高考数学大一轮复习 8.3直线、平面平行的判定与性质 理 苏教版

1、8.3直线、平面平行的判定与性质,第八章立体几何,数学 苏（理,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.直线与平面平行的判定与性质,a,a，b，ab,a,a，a， b,a,ab,2.面面平行的判定与性质,a，b， abP， a，b,a， b,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.() (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(,3)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.() (4)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF平面BCD.(

2、) (5)若，直线a，则a.(,或,解析,因为，a，所以a， 在平面内存在无数条直线与直线a平行， 但不是所有直线都与直线a平行， 故命题为真命题，命题为假命题. 在平面内存在无数条直线与直线a垂直，故命题为假命题,例1 (2014山东改编)如图，四棱锥PABCD中， ADBC，AB BC AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点. (1)求证：AP平面BEF,题型一直线与平面平行的判定与性质,解析,思维升华,证明连结EC,例1 (2014山东改编)如图，四棱锥PABCD中， ADBC，AB BC AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点

3、，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点. (1)求证：AP平面BEF,题型一直线与平面平行的判定与性质,BC綊AE， 四边形ABCE是平行四边形， O为AC的中点. 又F是PC的中点， FOAP,解析,思维升华,解析,思维升华,FO平面BEF， AP平面BEF， AP平面BEF,例1 (2014山东改编)如图，四棱锥PABCD中， ADBC，AB BC AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点. (1)求证：AP平面BEF,题型一直线与平面平行的判定与性质,判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的

4、判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa,例1 (2014山东改编)如图，四棱锥PABCD中， ADBC，AB BC AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点. (1)求证：AP平面BEF,题型一直线与平面平行的判定与性质,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,例1(2)求证：GH平面PAD,思维点拨,解析,思维升华,例1(2)求证：GH平面PAD,2)中可证明平面OHF平面PAD,思维点拨,解析,思维升华,证明连结FH，OH， F，H分别是PC，CD的中点， FHPD，FH平面

5、PAD. 又O是BE的中点，H是CD的中点,例1(2)求证：GH平面PAD,思维点拨,解析,思维升华,OHAD， OH平面PAD. 又FHOHH， 平面OHF平面PAD. 又GH平面OHF，GH平面PAD,例1(2)求证：GH平面PAD,思维点拨,解析,思维升华,例1(2)求证：GH平面PAD,判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa,跟踪训练1(2013福建改编)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3

6、，AD4，PAD60. (1)若M为PA的中点，求证：DM平面PBC,方法一证明如图，取PB中点N， 连结MN，CN. 在PAB中，M是 PA的中点,又CDAB，CD3， MNCD，MNCD， 四边形MNCD为平行四边形，DMCN. 又DM平面PBC，CN平面PBC， DM平面PBC,方法二证明如图，取AB的中点E，连结ME，DE. 在梯形ABCD中，BECD，且BECD， 四边形BCDE为平行四边形， DEBC，又DE平面PBC，BC平面PBC， DE平面PBC. 又在PAB中，MEPB， ME平面PBC，PB平面PBC,又在PAB中，MEPB， ME 平面PBC，PB 平面PBC， ME平

7、面PBC，又DEMEE， 平面DME平面PBC. 又DM 平面DME， DM平面PBC,2)求三棱锥DPBC的体积,题型二平面与平面平行的判定与性质,例2(2013陕西) 如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1 . (1)证明：平面A1BD平面CD1B1,解析,思维升华,解析,思维升华,证明由题设知，BB1綊DD1， 四边形BB1D1D是平行四边形，BDB1D1. 又BD平面CD1B1，B1D1平面CD1B1， BD平面CD1B1,题型二平面与平面平行的判定与性质,例2(2013陕西) 如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1

8、的底面ABCD 是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1 . (1)证明：平面A1BD平面CD1B1,解析,思维升华,A1D1綊B1C1綊BC， 四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C. 又A1B平面CD1B1，D1C平面CD1B1， A1B平面CD1B1. 又BDA1BB， 平面A1BD平面CD1B1,题型二平面与平面平行的判定与性质,例2(2013陕西) 如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1 . (1)证明：平面A1BD平面CD1B1,解析,思维升华,证明面面平行的方法： (1)面面平行的定义； (

9、2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行,题型二平面与平面平行的判定与性质,例2(2013陕西) 如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1 . (1)证明：平面A1BD平面CD1B1,解析,思维升华,3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化,题型二平面与平面平行的判定与性质,例2(2013陕西) 如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，

