高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 1.2 椭圆的简单性质(二) 北师大版选修2-1

1、第三章1椭圆,1.2椭圆的简单性质(二,1.巩固椭圆的简单几何性质. 2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的有关问题,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一点与椭圆的位置关系,消去y得到一个关于x的一元二次方程,知识点二直线与椭圆的位置关系,两,一,无,答案,知识点三弦长公式,返回,其中，x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得,题型探究 重点突破,题型一直线与椭圆的位置关系,解析答案,反思与感悟,并整理得4x23mxm2

2、70， 9m216(m27)0 m216m4,反思与感悟,反思与感悟,本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交0；(2)直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具,解析答案,跟踪训练1已知椭圆x28y28，在椭圆上求一点P，使P到直线l：xy40的距离最短，并求出最短距离,解设与直线xy40平行且与椭圆相切的直线为xya0,4a236(a28)0， 解得a3或a3， 与直线l距离较近的切线方程为xy30,解析答案,反思

3、与感悟,题型二直线与椭圆的相交弦问题,解由题意可设直线l的方程为y2k(x4)， 而椭圆的方程可以化为x24y2360. 将直线方程代入椭圆方程有 (4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360,即x2y80,反思与感悟,研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系,解析答案,跟踪训练2在椭圆x24y216中，求通过点M(2,1)且被这一点平分的弦所在的直线方程,解析答案,解方法一如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴， 则点M

4、(2,1)显然不可能为这条弦的中点. 故可设弦所在的直线方程为yk(x2)1， 代入椭圆方程得x24k(x2)1216， 即得(14k2)x2(16k28k)x16k216k120， 直线与椭圆有两个交点，故16(12k24k3)0,直线方程为x2y40,方法二设弦的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则x1x24，y1y22， P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆上,两式相减得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0， 点M(2,1)是PQ的中点，故x1x2,题型三椭圆中的最值(或范围)问题 例3已知椭圆4x2y21及直线yxm. (1)当直线和椭圆有公共点时

5、，求实数m的取值范围,解析答案,因为直线与椭圆有公共点,2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 解设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知：5x22mxm210,解析答案,反思与感悟,当m0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为yx,反思与感悟,解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件,解析答案,1)若点P

6、的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程,解直线AB的斜率为1，BAP45,即b2，且B(3,1,解析答案,返回,2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围. 解由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t3)， t3b，即b3t. 显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得,当堂检测,1,2,3,4,5,A.m1 B.m1且m3 C.m3 D.m0且m3,B,解析答案,0，m1或m0且m3，m1且m3,解析答案,2.已知椭圆的方程为2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为(,B,1,2,3,4,5,解析答案,A,1,2,3,4,5,解析答案,4.椭圆x24y236

7、的弦被A(4,2)平分，则此弦所在的直线方程为() A.x2y0 B.x2y40 C.2x3y140 D.x2y80,1,2,3,4,5,解析设以A(4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于E(x1，y1)，F(x2，y2)， A(4,2)为EF中点，x1x28，y1y24， 把E(x1，y1)，F(x2，y2)分别代入椭圆x24y236中,1,2,3,4,5,则得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0,整理得，x2y80,答案D,解析答案,点M的轨迹方程是x2y2c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F1F2为圆的直径. 由题意知，椭圆上的点P总在圆外，所以|OP|c恒成立， 由椭圆性质知|OP|b，bc，a22c2,1,2,3,4,5,课堂小结,解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点