圆锥曲线题型完美版

1、高中数学选修2-1资料第一章 圆锥曲线第一节 椭圆1椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a_|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫做椭圆的_(2)另一种定义方式(见人教A版教材选修21 P47例6、P50)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0e1)的轨迹叫做椭圆定点F叫做椭圆的一个焦点，定直线l叫做椭圆的一条准线，常数e叫做椭圆的_2椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)图形(2)标准方程1(ab0)(3)范围axa，bybaya，bxb(4)中心原点O(0，0)(5)顶点A1

2、(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)(6)对称轴x轴，y轴(7)焦点F1(0，c)，F2(0，c)(8)焦距2c2(9)离心率(10)准线xy3.椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形如图所示，设F1PF2.(1)当P为短轴端点时，最大(2)SPF1F2|PF1|PF2|sinb2b2tanc|y0|，当|y0|b，即P为短轴端点时，SPF1F2取最大值，为bc.(3)焦点三角形的周长为2(ac) (4)通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离。大小为。题型一 椭圆的定义【例1】(1)平面内与两个定点F

3、1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()(3)1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同()【例2】已知方程1表示椭圆，则m的取值范围为()A(3,5) B(3,1)C(1,5) D(3,1)(1,5)【变式1】“3m0,0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若BFBA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。【例7】在ABC中，如果一个椭圆过A、B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率.【变式4】以、为焦点的椭圆（）上一动点P，当最大时的正切值为2

4、，则此椭圆离心率e的大小为 。【变式5】如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于 .【变式6】如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为 .1.平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x,y），若点M（x,y）在椭圆上，则有；若点M（x,y）在椭圆内，则有；若点M（x,y）在椭圆外，则有.2.直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程

5、，其判别式为.0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点3.直线与椭圆的相交弦设直线交椭圆于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【例1】若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围 .【例2】对不同实数m，讨论直线与椭圆的公共点的个数.【变式1】直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆x2/9+y2/m=1总有公共点，求实数m的取值范围是（ ） A.1/2m9 B.9m10 C.1m9 D.1m9【变式2】直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1有且只有一个交点，则m2=（ ）

6、A. B. C. D.题型二 弦长【例1】求直线xy1=0被椭圆截得的弦长【变式1】已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程【例2】（2016秋仙桃校级期末）已知椭圆，过左焦点F1倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点求弦AB的长【变式2】（2016秋黄陵县校级期末）已知椭圆C：的一个顶点为A（2，0），离心率为直线y=x-1与椭圆C交于不同的两点M，N（1）求椭圆C的标准方程；（2）求线段MN的长度题型三 点差法【例1】已知点P（4，2）是直线被椭圆所截得线段的中点，求直线的方程.【变式1】已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦

7、的中点，求点的坐标.【例2】已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【例3】过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_【变式2】过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。【变式3】已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。椭圆综合1.（2016春平凉校级期末）已知椭圆M：1(ab0)的离心率为，短轴的长为2（1）求椭圆

8、M的标准方程（2）若经过点（0，2）的直线l与椭圆M交于P，Q两点，满足0，求l的方程2.（2016秋龙海市校级期末）已知椭圆C：1(ab0)的焦距为，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6（）求椭圆C的方程；（）设直线l：y=kx-2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程3.（2016秋万州区校级期末）已知命题p：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q：关于实数t的不等式.（1）若命题p为真，求实数t的取值范围；（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围4.（2016秋邻水县期末）已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左焦点为F

9、（-1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点（1）求椭圆C的标准方程；（2）求k的取值范围.5.（2016秋尖山区校级期末）已知椭圆1(ab0)的离心率为，且（1）求椭圆的方程；（2）直线l：x-y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由第二节 双曲线1.双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.要点诠释：1.双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性

10、质“两边之差小于第三边”来理解；2.若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3.若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4.若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5.若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程1.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中题型一 双曲线的定义【例1】已知点F1(4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线方程为（ ）A. B.1(y0)C

