平行线的判定及性质

1、 授课主题平行线 教学目的1.理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论； 教学重点平行线的判定及性质教学内容【知识梳理】要点一、平行线1定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作ab要点诠释：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行(3)在同一平面内，两条直线的位置关

2、系只有相交和平行两种特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系2平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行3推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：32ABCD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：12ABCD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁

3、内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：42180ABCD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.要点三、平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行” (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离要点诠释：

4、（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题要点诠释：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2）命题的表达形式：“如果，那么.”，也可写成：“若，则.”（3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.2.定理：定理是从真命题（

5、公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.要点诠释：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可要点六、平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2

6、. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、平行线例1下列说法正确的是 ( ) A不相交的两条线段是平行线. B不相交的两条直线是平行线.C不相交的两条射线是平行线. D在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.【答案】D 例2在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且

7、只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：( ) A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B 【解析】正确的是：（1）(3).【变式1】下列说法正确的个数是 ( )（1）直线a、b、c、d，如果ab、cb、cd，则ad.（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行 A1个 B .2个 C3个 D4个【答案】B 类型二、两直线平行的判定例3. 如图，给出下列四个条件：（1）ACBD； （2）DACBCA； （3）ABDCDB；（4）ADBCBD,其中能使ADBC的条件有

8、（ ）.A（1）（2） B（3）（4） C（2）（4） D（1）（3）（4）【答案】C 【变式2】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A第一次向左拐30，第二次向右拐30 B第一次向右拐50，第二次向左拐130 C第一次向右拐50，第二次向右拐130 D第一次向左拐50，第二次向左拐130例4. 如图所示，已知B25，BCD45，CDE30，E10试说明ABEF的理由 解法1：如图所示，在BCD的内部作BCM25，在CDE的内部作EDN10 B25，E10(已知)， BBCM，EEDN(等量代换) ABCM，EFDN(内错角相等，两直

9、线平行) 又 BCD45，CDE30(已知)， DCM20，CDN20(等式性质) DCMCDN(等量代换) CMDN(内错角相等，两直线平行) ABCM，EFDN(已证)， ABEF(平行线的传递性)解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点 BCD45， NCB135 B25， CNB180-NCB-B20(三角形的内角和等于180) 又 CDE30， EDM150 又 E10， EMD180-EDM-E20(三角形的内角和等于180) CNBEMD(等量代换) 所以ABEF(内错角相等，两直线平行)【变式3】已知，如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且1与2互余

10、，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由解：ABCD，理由如下： BE平分ABD，DE平分CDB， ABD21，CDB22 又 1+290， ABD+CDB180 ABCD(同旁内角互补，两直线平行)【变式4】已知，如图，ABBD于B，CDBD于D，1+2=180，求证：CD/EF【答案】证明：ABBD于B，CDBD于D，ABCD又1+2=180，ABEFCD/EF类型三、平行线的性质例5如图所示，如果ABDF，DEBC，且165那么你能说出2、3、4的度数吗?为什么 解： DEBC， 4165(两直线平行，内错角相等) 2+1180(两直线平行，同旁内角互补) 2180-1180-651

11、15 又 DFAB(已知)， 32(两直线平行，同位角相等) 3115(等量代换)【变式5】如图，已知，且1=48，则2 ，3 ，4 .【答案】48，132，48【变式6】如图所示，直线l1l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若ABC的面积为S1，ABD的面积为S2，则( ) AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不确定【答案】B类型四、命题例6判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的? 还是错误的? 画直线AB；两条直线相交，有几个交点；若ab，bc，则ac；直角都相等；相等的角都是直角；如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角【答案】不是命题；是命题；是正确的命题；是错误

12、的命题【变式8】把下列命题改写成“如果，那么”的形式 （1）两直线平行，同位角相等；（2）对顶角相等；（3）同角的余角相等.【答案】 解：（1）如果两直线平行，那么同位角相等.（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.（3）如果有两个角是同一个角的余角，那么它们相等.类型四、平移例7(湖南益阳)如图所示，将ABC沿直线AB向右平移后到达BDE的位置，若CAB50，ABC100，则CBE的度数为_【答案】30【变式9】 (上海静安区一模)如图所示，三角形FDE经过怎样的平移可以得到三角形ABC( ) A沿EC的方向移动DB长 B沿BD的方向移动BD长 C沿EC的方向移动CD长 D沿BD的方向移

13、动DC长【答案】A类型五、平行的性质与判定综合应用例8、如图所示，ABEF，那么BAC+ACE+CEF( ) A180 B270 C360 D540【答案】C 【解析】过点C作CDAB， CDAB， BAC+ACD=180(两直线平行，同旁内角互补)又 EFAB EFCD DCE+CEF=180(两直线平行，同旁内角互补)又ACEACD+DCEBAC+ACE+CEFBAC+ACD+DCE+CEF=180+180=360【课后作业】一、选择题1.下列说法中正确的有( ) 一条直线的平行线只有一条 过一点与已知直线平行的直线只有一条 因为ab，cd，所以ad 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直

14、线平行A1个 B2个 C3个 D4个2如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角( ) A相等 B互补 C互余 D相等或互补3如图，能够判定DEBC的条件是 ( ) ADCE+DEC180 BEDCDCB CBGFDCB DCDAB，GFAB4一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是 ( ) A第一次向右拐40，第二次向右拐140 B第一次向右拐40，第二次向左拐40 C第一次向左拐40，第二次向右拐140 D第一次向右拐140，第二次向左拐405如图所示，下列条件中，不能推出ABCE成立的条件是 ( ) AAACE BBAC

15、E CBECD DB+BCE1806.( 绍兴)学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，(1)(4)）:从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行A. B. C. D. 二、填空题7. 在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是_8如图，DF平分CDE，CDF55，C70，则_9规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3，a100，若a1a2，a2a3，a3a4，按此规律，a1和a100的位置是_10已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40

16、，则另一个角的度数是 11直线同侧有三点A、B、C，如果A、B两点确定的直线 与B、C两点确定的直线都与平行，则A、B、C三点 ，其依据是 12. 如图，ABEF于点G，CDEF于点H，GP平分EGB，HQ平分CHF，则图中互相平行的直线有 三、解答题13.如图，160，260，3100，要使ABEF，4应为多少度?说明理由14小敏有一块小画板(如图所示)，她想知道它的上下边缘是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能帮助她解决这一问题吗?15如图，把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠，已知ADB20，那么BAF为多少度时，才能使ABBD?16如图所示，由12，BD平分ABC，可推出哪两条线段平行

17、，写出推理过程，如果推出另两条线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A 【解析】只有正确，其它均错2. 【答案】D 3. 【答案】B 【解析】内错角相等，两直线平行4. 【答案】B5. 【答案】B 【解析】B和ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角6. 【答案】C 【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点P的折痕与虚线垂直二、填空题7. 【答案】0或1或2或3个；8. 【答案】BC， DE；【解析】CFD180705555，而FDECDF55，所以CFDFDE9. 【答案】a1a100；【解析】为了方便，我们可以记为a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a97a98a99a100，因为a1a2a3，所以a1a3，而a3a4，所以a1a4a5同理得a5a8 a9，a9a12 a13，接着这样的规律可以得a1a97a100，所以a1a10010.【答案】 40或14011.【答案】共线，平行公理；【解析】此题考查是平行公理，它是论证推理的基础，应熟练应用12.【答案】ABCD，GPHQ；【解析】理由： ABEF，CDEF AGECHG90 ABCD ABEF EGB290 GP平分EGB 1EGB45 PGH1+2135 同理GHQ135， PGHGHQ GPHQ三、解答