阳性数为X (X=0,1,2,3,，n)的概率服从二项分布。 3.二项分布名称: 也称为贝努里分布（Bernoulli distribution）或贝努里模型，是由法国数学家J.Bernoulli于1713年首先阐述的概率分布,第9页,贝努里模型应具备下列三个基本条件,试验结果只出现对立事件A或 ，两者只能出现其中之一。这种事件也称为互斥事件。 试验结果是相互独立，互不影响的。例如，一个妇女生育男孩或女孩，并不影响另一个妇女

6、生育男孩或女孩等。 每次试验中，出现事件A的概率为p，而出现对立事件 的概率为-p。则有总概率p+（1-p）=1。注意：1-p=q,第10页,二、 二项分布的概率函数,根据贝努里模型进行试验的三个基本条件，可以求出在n 次独立试验下，事件A出现的次数X的概率分布。X为离散型随机变量，其可以取值为0,1,2,n,第11页,2. 则X的概率函数为,X=0,1,2,n (7.1,式中：01， 为组合数，公式（7.1）称随机变量X服从参数为n,的二项分布，则记为XB(n,第12页,三、 二项分布的性质,二项分布是概率分布，因此它就具备概率分布的各种性质。 二项分布的每种组合的概率符合二项展开式，其总概

7、率等于1,7.2,第13页,二项式展开式实例,将二项式（a+b）n 展开,第14页,由公式（7.2）可看出二项展开式有以下特点,1）展开式的项数为n+1。 （2）展开式每项和（1-）指数之和为n。 （3）展开式每项的指数从0到n；（1-）的指数从n到0,第15页,由公式（7.2）可看出二项展开式有以下特点,4）二项分布的区间累积概率 设m1Xm2 ,m1m2）, 则X在m1至m2区间的累积概率有,第16页,至多有x例阳性的概率为,至少有x例阳性的概率为,X=0,1,2，x (7.4,X=x，x+1，n (7.5,公式（7.4）为下侧累计概率，公式（7.5）为上侧累计概率,第17页,3.二项分布

8、的概率分布图形,以X为横坐标，P（X）为纵坐标，在坐标纸上可绘出二项分布的图形, 由于X为离散型随机变量，二项分布图形由横坐标上孤立点的垂直线条组成。 二项分布的图形取决于与n的大小。当n充分大时，二项分布趋向对称，可以证明其趋向正态分布,第18页,3.二项分布的概率分布图形,3. n的大小与分布类型: 当n之积大于5时，分布接近正态分布； 当n5时，图形呈偏态分布。 当=0.5时，图形分布对称，近似正态。 如果0.5或距0.5较远时，分布呈偏态。见图7-1,第19页,图7-1 二项分布示意图,第20页,4.二项分布的数字特征,这里的数字特征主要指总体均数、方差、标准差等参数。 随机变量X的数

9、学期望 E（X）。 即指总体均数。n,第21页,随机变量X的方差 D（X）2 随机变量X的标准差为,随机变量X的方差及标准差,第22页,若X的总体均数和标准差用率来表示，则将公式除以n ,得,第23页,四、二项分布展开式各项的系数,二项分布展开式的各项之前均有一个系数，用组合公式来表示。计算公式为,第24页,杨辉三角：可用来表示二项式各项展开式的系数。见图7-2。国外参考书习惯称之为巴斯噶三角。 当试验次数n较小时，可直接利用杨辉三角将二项分布展开式各项的系数写出来，应用十分方便,杨辉三角,第25页,图7-2 杨辉三角模式图,第26页,杨辉三角的意义,杨辉三角中每行有几个数字，表示展开式有几项

10、。当试验次数为n 时，有n+1项。 杨辉三角中每行中的数字表示展开式中每项的系数大小。 杨辉三角中的各数字项及其数字的排列很有规律。可依照规律继续写下去。第一行的第一、第二项均为数字，以后每下一行的首项及末项均为，中间各项为上一行相邻两项数字之和,第27页,五、二项分布的应用,二项分布在生物学及医学领域中，主要应用在下列几个方面： 总体率的可信区间估计， 率的u检验：单样本及两样本比较。 样本率与总体率比较的直接计算概率法,第28页,一）应用二项分布计算概率,例7.1 】如出生男孩的概率P=0.5，出生女孩的概率为（1-P）=0.5。在一个妇产医院里有3名产妇分娩3名新生儿，其中男孩为X=0,