11、.或 D.(x0)【例2】已知点P(x,y)的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ）A椭圆 B双曲线中的一支 C两条射线 D以上都不对【变式1】“ab0”是“曲线ax2by21为双曲线”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【变式2】（2015南市区校级模拟）已知M（-2，0）、N（2，0），|PM|-|PN|=4，则动点P的轨迹是（） A双曲线 B双曲线左边一支 C一条射线 D双曲线右边一支【例3】已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（ ）A1k0Ck0 Dk1或k0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离

12、心率的取值范围是 .【变式3】已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为 .【例4】已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P是准线上一点，且PF1PF2，PF1PF24ab，则双曲线的离心率是 .【例5】设和为双曲线()的两个焦点，若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 .【变式4】过双曲线(a0，b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 .【变式5】设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 .【例6

13、】已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为 .【例7】双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 .【变式6】双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为 .1.直线与双曲线的位置关系将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为.若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点

14、；0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2.直线与双曲线的相交弦设直线交双曲线于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：题型一 直线与双曲线的位置关系【例1】直线l过点(1，1)，与双曲线只有一个公共点，则满足条件的l有（ ） A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条【例2】已知双曲线x2y2=4，直线l：y=k(x1)，讨论直线与双曲线公共点个数.【例3】过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。【变式1】“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的（ ） A.充分不必要条件

15、B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件【变式2】若直线y=kx+1与曲线x=有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ） A.-k B.-k-1 C.1k D.k【变式3】直线y=(x)与双曲线的交点 个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.4个题型二 弦长【例1】求直线被双曲线截得的弦长.【例2】垂直于直线的直线被双曲线截得的弦长为，求直线的方程.【变式1】斜率为2的直线l被双曲线截得的弦长为2，则直线l的方程是（ ）A.y=2x B.y=2x C.y=2x D.y=2x【变式2】过双曲线16x2-9y2=144的右焦点作倾斜角为的弦AB，则|AB|等于 .题型三 点差法

16、 在双曲线（0，0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.同理可证，在双曲线（0，0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.【例1】已知双曲线，过点作直线交双曲线C于A、B两点.若P恰为弦AB的中点，求直线的方程.【例2】已知双曲线与点（1）斜率为且过点P的直线与C有两个公共点，求的取值范围；（2）是否存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P？（3）试判断以为中点的弦是否存在.【例3】设双曲线的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线（）试求双曲线C的方程；（）设直线与双曲

17、线交于两点，求；（）对于直线，是否存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线(为常数)对称，若存在，求出值；若不存在，请说明理由【变式1】已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点，MN的中点的横坐标为，则此双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【变式2】设A、B是双曲线上两点，点是线段AB的中点.求直线AB的方程。【变式3】已知双曲线，过点作直线交双曲线于A、B两点.（1）求弦AB的中点M的轨迹; （2）若点P恰好是弦AB的中点，求直线的方程和弦AB的长.双曲线综合1.（2016秋宁城县期末）已知命题p：k2-8k-200，命题q：方程表示焦点在x轴上的双曲线（）命

18、题q为真命题，求实数k的取值范围；（）若命题“pq”为真，命题“pq”为假，求实数k的取值范围2.（2016秋泉港区校级期末）若抛物线的顶点是双曲线x2-y2=1的中心，焦点是双曲线的右顶点（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由3.（2016春内江期末）（1）若双曲线的离心率e（1，2），求实数m的取值范围；（2）若方程表示椭圆，求实数t的取值范围第三节 抛物线1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦

19、点，直线l叫做抛物线的准线2.抛物线的标准方程顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为：y22px(p0)；顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为：y22px(p0)；顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为：x22py(p0)；顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为：x22py(p0)注意：定义的理解和方程中p的意义(1)定义的实质可归纳为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M到点F的距离和它到直线l的距离的比值等于1.(2)p的几何意义是焦点到准线的距离.【例

20、1】若动圆与定圆:相外切，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程.【变式1】平面上动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程。【变式2】若点M到定点F（4，0）的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程。【例2】求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点(-2，3)；（2）焦点在直线3x-4y-12=0上；（3）准线过点(2，3)；（4）焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离等于5。【例3】已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程。【变式3】求过点的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程.【变式4】抛物线的顶点在原点，

