高数一试题及答案,推荐文档

1、 高等数学(一) 复习资料一、选择题x2 - x + k1. 若limx3x -3= 5 ，则k = （）a. -3b. -4c. -5d. -62. 若lim x2 - k = 2 ，则k = （）x1 x -1a. 1b. 2c. 3d. 43. 曲线 y = ex - 3sin x +1 在点（0，2）处的切线方程为() a. y = 2x + 2b. y = -2x + 2c. y = 2x + 3d. y = -2x + 34. 曲线 y = ex - 3sin x +1 在点（0，2）处的法线方程为( )a. y = 1 x + 2 2b. y = - 1 x + 22c. y =

2、 1 x + 3 2d. y = - 1 x + 325. lim x2 -1 = ( )x1 sin xa. 0b. 3c. 4d. 56.设函数 f (x) = x (t +1)(t - 2)dt ，则 f (3) =（ ）0a 1b 2c 3d 47. 求函数 y = 2x4 - 4x3 + 2 的拐点有（ ）个。a 1b 2c 4d 08. 当 x 时，下列函数中有极限的是（）。a. sin x1b. exx +1c. x2 -1d. arctan x9.已知 f (3)=2 ， lim f (3 - h) - f (3) = () 。3h02ha. 3 2b. -2c.1d. -11

3、0. 设 f (x)=x4 - 3x2 + 5 ,则 f (0) 为 f (x) 在区间-2, 2 上的（）。a. 极小值b. 极大值c. 最小值d. 最大值11. 设函数 f (x) 在1,2 上可导，且 f (x) 0, f (2) 0, 则 f (x) 在(1,2) 内()a.至少有两个零点b. 有且只有一个零点c. 没有零点d. 零点个数不能确定12. f (x) + xf (x)dx = ().a. f (x) + cb. f (x) + cc.xf (x) + cd. f 2 (x) + c13. 已知 y = f 2 (ln x2 ) ，则 y = ( c )2 f (ln x2

4、 ) f (ln x2 )4 f (ln x2 )4 f (ln x2 ) f (ln x2 )2 f (ln x2 ) f (x)a.b.c.d. 14.x2d f (x) =( b)a. f (x) + cb. f (x)xc. f (x)xx2d. f (x) + c15. dx = ( d )2 ln xxa. 2x ln x + c x2 -1b. ln x + c xc. 2 ln x + cd. (ln x )2 + c16. limx1 ln x= ( )a. 2b. 3c. 4d. 517. 设函数 f (x) = x (t -1)(t + 2)dt ，则 f (-2) =（

5、 ）0a 1b 0c -2d 218. 曲线 y = x3 的拐点坐标是( )a.(0,0)b.( 1,1)c.(2,2)d.(3,3)19. 已知 y = f (ln x) ，则 y = ( a )a. f (ln x) xb.20. d df (x) = ( a)f (ln x)f (ln x)d. f (ln x)xc.a. df (x)b. f (x)c. df (x)d. f (x) + c21. ln xdx = ( a )a. x ln x - x + cb. ln x - x + cc. ln x - xd. ln x二、求积分（每题 8 分，共 80 分）1. 求cos x

6、sin xdx 3 4 + 3ln x求dx 2. x3. 求arctan xdx 求e3 x dx4.x + 35. 求 x2 - 5x + 6 dx 3 x6. 求定积分 8 dx 0 1+l7. 计算x2 cos xdx 01dx 8. 求 x2 + 2x - 8dx1+ 3 x + 29. 求11. 求 2 2xe- x2 dx13 - x312. 求3x2dxe ln2 x13. 求 1x dx3 - x214. 求 xdx(三、解答题1. 若lim 3x -xax2 - x +1 = 1 ,求a)61 x3 -2x22. 讨论函数 f (x) =3+ 3x - 3 的单调性并求其单

7、调区间3. 求函数 f (x) = x2 - x - 2 的间断点并确定其类型x - 24. 设 xy2 + sin x = exy , 求y.(x +1)3 x + 2 (x +3)5y =5. 求的导数x = a cos ty = b sin ty6. 求由方程1ex , x 01ex , x 0.9. 求抛物线 y = x2 与直线 y = x 所围成图形 d 的面积 a.10. 计算由抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x - 4 围成的图形 d 的面积 a11. 设 y 是由方程 y = sin y + xey 确定的函数，求 y12. 求证： ln x 113. 设 y 是由方

8、程 y = 1+ xey 确定的函数，求 y14. 讨论函数 f (x) = 2x3 - 9x2 +12x - 3 的单调性并求其单调区间15. 求证： ex 2x -1,16. 求函数 f (x) =x(1- x )x - x3的间断点并确定其类型五、解方程1. 求方程 y 2dx + (x 2 - xy)dy = 0 的通解.2. 求方程 yy + y2 = 0 的通解.3. 求方程 y - 2 y + y = x2 的一个特解.4. 求方程 y - 5 y + 9 y = 5xe-3x 的通解.高数一复习资料参考答案一、选择题1-5： dabaa6-10：dbcdd11-15： bccb

