(完整版)高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总,推荐文档

1、【知识汇编】高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总编者：邬小军7参数方程：直线参数方程： x = x0 + t cosa(x0 , y0 ) 为直线上的定点， t 为直线上任一y = y + t sin (t为参数)0a点(x, y) 到定点(x0 , y0 ) 的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程： x = a + r cosa (a为参数(a,b)为圆心，r 为半径；椭 圆 x2 y2 y =b的参数方程是x = a cosa；+=a2b212 y = b sina(a为参数)双曲线 x2- y = 的参数方程是x = a seca；a2 b21 y = b tan a (a为参数

2、)抛物线 y2 = 2 px 的参数方程是x = 2 pt 2 y = 2 pt (t为参数)极坐标与直角坐标互化公式：若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点 p 的极坐标为(a,a) ，直x角坐标为(x, y) ，则 x = acosa, y = asina, a2 = x2 + y2 , tana= y 。【题型 1】参数方程和极坐标基本概念1. 点m 的直角坐标是(-1, 3) ，则点m 的极坐标为（ c ）aa (2,)3b(2, -a)3c(2, 2a)3ad (2, 2ka+), (k z )32. 圆a= 5cosa-5 3 sina的圆心坐标是（a）a(-

3、5, - 4ab (- ac ad(-5, 5a3 )5, 3 )(5, 3 )3 )3. 已知 p 为半圆 c： （a为参数， 0 a a）上的点，点 a 的坐标为（1,0），ao 为坐标原点，点 m 在射线 op 上，线段 om 与 c 的弧的长度均为 3 。1） 以 o 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 m 的极坐标；2） 求直线 am 的参数方程。aa解：1）由已知，m 点的极角为 3 ，且 m 点的极径等于 3 ，aaa ,3a故点 m 的极坐标为（ 3 ， 3 ）.2）m 点的直角坐标为（ 6 6 ），a（0,1），故直线 am 的参数方程为(x = 1+ a-1)

4、t63a y =t6（t 为参数）x = 2 +5 cosa4. 已知曲线 c 的参数方程为 y = 1 + 5 sina (a为参数)，以直角坐标系原点为极点，ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系。1) 求曲线 c 的极坐标方程2) 若直线l 的极坐标方程为a(sin+cos)=1，求直线l 被曲线 c 截得的弦长。x = 2 +解：(1)曲线 c 的参数方程为y = 1 +cosa55sina ( 为参数)曲线 c 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5x = acosa将y = asina代入并化简得：a=4cos+2sin即曲线 c 的极坐标方程为a=4cos+2sin(2) l 的直

5、角坐标方程为 x+y-1=20225 - 23圆心 c 到直线l 的距离为 d=弦长为 2=2.5. 极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位，以原点 o 为极点，以 x 轴正半轴为极2a轴已知曲线 c1 的极坐标方程为 2sin（ 4 ），曲线 c2 的极坐标方程为aaasina（a0），射线 a，a 4 ，a 4 ， 2 a与曲线 c1 分 别交异于极点 o 的四点 a，b，c，d（1）若曲线 c1 关于曲线 c2 对称，求 a 的值，并把曲线 c1 和 c2 化成直角坐标方程；（2）求oaocobod的值解：（1）c1 ：(x - 1)2 + ( y - 1)2 = 2 ，c2 ：

6、 y = a ，因为曲线c1 关于曲线c2 对称， a = 1 ， c2 ： y = 142 sin(a+ a（2）| oa |= 2)22)；| ob |= 2sin(a+ a = 2cosa| oc |= 22| od |= 222 sina，)sin(a+ 3a = 242 cos(a+ a)4| oa | | oc | + | ob | | od |= 42【题型 2】直线参x数=方1+程3几t 何意义的应用 51. 已知直线l :(t为参数) 与直线l : 2x - 4 y = 5 相交于点 b ，又点 a(1, 2) ，则 ab =。1 y = 2 - 4t22 y = 1- t2

7、直线x = -2 + t (t为参数) 被圆(x - 3)2 + ( y +1)2 = 25 所截得的弦长为（ c）9882ab 40 14xoycd93 + 4 3 x = -2 + 1 t2 y = 2 + 3 t3. 在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为 c ： ( y - 2)2 - x2 = 1交于 a ， b 两点.（1） 求 ab 的长；2（ t 为参数），直线l 与曲线（2） 在以o 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点 p 的极坐标为 2 2, 3a4 ，求点 p 到线段 ab 中点m 的距离.x = -2 +1 t，2 y = 2 + 3 t，解：（1）

8、直线 l 的参数方程为2（t 为参数），代入曲线 c 的方程得t2 + 4t - 10 = 0 14设点 a，b 对应的参数分别为t1，t2 ，则t1 + t2 = -4 ， t1t2 = -10 ， 所以| ab |=| t1 - t2 |= 2（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点 p 的直角坐标为(-2，2) ， t1 + t2 = -2所以点 p 在直线 l 上，中点 m 对应参数为 2，由参数 t 的几何意义，所以点 p 到线段 ab 中点 m 的距离| pm |= 2 4. 已知直线l 经过点 p(1,1) ,倾斜角a= a，6（1） 写出直线l 的参数方程。（2） 设l 与圆 x

9、2 + y 2 = 4 相交与两点 a, b ，求点 p 到 a, b 两点的距离之积。x = 1+ t cosax = 1+ 3 t解：（1）直线的参数方程为6 ，即 2y = 1+ t sin a6 y = 1+ 1 t2（2）把直线x = 1+2 t 代入x2+ y 2= 4 得(1+3 t)2 + (1+1 t)2 = 4, t 2 + ( 3 +1)t - 2 = 0 322 y = 1+ 1 t2t1t2 = -2 ，则点 p 到 a, b 两点的距离之积为2x = 2 cosa5. 设经过点 p(-1, 0) 的直线l 交曲线 c： y = 3 sina(a为参数)于 a、b 两