11、1,2,3的概率按公式（7.1）计算的结果列于表7-1的第（3）栏中。 分析：根据题意，已知生育男孩为事件A，其概率P(A)=0.5（即=0.5）；生育女孩为事件B ，其概率为P(B)=1-P(A)=1-0.50.5（即1-=0.5,第29页,生男生女的概率,第30页,三个妇女生育一个男孩，两个女孩的概率为,三个妇女生育均为女孩（即无男孩）的概率为,余类推，见表7-1第（3）栏。表7-1第（5）栏为至少生育X个男孩的累积概率,第31页,二)样本率与总体率比较的直接概率法,此法适用nP和n(1-P)均小于5的情形。 应注意： 当样本率大于总体率时，应计算大于等于阳性人数的累积概率。即上侧概率。

12、当样本率小于总体率时，应计算小于等于阳性人数的累积概率。即下侧概率,第32页,例7.2 】A药治疗某病的有效率为80。对A药进行改进后，用改进型A药继续治疗病人，观察疗效。 如果用改进型A药治疗20例病人，19例有效。 如果用改进型A药治疗30例病人，29例有效。试分析：上述二种情形下，改进型A药是否疗效更好,第33页,分析】 A药有效率为80，可以作为总体率，即00.8 。 治疗20例病人的样本有效率为（1920）10095； 治疗30例病人的样本有效率为（2930）10096.67。 两个样本率均大于总体率80，故应计算大于等于有效例数的单侧累积概率（上侧,第34页,情形一：治疗20例病人

13、的疗效分析,1）建立检验假设 H0：00.80；H1: 0 0.80 单侧0.05 （2）计算概率值 根据二项分布有,0.0548+0.0115=0.0663,第35页,3）推断结论 本例P0.0663,在0.05水准上,不拒绝H0。尚不能认为改进型A药的疗效优于原A药,第36页,治疗30例病人的疗效分析（1）检验假设同情形一。（2）计算单侧累积概率有,0.008975+0.001238=0.0102,情形二：治疗30例病人的疗效分析,第37页,3）推断结论 本例P0.0102,在0.05水准上,拒绝H0,接受H1。可以认为改进型A药的疗效优于原A药,注意： 治疗20例病人的有效率为95，治疗

14、30例病人的有效率为96.67，两个样本有效率很接近。但最终得出的结论却不相同。 临床上观察疗效，样本含量不能太小。样本含量大，疗效稳定性及可靠性相应增加，受到偶然因素影响的机会变得较小,第38页,分析】: 本例总体率1。调查人群样本反应率为P=（1300）1000.33。由于样本率小于总体率，故应计算小于等于阳性人数的累积概率,例7.3 】一般人群对B药的副作用反应率为1。调查使用B药者300人，其中只有1人出现副作用。问该调查人群对B药的副作用反应率是否低于一般人群,第39页,1）建立检验假设 H0：调查人群反应率与一般人群相同， 00.01H1: 调查人群反应率低于一般人群， 0 0.0

15、1 单侧 0.05,第40页,2）计算单侧累积概率,3）推断结论 本例 P0.1976,在0.05水准上,不拒绝H0。尚不能认为调查人群的B药副作用反应率低于一般人群,第41页,第二节 Poisson分布及其应用,一)Poisson分布的概念 Poisson分布由法国数学家S.D.Poisson在1837年提出。 该分布也称为稀有事件模型，或空间散布点子模型。在生物学及医学领域中，某些现象或事件出现的机会或概率很小，这种事件称为稀有事件或罕见事件。 稀有事件出现的概率分布服从Poisson分布,一、Poisson分布的概念及应用条件,第42页,如果稀有事件A在每个单元（设想为n次试验）内平均出

16、现次，那么在一个单元（n次）的试验中，稀有事件A出现次数X的概率分布服从Poisson分布,Poisson分布的直观描述,第43页,Poisson分布属于离散型分布。在Poisson分布中，一个单元可以定义为是单位时间，单位面积，单位体积或单位容积等。 如每天8小时的工作时间，一个足球场的面积，一个立方米的空气体积，1升或1毫升的液体体积,培养细菌的一个平皿，一瓶矿泉水等都可以认为是一个单元。 一个单元的大小往往是根据实际情况或经验而确定的。若干个小单元亦可以合并为一个大单元,第44页,二)常见Poisson分布的资料（牢记,实际工作中，判定一个变量是否服从Poisson分布 仍然主要依靠经验