9、d16-21：abaaaa二、求积分1. 求cos xsin xdx 232 解： cos x3 4 + 3ln x2. 求sin xdx = sin xd (sin x) =dx xsin 2 x + c =33sin3 x + c3 4 + 3ln x解： 11 1xdx = (4 + 3ln x)3 d (ln x) = (4 + 3ln x)3 3d (4 + 3ln x)3. 求arctan xdx 4=(4 + 3ln x)3 + c 14解：设u = arctan x ， dv = dx ，即v = x ，则 arctan xdx = x arctan x - xd (arcta

10、n x)= x arctan x - xdx21+ x= x arctan x - 1 ln(1+ x2 ) + c 2求 e3 x dx4.33x = t 解： e x dx et 3t2dt = 3t 2etdt = 3t2et - 3 et 2tdt = 3t2et - 6 tetdt= 3t 2et - 6tet + 6 et dt = 3t 2et - 6tet + 6et + c= 3e3 x ( 3 x2 - 23 x + 2) + c x + 35. 求 x2 - 5x + 6 dx x + 3-56解：由上述可知=+，所以x2 - 5x + 6x - 2x - 3x + 3x

11、2 - 5x + 6dx =-5 ( x - 2+6x -3)dx = -51x - 2dx + 61dxx - 3= -5 ln x - 2 + 6 ln x - 3 + c 3 x6. 求定积分 8 dx 0 1+3 x解：令= t ，即 x = t3 ，则 dx = 3t 2dt ，且当 x = 0 时， t = 0 ；当 x = 8 时， t = 2 ，于是 8 dx = 2 3t 2dt = 3 1t 2 - t + ln(1+ t) 2= 3ln 3 3 x0 1+0 1+ t 2 0l7. 计算x2 cos xdx 0解：令u = x2 ， dv = cos xdx ，则 du

12、= 2xdx ， v = sin x ，于是lll x2 cos xdx = x2d sin x = (x2 sin x) l - 2x sin xdx = - 0l2x sin xdx0000 l再用分部积分l公式，得x2 cos xdx =2xd cos x= 2 (x cos x) l - lcos xdx00000= 2 (x cos x)0 l - sin x l = -2l118. 求 x2 + 2x - 8dx 1解： x2 + 2x - 8dx = (x +1)2 - 9d (x +1) =13 - (x +1)3 + (x +1) ln+ c62 - x4 + x= 1 ln

13、6+ c 1+ 3 x + 29. 求dx3 x + 2解：令u =，则 x = u3 - 2 ， dx = 3u2du ，从而有dx= 3u2du = 3 u2 -1+1 du3 x + 21+1+ u1+ u= 3 (u -1+ 1 )du = 3(u2 - u + ln 1+ u ) + c1+ u211. 求 2 2xe- x2 dx12解 ： 2xe- x2dx = e- x2dx2= e- x2 2= e-4- e-1211112. 求3x2 3 - x3 dx233解： 3x23 - x3 dx = - 3 - x3 d (3 - x3 ) = -(3 - x3 )2 + ce

14、ln2 x13. 求 1x dx解： e ln2 x dx = e ln2 xd (ln x) = 1 ln xe = 1 ln e = 11x1313314. 求 x 3 - x2 dx 11 2313解 ： x3 - x2 dx = -3 - x2 d (3 - x2 ) = -(3 - x2 )2 + c = -(3 - x2 )2 + c22 33(三、解答题1. 若lim 3x -xax2 - x +1 = 1 ,求a)6解：因为3x -否则极限不存在。9x2 - ax2 + x -1ax2 - x +1ax2 - x +1= ，所以a = 93x +2. 讨论函数 f (x) =1

15、 x3 - 2x23+ 3x - 3 的单调性并求其单调区间解 ： f (x) = x2 - 4x + 3由 f (x) = x2 - 4x + 3 = 0 得 x = 1,x =312所以 f (x) 在区间(-,1) 上单调增，在区间(1, 3) 上单调减，在区间(3, +) 上单调增。3. 求函数 f (x) = x2 - x - 2 的间断点并确定其类型x - 2解：函数无定义的点为 x = 2 ，是唯一的间断点。因lim f (x) = 3 知 x = 2 是可去间断点。x24. 设 xy2 + sin x = exy , 求y.解 ： y2 + 2xy y + cos x = ex

16、y ( y + y) ,y = y(exy - y) - cos x故x(2 y - exy )(x +1)3 x + 2 (x +3)5y =5. 求的导数解：对原式两边取对数得：ln y = 3ln(x +1) + 1 ln(x + 2) - 5 ln(x + 3),2 y 31 1 5于是yy =故= x +1 2 -x +,2x + 3(x +1)3 x + 2(x +3)5x +3+ 1 1- 5.12 x + 2x + 3x = a cos t6. 求由方程 y = b sin t确定的导数 yx .y(t)b cos tb2 x解:yx =x(t)= -a sin t = - 2