10、点（1） 写出曲线 c 的普通方程；（2） 当直线l 的倾斜角a= 60o 时，求| pa | + | pb | 与| pa | | pb | 的值+ yx22c= 1解：（1） ： 4 3 1x = -1 +t2l y = 3 t（2）设 ：2（t 为参数）联立得： 5t 2 - 4t -12 = 0()t + t- 4t t2121 2| pa | + | pb |=| 1t - t2 |= 16| pa | | pb |=| t t |= 125 ，1 256. 以直角坐标系的原点o 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 p 的直角坐aa标为(1, 2)m2lp6cm3(3

11、, )，点 的极坐标为，若直线 过点，且倾斜角为 ，圆 以 为圆心， 为半径（1） 求直线l 的参数方程和圆c 的极坐标方程；（2） 设直线l 与圆c 相交于 a, b 两点，求 pa pb x = 1 + y = 2 +解：（1）直线l 的参数方程为圆的极坐标方程为a= 6 sina.3 t,21 t,2(t为参数），（答案不唯一，可酌情给分） x = 1 +3 t,23 y = 2 + 1 t,x2 + ( y - 3)2 = 9t2 + (- 1)t - 7 = 0（2）把2代入，得，t1t2 = -7 ，设点 a, b 对应的参数分别为t1 , t2 ， 则 pa = t1 , pb

12、= t2, pa pb = 7.7. 以平面直角坐标系的坐标原点o 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系x = 2 - 3tl的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线 的参数方程为极坐标方程为asin2a= 4 cosa.y =-1+ 2ttc（ 为参数），曲线 的(1)求曲线c 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线c 相交于 a、b 两点，求 ab .解：(1)q由asin 2a= 4 cosa，既a2sin 2a= 4acosa曲线c 的直角坐标方程为 y2 = 4x .7(2)q l 的参数方程为代入 y2 = 4x ，整理的4t 2 + 8t - 7 = 0 ，所以t

13、1 + t2 = -2 ， t1t2 = - 4134 + 7143(-3)2 + 22(t1+ t 2)2 - 4t 1t 2所以 ab =【题型 3】两类最值问题x2 + 2t1 - t2 = 13 =.21. 已知曲线c ： 9y = 1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为asin(a- a = )4.（1） 写出曲线c 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2） 设 p 是曲线c 上任一点，求 p 到直线l 的距离的最大值.x = 3cosacy =sinaa解：（1）曲线 的参数方程为直线l 的直角坐标方程为 x - y + 2 = 0（2）

14、设 p(3cosa, sina) ，3cosa- sina+ 22d =p 到直线l 的距离（ 为参数），10 cos(a+a) + 221（其中a为锐角，且tana= 3 ）5当cos(a+a) = 1 时， p 到直线l 的距离的最大值dmax =+c2asina+acosa=102c1: ax = 3cosay = 2 sina2. 已知曲线 的极坐标方程为，曲线 （1） 求曲线c1 的普通方程；（ 为参数）（2） 若点m 在曲线c1 上运动，试求出m 到曲线c 的距离的最小值yx2 + 2 =c1解：（1）曲线 1 的普通方程是： 94（2）曲线c 的普通方程是： x + 2 y -1

15、0 = 0设点m (3cosa, 2 sina) ，由点到直线的距离公式得：3cosa+ 4 sina-10515d =5 cos(a-a) -10cosa= 3 , sina= 4其中555=9 8a-a= 0 时， dminm ( , )，此时5 52x = 2 + t 2 y = 2 t3. 在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程是 2（t 为参数），以原点 o 为极点，a= 4 2 cos(a+ p)以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 c 的极坐标方程为4 .（1） 将圆 c 的极坐标方程化为直角坐标方程； 1 + 1 （2） 若直线 l 与圆 c 交于 a，b

16、 两点，点 p 的坐标为(2, 0) ，试求 papb 的值.a= 4 2 cos(a+ p) 解：（1）由4 ，展开化为a2 = 42 (acosa- asina) = 4(acosa- asina)2 2， x = acosay = asinax2 +y2 - 4x+ 4y- 0将代入,得，所以，圆 c 的直角坐标方程是x2 +y2 - 4x+ 4y- 0 .222t x = 2 + 2 t（2）把直线l的参数方程 y =可得：t2 + 2 2t- 4 = 0 .（t 为参数）代入圆的方程并整理，设 a，b 两点对应的参数分别为1 ,t2 ， 则1 +t2 = -2 2,1 t2 = -4

17、 0 ，6所以1 -t2 = = 2.21 2(t 1+t )2 - 4tt1 + 1 = 1 + 1 = 1 -t2 = 2 6 = 6 1 papbt21 t242 .y = 3sinx = 2cosa (a为参数)4. 已知曲线c1 的参数方程是a，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线c2 的坐标系方程是a= 2 ，正方形 abcd 的顶点都在c2 上，a且 a, b, c, d 依逆时针次序排列，点 a（1） 求点 a, b, c, d 的直角坐标；(2, )的极坐标为 32222（2） 设 p 为 c1 上任意一点，求 pa + pb + pc + pd的取值范围

18、.a5a4a11a解：（1）点 a, b, c, d 的极坐标为(2, 3 ), (2,), (2,6), (2,)36点 a, b, c, d 的直角坐标为(1, 3),(-3,1),(-1, - 3),(3,-1)x0 = 2cosa（2）设 p(x0 , y0 ) ；则y0 = 3sina(a为参数)t = pa 2 + pb 2 + pc 2 + pd 2 = 4x2 + 4 y2 +16 = 32 + 20 sin2 a32, 52“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happ