21、对称轴是x轴，抛物线上的点(5,2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为()Ay22x By24xCy22x Dy24x或y236x【例4】（2017西安一模）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（） A-2 B2 C-4 D4【变式5】（2017河西区模拟）若抛物线y2=2px（p0）的焦点坐标为（1，0），则p的值为（） A1 B2 C4 D8【变式6】（2017和平区模拟）抛物线y2=8x的准线方程是（） Ax=2 By=2 Cx=-2 Dy=-2【变式7】若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则a的值为（ ）A-2B2C-4D4【例5】已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上

22、一点M（m，3）到焦点的距离为5，求m的值、抛物线的方程和准线方程。【变式8】设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，2)与F点的距离为4，则k的值是()A4B4或4C2 D2或21.抛物线的简单几何性质：图形标准方程y2=2px（p0）y2=2px（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）顶点O（0，0）范围x0， x0，y0，y0，对称轴x轴y轴焦点离心率e=1准线方程焦半径2.抛物线的性质：焦点坐标是：；准线方程是：；焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：；抛物线上的动点可设为P或或P3.抛物线焦点弦的性质：焦点弦：线段AB

23、为抛物线y22px(p0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2；(2)y1y2p2；(3)焦半径|AF|x1；(4)弦长dx1x2p.当弦ABx轴时，弦长最短为2p，此时的弦又叫通径；(5)弦长d(为AB的倾斜角)题型一 抛物线简单的几何性质【例】（1）写出抛物线的焦点坐标、准线方程；（2）已知抛物线的焦点为写出其标准方程；（3）已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.【变式】已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程.题型二 抛物线的焦点弦性质1：设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1y2=-p2

24、；.性质2：抛物线焦点弦的长度：=.性质3：三角形OAB的面积公式：性质4：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.性质5：以抛物线y2=2px(p0),焦点弦PQ端点向准线作垂线，垂足分别为M、N，则FMFN.(其中F为焦点).性质6：设抛物线y2=2px(p0),焦点为F，焦点弦PQ，则+=(定值).性质8：如图，A、O、B1和B、O、A1三点分别共线【例1】斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长【例2】抛物线y=4x2上的一点M到焦点F的距离为1,则点M的纵坐标为。【例3】以抛物线y2=2px(p0)的焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准

25、线l位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定【变式1】以抛物线y2=2px( p0) 的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定【变式2】（2017百色一模）若抛物线y2=2px（p0）上的点A（x0，）到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于（） A B1 C D2【例4】（2017本溪模拟）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（） A3 B C D【例5】（2017厦门一模）抛物线y2=4x的焦点为F，点A（3，2），P为抛物线上一点，且P不在直线AF上

26、，则PAF周长的最小值为（） A4 B5 C D【例6】（2017大连模拟）已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若，则直线l的方程为（） Ax-2y-1=0 B2x-y-2=0 Cx-y-1=0 D【例7】（2015浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是（）A B C D【变式3】（2017厦门一模）已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，A，B是C上两动点，且AFB=（为常数），线段AB中点为M，过点M作l的垂线，垂足为N，

27、若的最小值为1，则=（） A B C D【变式4】（2017襄阳模拟）抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足AFB=设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是（）A B C D【变式5】（2017吉林二模）过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是_.【变式6】（2017虹口区一模）点M（20，40），抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于_.【变式7】已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若4，则|QF|()A. B3C. D21.直线与抛物线的位置关系：（1）位置关系的判定：联立直线和抛物线消整理得：当时直线与抛物线相交，有两个不同公共交点直线与抛物线相切，只有一个公共交点直线与抛物线相离，没有公共交点当时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切。（2） 若直线与抛物线相交于，则弦长或。题型一 直线与抛物线的位置关系【例1】过定点P(0,2)作直线l，使l与抛物线y24x有且只有一个公共点，这样的直线l共有_条【例2】已知抛物线方程，当为何值时，直线与抛物线（1）只