17、 .ay1ex , x 0解： limx0-1f (x) = lim ex = 0x0-limx0+f (x) = lim tan x = 0x0+故在 x = 0 处不连续。1ex , x 01解：因为 lim f (x) - f (0) = lim ex -1 = x0-xx0-x所以在 x = 0 处不可导。.9. 求抛物线 y = x2 与直线 y = x 所围成图形 d 的面积 a y = x解:求解方程组 y = x = 0得直线与抛物线的交点为 y = 0 x = 1 y = 1，见图 6-9，所以该图形在直线 x = 0 与 x=1 之间， y = x2 为图形的下边界， y

18、= x 为图形的上边界，故-a = 1 (x - x2 )dx = 1 x2 1 x3 11=0 2 0 3 06 .10. 计算由抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x - 4 围成的图形 d 的面积 a . y2 = 2xy = x - 4(2, -2)(8, 4)解：求解方程组 种方法求解.得抛物线与直线的交点和，见图 6-10，下面分两y2方法 1图形 d 夹在水平线 y = -2 与 y = 4 之间，其左边界 x =，右边界 x = y + 4 ，24 y2 y2y3 4故a = -2 (y + 4)- dy = + 4 y - 6 = 18 .2 2 -22x方法 2图形 d

19、 夹在直线 x = 0 与 x = 8 之间，上边界为 y =，而下边界是由两条曲线2xy = -与 y = x - 4 分段构成的，所以需要将图形 d 分成两个小区域 d1 ， d2 ，故a = 2 - (- 2x )dx + 8 - (x - 4)dx02x2 2x2 3 22 3x2 8= 2 2 x 2+ 2 x 2 -+ 4x= 18 .3032 211. 设 y 是由方程 y = sin y + xey 确定的函数，求 y解：两边对 x 求导得y = y cos y + ey + xey y 整理得 y =ey1- cos y - xey12. 求证： ln x 1证明：令 f (

20、x) = (x -1) - ln x1x -1因 为 f (x) = 1-= 0xx所以 f (x) 0 ，x 1 。13. 设 y 是由方程 y = 1+ xey 确定的函数，求 y解：两边对 x 求导得y = ey + xey y ey整理得 y = 1- xey14. 讨论函数 f (x) = 2x3 - 9x2 +12x - 3 的单调性并求其单调区间解 ： f (x) = 6x2 -18x + 12由 f (x) = 6x2 -18x +12 = 0 得 x = 1,x = 212所以 f (x) 在区间(-,1) 上单调增，在区间(1, 2) 上单调减，在区间(2, +) 上单调增

21、。15. 求证： ex 2x -1证：令 f (x) = ex - 2x + 1因为 f (x) = ex - 2 = 0 得 x = ln 2 ，又因为 f (ln 2) = 2 - 2 ln 2 +1 0所以 f (x) 0 。16. 求函数 f (x) =x(1- x )x - x3的间断点并确定其类型解：由分母 x - x3 = 0 得间断点 x = 0, x = 1 。因lim f (x) = 1知 x = 0 是可去间断点；x0因lim f (x) = lim 1- x = 1 知 x = 1 也是可去间断点x1x1 1- x22因 lim f (x) = lim 1+ x = 1

22、 知 x = -1 也是可去间断点x-1x-11- x22四、解方程1. 求方程 y 2dx + (x 2 - xy)dy = 0 的通解.解 原方程可化为dy = dx2y，xy - x2上式右边分子分母同除 x 2 得y 2，dy = ( x )dxy - 1此为齐次方程，因而令u =xy ， 则 dy = u + x du代入上式得xdxdxu + x du =dx2u，u - 1分离变量得dx =xu -1 du ，u两边积分得ln x = u - ln u + ln c ，x = c eu从而有，uyy用u =回代即得原方程的通解xy = ce x .2. yy + y2 = 0解：

23、原方程可化为： d ( yy ) = 0dx积分得： yy = c14 分dy2即dx= c112积分得 y2 = c x + c8 分3. 求方程 y - 2 y + y = x2 的一个特解.解 由于方程中 q = 1 0 且 p2(x) = x2 ，故可设特解为则代入原方程有y* = ax2 + bx + c ,y* = 2 ax + b, y* = 2 a .ax2 + (-4 a + b)x + (2 a - 2b + c) = x2 .a = 1比较两边同次幂的系数得 -4 a + b = 0，2 a - 2b + c = 0解得a = 1, b = 4, c = 6 ,所以，所求

24、的特解为y* = x2 + 4x + 6 .4. 求方程 y - 5 y + 9 y = 5xe-3x 的通解.解 分两步求解.（1） 求对应齐次方程的通解. 对应齐次方程 y - 5 y + 9 y = 0 ,特征方程为解得r 2 + 6r + 9 = 0 ,r1 = r2 = -3 .于是得到齐次方程 y - 5 y + 9 y = 0 的通解为y = (c + c x)e-3x .12（2） 求原方程的一个特解因为l= -3 是特征方程的重根, pn (x) = 5x 是一次式，所以可设求导得y* = x2 ( ax + b)e-3x ,y* = e-3x -3ax3 + (3a - 3b)x2 + 2bx ,y* = e-3x 9 ax3 + (-18a + 9b)x2 + (6 a -12b)x + 2b ,代入原方程并约去e-3x 得6 ax + 2b = 5x ,6 a = 5比较等式