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5 矢量空间的直和与直积,5-1 直和空间,5-2 直积空间,5-1 直和空间,这一类双矢量及其叠加可以构成一个新的矢量空间,定义这个空间中的三种运算,加法,5.1,在直和空间中的加法单位元（零矢量）是,数乘,内积,5.2,5.3,如果认定不同空间中矢量的内积为零，上述定义说明内积可按分配律展开,5.5,5.6,如果认定一个空间的算符作用到别的空间的矢量时得零矢量，则上式可按分配律展开,算符的加法和乘法可根据上述定义得出,5.7,5.8,直和空间的维数,由此可以看出，若取直和空间的基矢为,5.9,5.10,5.11,5.12,5.13,5.14,当然，可以用相同的方法讨论两个以上的空间的直和。一切关系都是明显的，这里不在赘述,5-2 直积空间,5.17,数乘,5.18,内积,此外，还有一个直积的分配律,5.19,5.20,5.21,算符运算有下列的关系,5.22,5.23,5.24,从上面各式可以看出，只要记住算符只对自己空间中的矢量有作用，对别的空间的矢量没有作用，习惯了以后，算符间的乘号也可以省去,算符的直积,5.25,这时,5.26,5.27,5.28,可以写成,5.30,直积算符的矩阵表示,此式可以写成一种便于记忆的形式,5.32,5.31,在矩阵理论中，上面的矩阵公式称为矩阵的直积，两个矩阵（可以不是方阵）的直积的定义就是（5.31）式,以上我们对于两个矢量空间的

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