17、以及以往累积的资料。 常见Poisson分布资料有： 产品抽样中极坏品出现的次数； 枪打飞机击中的次数； 患病率较低的非传染性疾病在人群中的分布； 奶中或饮料中的病菌个数； 自来水中的细菌个数； 空气中的细菌个数及真菌饱子数； 自然环境下放射的粒子个数,第45页,布朗颗粒数； 三胞胎出生次数； 正式印刷品中错误符号的个数； 通讯中错误符号的个数； 人的自然死亡数； 环境污染中畸形生物的出现情况； 连体婴儿的出现次数； 野外单位面积某些昆虫的随机分布； 单位容积内细胞的个数； 单位空气中的灰尘个数； 平皿中培养的细菌菌落数等,第46页,二、Poisson分布的概率函数及性质,定义 若变量X的概率

18、函数为,其中0，则称X服从参数为的Poisson分布。 记为XP()。式中：为总体均数，n或=np；X为稀有事件发生次数；e为自然底数，即e =2.71828,X=0,1,2,第47页,亦可用下列公式计算,第48页,二) Poisson分布的性质,1. 所有概率函数值（无穷多个）之和等于1，即,2.分布函数,X=0,1,2,x,第49页,0 x1x2,3.累积概率,4.其它性质,总体均数,方差,标准差,n (或np,2,第50页,三）Poisson分布的图形,Poisson分布的图形：取决于值的大小。值愈小，分布愈偏；值愈大，分布愈趋于对称。当20时，分布接近正态分布。此时可按正态分布处理资料

19、。当50时，分布呈正态分布。见图7-3。这里通过计算一个具体实例来观察Poisson分布的概率分布趋势,第51页,图7-3 Poisson分布的概率分布图,第52页,例7.4 】计算Poisson分布XP(3.5)的概率,第53页,余类推。经计算得到一系列数据，见表7-2,第54页,四）Poisson分布的可加性,从同一个服从Poisson分布的总体中抽取若干个样本或观察单元，分别取得样本计数值X1，X2，X3，Xn，则Xi 仍然服从Poisson分布。 根据此性质，若抽样时的样本计数X值较小时，可以多抽取几个观察单元，取得计数Xi,将其合并以增大X计数值,第55页,三、Poisson分布与二

20、项分布的比较,Poisson分布也是以贝努里模型为基础的。实际上，Poisson分布是二项分布的一种特殊情形，即稀有事例A出现的概率很小，而试验次数n很大，也可将试验次数n看作是一个单元。此时， n或np =为一个常数，二项分布就非常近似Poisson分布。p愈小，n愈大，近似程度愈好。 设1。当n=100, =0.01时，及n=1000, =0.001时，按照二项分布及Poisson分布计算概率P（X）。计算结果见表7-3,第56页,二项分布与Poisson分布计算的概率值比较,第57页,余类推,1.按二项分布计算 已知： n=100, =0.01,1=0.99 ，代入公式有,第58页,2.

21、按Poisson分布计算 代入公式有,余类推,第59页,四、Poisson分布的应用,Poisson分布有多种用途。 主要包括总体均数可信区间的估计， 样本均数与总体均数的比较， 两样本均数的比较等。 应用Poisson分布处理医学资料时，一定要注意所处理资料的特点和性质，资料是否服从Poisson分布,第60页,一）总体均数的估计,总体均数的估计包括点估计和区间估计。 点估计：是指由样本获得的稀有事件A出现的次数X值，作为总体均数的估计值。该法的优点是计算简便，但缺点是无法得知样本代表总体均数的可信程度。 区间估计：可以确切获知总体均数落入一个区域的可信度，一般可信度取95或99,第61页,

22、估计总体均数可信区间一般分为小样本法和大样本法。 1.小样本法 当样本均数或样本计数值X50时，可直接查附表9，“Poisson分布的可信区间”表，得到可信区间。 当样本均数X50时，Poisson分布近似正态分布，可按正态分布处理资料,第62页,例7.5 】在20ml的当归浸液中含某种颗粒30个。试分析该单元浸液中总体颗粒数的95和99的可信区间,分析】将20ml当归浸液看作一个单元，该单元的样本均数X30，小于50。可查附表9，求出总体均数的可信区间。 用查表法：查附表9(205页)得： 总体均数95的可信区间为：（20.2, 42.8） 总体均数99的可信区间为：（17.7, 47.2,