10、O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1 . (1)证明：平面A1BD平面CD1B1,例2(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积,解A1O平面ABCD,A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高,例2(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积,跟踪训练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证： (1)直线EG平面BDD1B1,证明如图，连结SB， E、G分别是BC、SC的中点， EGSB,跟踪训练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证： (1)直线EG平面BDD1

11、B1,又SB平面BDD1B1， EG平面BDD1B1， 直线EG平面BDD1B1,2)平面EFG平面BDD1B1,证明连结SD， F、G分别是DC、SC的中点，FGSD. 又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1， FG平面BDD1B1，由(1)知， EG平面BDD1B1，且EG平面EFG， FG平面EFG，EGFGG， 平面EFG平面BDD1B1,题型三平行关系的综合应用,例3如图所示， 在四面体ABCD中， 截面EFGH平行于 对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，

12、再建立目标函数求最值,题型三平行关系的综合应用,例3如图所示， 在四面体ABCD中， 截面EFGH平行于 对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大,思维点拨,解析,思维升华,解AB平面EFGH， 平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH. ABFG，ABEH， FGEH，同理可证EFGH， 截面EFGH是平行四边形,题型三平行关系的综合应用,例3如图所示， 在四面体ABCD中， 截面EFGH平行于 对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大,思维点拨,解析,思维升华,设ABa，CDb，FGH (即为异面直线AB和CD所成的角或其补角). 又设FGx，GHy,题型

13、三平行关系的综合应用,例3如图所示， 在四面体ABCD中， 截面EFGH平行于 对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大,思维点拨,解析,思维升华,题型三平行关系的综合应用,例3如图所示， 在四面体ABCD中， 截面EFGH平行于 对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大,SEFGHFGGHsin,思维点拨,解析,思维升华,题型三平行关系的综合应用,例3如图所示， 在四面体ABCD中， 截面EFGH平行于 对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大,x0，ax0且x(ax)a为定值， 当且仅当xax时,思维点拨,解析,思维升华,题型三平行关系的综合应用,例3如图所示

14、， 在四面体ABCD中， 截面EFGH平行于 对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大,即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大,思维点拨,解析,思维升华,利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决,题型三平行关系的综合应用,例3如图所示， 在四面体ABCD中， 截面EFGH平行于 对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大,跟踪训练3如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，在侧面PBC内，有BEPC于E，且BE a，试在

15、AB上找一点F，使EF平面PAD,解在平面PCD内，过E作EGCD交PD于G， 连结AG，在AB上取点F，使AFEG， EGCDAF，EGAF,跟踪训练3如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，在侧面PBC内，有BEPC于E，且BE a，试在AB上找一点F，使EF平面PAD,四边形FEGA为平行四边形， FEAG. 又AG平面PAD，FE平面PAD， EF平面PAD,跟踪训练3如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，在侧面PBC内，有BEPC于E，且BE a，试在AB上找一点F，使EF平面PAD,F即为所求的点. 又PA面AB

16、CD，PABC， 又BCAB，BC面PAB. PBBC,跟踪训练3如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，在侧面PBC内，有BEPC于E，且BE a，试在AB上找一点F，使EF平面PAD,PC2BC2PB2BC2AB2PA2,由PBBCBEPC得,跟踪训练3如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，在侧面PBC内，有BEPC于E，且BE a，试在AB上找一点F，使EF平面PAD,跟踪训练3如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，在侧面PBC内，有BEPC于E，且BE a，试在AB上找一点F，使E

17、F平面PAD,答题模板系列5 立体几何中的探索性问题,规 范 解 答,温 馨 提 醒,典例：(14分)如图，在四棱锥SABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中ADBC，BAD90，SA底面ABCD，SAABBC2.tanSDA . (1)求四棱锥SABCD的体积,答 题 模 板,规 范 解 答,温 馨 提 醒,解SA底面ABCD，tanSDA ，SA2,AD3,由题意知四棱锥SABCD的底面为直角梯形，且SAABBC2,规 范 解 答,温 馨 提 醒,规 范 解 答,温 馨 提 醒,1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一

18、般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设. (2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”，“只需使成立,规 范 解 答,温 馨 提 醒,答 题 模 板,规 范 解 答,温 馨 提 醒,2)在棱SD上找一点E，使CE平面SAB， 并证明,解当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE平面SAB. 取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上 靠近A的三等分点为F，连结CE，EF，BF,答 题 模 板,规 范 解 答,温 馨 提 醒,BC綊EF，CEBF,答 题 模 板,规 范 解

