二重积分计算方法

1、1利 用 直 角 坐 标 系 计 算1.1积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决.在直角坐标系下,被积分函数f （x, y）在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1）,即D （x, y）| 1（x） x 2（x）, a x b，其中 1（x）, 2（x）在a,b上连续，则有f （x,y）dDb2（x）adx 1（x） f（x，y）dy ；（1）若D为y型区域（如图2）,即D（x,y）| 1（y） y 2（y）,c y d，其中1（y）, 2（y）在c,d上连续，则有f（x,y）dDd 2（y） 1cdy1（y）f（x,y）dx.（2

2、）2例1计算 吿dxdy，其中D是由x 2 , y x，及xy 1所围成.D x分析积分区域如图3所示，为x型区域D= x, y 1 x 2,丄y x .确定了积分区x域然后可以利用公式（1）进行求解.是简单行计域，然后利用公式f(x,y)dDf (x, y)d f (x,y)d f(x,y)dD1D2D3(3)进行计算,例2计算二重积分 dD，其中D为直线y 2x,x 2y及x y 3所围成的区域.分析：积分区域D如图5所示，区域D既不是x型区域也不是y型区域，但是将可D划分为D!x, y 0 xD2 x, y 1 x进而通过公式（3）和x1, y 2x2均为x型3,2y y 3 x(1)可

3、进行计算.解D划分为区域,Dix,y0x1,-2y 2x , D2x, y 1 x 3,2y y 3 x1.3被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复 杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函 数划分积分区域，然后进行计算.1x 1域x 1，接求得，身，不难D2D1x2y 2D20 yx2由公式（3）则2利用变量变换法计算定理1设f (x,y)在有界区域D上可积，变换T : x x u,v , y y u,v，将u, v平面按段光滑封闭曲线所围成的区域一对一地映成x, y平面上的区域D，函数

4、x u,v ，y u,v在内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式 J u,v0， u,v 则u,vf(x,y)dDf x u, v , y u,v J u, v dudv(4)(4)式叫做二重积分的变量变换公式,2.1根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区 域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算.X y例4求 ex ydxdy，其中D是由x 0, y 0, x y 1所围曲线(图7)D分析 由于被积函数含有e的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函 数，如果做替换T : u x y,v x y.

5、在变换T作用下区域D的原像 如图8所示，根据二 重积分的变量变换公式，积分计算就简单了.1xu vJ u,v 10解做变换T:212yu v2所以ex ydxdyDe - dudvduevduv2.2根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有u f x, y ,v g x, y且m u n, v ，则把xy平面上的积分区域 D对应到uv平面上简单的矩形区域，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算.例5求抛物线y2 mx, y2 nx和直线y x, y x所围区域D的面积 D分析D的面积dxdy 实际是计算二重积分Ddxdy，其被积函数

6、很简单，但D2 2 是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现m 丘,n 丄;x x丿，丿，如果设x x2u ,v ，贝U有 m u n, v x x解D的面积 D dxdyD作变换uvvum,n所以Ddxdy-dudvDvdv n ,nm4 udu =3 3v m622333x2例 6 求3dxdy D : xy 1,xy 3, yd y xyx, y2 3x所围区域.分析 积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换2T: u xy, v ，它把xy平面上x的区域D对应到uv平面上的矩形区域在变换T作用下，区域D的原像u,v 1 u 3,1 v 3 ， J u,v丄3v所以3x3xydxdyu

7、v 3v1dudv33 dudv11 v v uv-l n22.3利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有f X2 y2、f -或f y形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程y X来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换,0 2x r cosT:，0y r si n这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不 是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为r .（1）如果原点0 D，且xy平面上射线常数与积分区域D的边界至多交于两点,则必可表示为ri则有f x, y dxdyDdrir cos ,r sinrdr(5)x类似地，若x

8、y平面上的圆r常数与积分区域D的边界至多交于两点，则必可表示2 r ，rirr?那么f x, y dxdy22 rrdrrir cos ,r sind(6)(2) 如果原点0为积分区域D的内点，D的边界的极坐标方程为r r ，则 可表示成0 r r， 0则有2rf x, y dxdydf r cos , r sin rdr00D(7)(3) 如果原点0在积分区域D的边界上，贝U 为那么例7计算If x, y dxdyDr cos , r sin rdr (8)二，其中D为圆域：x2 y21y分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为f(x2 y2)，且原点为D的内点，故x可采用极坐标变换T

9、:yr cos ,0r sin ,01，可以达到简化被积函数的目的.2解作变换T:r cos ,0 r 1r sin ,02 0则有 1.1 r2 do例8计算二重积分ydxdy，其中D是由直线x 2,y 0, y 2，以及曲线DXDi为半圆区域，则有积分区圆区区域，ydxdy ydxdyDD D1ydxdy，Di2cos 21 cos222.4利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换: 并且雅可比行列式J u, v abr同样有f x, y dxdyDf ar cos ,brsin abrdrd(9)例9计算I22X2 y2 dxdy，其中 D a b分析根据给出

10、被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换x ar cos ,0 r 1T :，可以达到简化积分区域和被积函数的目的.y brsin ,02解作广义极坐标变换x ar cos ,0r 1T :， J u, v abry br sin ,02由（9）知3某些特殊函数的计算3.1利用积分区域的对称性简化二重积分的计算如果D可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分D1和D2，那么有如果f x,y在Di上各点处的值与其在D2上各对称点处的值互为相反数，那么如果f x,y在Di上各点处的值与其在D2上各对称点处的值恒相等，那么f x,y dD2 f x,y dDi

11、2D2x, y d3宜选择先对x后对y的积分次序oV132 2y dyZ 1 y22152 115例10计算 x2ydxdy，其中D为双曲线x2 y2 1及y 0, y 1所围成区域.D分析 首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到 f x, y x2y为x的偶函数， 另一方面D关于y轴对称，且f x,y在Di在D?上各点处的值与其在D?上各对称点处的值 恒相等，然后再化为累次积分计算.解 积分区域如图11所示：Di为D在第一象限内的部分，D关于y轴对称，又f x,yx2y为x的偶函数，由对称性有故原式3.2分段函数和带绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，

12、然后根据分段函数表达式将积分 区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性 质加以讨论.被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域, 使每个子区域上被积函数的取值不变号.例11求 x2 y2 4 dxdy，其中D为x2 y29围成的区域.D分析 被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得x2 y2 4 0及x2 y2 40的两部分，在两部分上分别积分后，再相加.解 为去绝对值号，将D分成若干个子区域，即在内x2y244 x2y2在 D2 内x2y24x2 y24故原式4 x2Diy2 dxdy x2D2y2 4 dxdy，利用极坐标计算有故原式 8252412例12求 f x,y dxdy,其中Df x,y,x0,其他0，y 0,D 由x y a, x y b, y 0 和 y b a 所围成12分析 首先划