23、第63页,2.正态近似法,当样本均数或计数X50时，可按正态分布法处理。总体均数95和99%的可信区间为,第64页,例7.6 】某防疫站检测某天然水库中的细菌总数。平均每毫升288个细菌菌落。求该水体每毫升细菌菌落的95和99的可信区间,95的可信区间,99的可信区间,第65页,1) 发病人数的95可信区间为,例7.7 】调查1985年某市某区30万人，流行性出血热发病人数为204人。求该市发病人数及发病率（110万）95的可信区间。 【分析】已知样本均数X为204人，观察单元n30万人。先计算出发病人数的可信区间，再按照发病率的要求以10万人作为观察单元，计算发病率可信区间的上下限值,第66

24、页,发病率的95可信区间为,下限值,上限值,第67页,二）样本均数与总体均数的比较,常用的方法有两种。 直接计算概率法：与二项分布的计算思路基本相同。即当20时，按Poisson分布直接计算概率值。 正态近似法：当20时，Poisson分布接近正态分布。按正态分布使用u检验处理资料,第68页,1.直接计算概率法,例7.8 】某地区以往胃癌发病率为1万。现在调查10万人，发现3例胃癌病人。试分析该地区现在的胃癌发病率是否低于以往的发病率。 H0:现在胃癌发病率与以往相同，0 =0.0001 H1：现在胃癌发病率低于以往，0 单侧0.05,第69页,2）计算概率值,已知：n=100000， =0.

25、0001， 0n0=1000000.0001=10。 根据题意，应计算小于等于3人发病的概率 P（X3）， 即：P（X3）P(0)P(1)+P(2)+P(3) 应用公式（7.14）及（7.15）有,第70页,计算结果,第71页,3）推断结论 本例P0.0103，小于P0.05。在0.05水准上拒绝H0，接受H1。可以认为现在该地区胃癌发病率低于以往发病率,第72页,2正态近似法 当20时，用u检验法,第73页,实例分析（1,例7.9 】根据医院消毒卫生标准，细菌总数按每立方米菌落形成单位（CFUm3）表示。无菌间的卫生标准为细菌菌落数应不大于200（CFUm3）。某医院引进三氧消毒机，每天自动

26、对无菌间进行2小时消毒。对无菌间抽样调查显示，细菌总数为121CFUm3。试问该医院无菌间的细菌总数是否符合国家卫生标准。 【分析】若低于国家标准即符合标准，达到要求,第74页,1) 建立检验假设 H0: 无菌间的细菌总数符合国家卫生标准，=0=200 H1: 无菌间的细菌总数低于国家卫生标准，0 单侧0.05 （2）计算u值： 已知：0200 CFUm3, X121 CFUm3，代入公式（7.23）有,第75页,3)确定P值 单侧u0.05=1.64,现u 1.64, 故P0.05。推断结论 因P0.05，拒绝H0, 接受H1, 差异有统计学意义。可以认为该医院无菌间的细菌总数符合（低于）国

27、家卫生标准。注意：不超过国家标准数就是符合标准。具体问题要分析,第76页,例7.10 】某地区以往恶性肿瘤发病率为126.9810万人。今调查发现，该地区恶性肿瘤发病率上升为148.62/10万人。试分析现在的发病率是否高于以往的发病率。 【分析】此为单侧检验,实例分析（2,第77页,1）建立检验假设 H0: 现在的发病率与以往的发病率相同， 0126.98 H1: 现在的发病率高于以往的发病率，0 单侧0.05 （2）计算u值,第78页,3）确定P值 本例u=1.92，大于单侧u0.05=1.64,则P0.05。（4）推断结论 在0.05水准上拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义。结论：可以

28、认为该地区恶性肿瘤发病率高于以往的发病率,第79页,三）两样本均数的比较,应用条件：资料服从Poisson分布，两个样本均数X1及X2均大于20。 1两样本观察单元相同 观察单元可以指单位面积、容积、体积、时间等。 注意：Poisson分布中的观察单元具有可加性，如X1和X2。检验公式为,第80页,例7.11 】调查某风景名胜区不同地点的负离子状况。海拔较高的山上风景点负离子数为240个cm3。该景区商业区的百货大楼内的负离子数为146个cm3。试分析该风景区两个不同地点负离子状况有无差异。 【分析】单位体积中的负离子个数，服从泊松分布。可使用两均数的比较。用双侧检验,实例（1,第81页,1)