19、答,温 馨 提 醒,又BF平面SAB，CE平面SAB， CE平面SAB,答 题 模 板,规 范 解 答,温 馨 提 醒,解决立体几何中的探索性问题的步骤： 第一步：写出探求的最后结论. 第二步：证明探求结论的正确性. 第三步：给出明确答案. 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范,答 题 模 板,规 范 解 答,温 馨 提 醒,1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设. (2)这类问题也可以

20、按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”，“只需使成立,方 法 与 技 巧,1.平行问题的转化关系,2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质,3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a,失 误 与 防 范,1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误,2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化,

21、3.解题中注意符号语言的规范应用,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,1.设，是两个不同的平面，m，n是平面内的两条不同的直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是_. m且l1 l1且l2 m且n ml1且nl2 解析ml1，且nl2，但/ ml1且nl2， “ml1，且nl2”是“”的一个充分不必要条件,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2.若直线a平行于平面，则下列结论错误的是_(填序号). a平行于内的所有直线； 内有无数条直线与a平行； 直线a上的点到平面的距离相等； 内存在无数条直线与a成90角,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,解析若

22、直线a平行于平面，则内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以不正确，、正确. 又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以正确. 答案,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3.如图所示，四棱锥PABCD的底面是一直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系是_,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,解析取PD的中点F，连结EF、AF,又ABCD，且CD2AB， EF綊AB,四边形ABEF为平行四边形. EBAF，又EB面PAD，AF面PAD，BE面PAD,答案平行,2,3,4,5,6,7,8,9,1

23、0,1,4.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面、的三个命题： 若l与m为异面直线，l，m，则； 若，l，m，则lm； 若l，m.n，l，则mn. 其中真命题的个数为_,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,解析中当与不平行时，也可能存在符合题意的l、m； 中l与m也可能异面,答案1,5.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是_,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,解析中易知NPAA，MNAB， 平面MNP平面AAB可得出AB平面MNP(如图). 中，NPAB，能得出AB平面MNP. 答案,2,3,4,

24、5,6,7,8,9,10,1,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,6.在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_. 解析如图，取CD的中点E. 则EMMA12， ENBN12，所以MNAB. 所以MN平面ABD， MN平面ABC,平面ABD与平面ABC,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,7.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP ，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,解析平面AB

25、CD平面A1B1C1D1，MNPQ. M、N分别是A1B1、B1C1的中点,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,8.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的为_(填序号). ACBD； AC截面PQMN； ACBD； 异面直线PM与BD所成的角为45,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,解析PQMN是正方形， MNQP，则MN平面ABC， 由线面平行的性质知MNAC，则AC截面PQMN， 同理可得MQBD，又MNQM，则ACBD， 故正确. 又BDMQ，异面直线PM与BD所成的角即为PMQ45，故正确. 答案,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,9.如

26、图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC5，BB1BC6，D，E分别是AA1和B1C的中点. (1)求证：DE平面ABC； 证明取BC中点G，连结AG，EG. 因为E是B1C的中点， 所以EGBB1,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,由直棱柱知，AA1綊BB1，而D是AA1的中点，所以EG綊AD， 所以四边形EGAD是平行四边形.所以EDAG. 又DE平面ABC，AG平面ABC， 所以DE平面ABC,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,2)求三棱锥EBCD的体积. 解因为ADEG，EG平面BCE，AD平面BCE， 所以AD平面BCE， 所以VEBCDVDBECVABCEVEA

27、BC， 由(1)知，DE平面ABC,10.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证： (1)EG平面BB1D1D,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,证明取B1D1的中点O，连结GO，OB， 易证四边形BEGO为平行四边形，故OBGE， 由线面平行的判定定理即可证EG平面BB1D1D,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,2)平面BDF平面B1D1H. 证明由题意可知BDB1D1. 如图，连结HB、D1F， 易证四边形HBFD1是平行四边形， 故HD1BF. 又B1D1HD1D1，BDBFB， 所以平面BDF平面B1D1H,2,3,4,5,1,1.对于平面和共面的直线m，n，下列命题中为真命题的是_. 若m，n与平面所成的角相等，则mn； 若m，n，则mn； 若m，mn，则n； 若m，n，则mn,2,3,4,5,1,解析正三棱锥PABC的侧棱PA，PB与底面所成角相等，但PA与PB相交