29、 建立检验假设 H0: 两地点负离子状况相同，12 H1: 两地点负离子状况不同，12 双侧0.05 （2）计算u值,第82页,3)确定P值 双侧：u0.05=1.96， 现u 1.96, 故P0.05。推断结论 因P0.05，拒绝H0, 接受H1, 差异有统计学意义。结论：可以认为该风景区两个不同地点的空气负离子状况有差异。海拔较高的风景点空气状况要好于百货大楼,第83页,例7.12 】调查某地区人群死亡状况。结果显示，男性及女性的意外死亡率分别为62人10万人和72人10万人。试分析男女意外死亡率有无差异。 【分析】该资料服从Poisson分布，每10万人可以作为一个观察单元。可应用两样本

30、均数比较,实例（2,第84页,检验步骤,1）建立检验假设 H0：男女意外死亡率相等， H1：男女意外死亡率不相等， =0.05 （2）计算u值,第85页,3）确定P值，推断结论 本例u=0.86,小于u0.05=1.96,则P0.05。 在0.05水准上，不拒绝H0，差异无统计学意义。 结论：可以认为男女性意外死亡率无差异,第86页,例7.13 】某医院检测某一病房消毒前后的细菌菌落数（CFUm3）。消毒前后均检测9次。消毒前的菌落数为18,10,9,15,5,2,6,5,2。消毒后的菌落数为5，4，5，6，7，2，3，2，1。试分析该病房消毒前后的卫生状况有无差异。 【分析】该资料服从Poi

31、sson分布。根据Poisson分布的可加性，将9次取样的菌落数相加为一个观察单元。 消毒前为X172；消毒后为X235,实例（3,第87页,1）建立检验假设 H0：消毒前后菌落数相等，1= 2 H1：消毒前后菌落数不等，12 =0.05 （2）计算u值： 应用公式（7.24）有,检验步骤,第88页,3）确定P值，推断结论 本例u=3.58，大于u0.05=2.58，则P0.01。 在0.05水准上拒绝H0，接受H1。 结论：可以认为该病房消毒前后的卫生状况不同。消毒后的细菌菌落数减少，卫生状况得到改善,第89页,当两样本观察单元不同时，不可直接比较或直接相加后进行比较。可以将两样本观察单元先

32、转化为相等的观察单元后，再应用公式进行比较。 一般可计算两样本均数和，再按下式计算u值,2两样本观察单元不同,第90页,例7.14 】某防疫站检验某商场的两种品牌的矿泉水。检测每ml的细菌总数（CFUml）。品牌A抽查4瓶，结果为132，156，182，143；品牌B抽查6瓶，结果为313，298，356，384，348,306。试分析A、B两种品牌矿泉水的细菌总数有无差异。 【分析】本例观察单元不相同，可以先求出均数。使观察单元相同,检验步骤,实例（4,第91页,品牌A的均数,品牌B的均数,求平均观察单元的均数,第92页,1）建立检验假设 H0：两种品牌矿泉水菌落数相等, 1= 2 H1：两

33、种品牌矿泉水菌落数不等, 12 取双侧：=0.05 （2）计算u值：应用公式（7.25）有,检验步骤,第93页,3）确定P值，推断结论 本例u=18.66,大于u0.01=2.58，则P0.01。 结论：可以认为A、B两种品牌矿泉水受细菌污染程度不同。其中品牌B矿泉水的污染程度较高,第94页,四）多个样本均数的比较,当比较的样本为结论两个以上时，可进行多样本均数或样本计数值的检验。使用的方法为卡方检验。 1.首先计算观察单元的均数估计值。符号“”读作“hat”。英文为“帽子”之义,式中：X1，X2，Xn为样本计数值，u1,u2,，un为观察单元值,第95页,2.将样本计数值Xi（即X1，X2，

34、Xn）转换为Zi值。公式为,第96页,3.计算值X2值,自由度组数-1,第97页,例7.15 】某医院对三个病房进行空气采样，检测细菌污染状况。细菌总数用每立方米菌落形成单元（CFUm3）来表示。检测结果如下。病房A为168 CFUm3，病房B为131 CFUm3，病房C为630 CFU2m3。试分析三个病房的细菌污染状况有无差异。 【分析】应注意病房A与B的观察单元为1个m3，病房C的观察单元则为2个m3，可以看作为2个观察单元,实例分析（5,第98页,1) 建立检验假设 H0: 三个病房的细菌总数相同，123 H1: 三个病房的细菌总数不全相同。 双侧0.05 （2）计算均数估计值 应用公式（7.27）有,检验步骤,第99页,3）计算Zi值 已知：X1=168, X2=1