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1、 乘法坐标系下的积分公式 摘要 :本文把倍加的笛卡尔坐标系变成倍乘坐标系,因而把牛顿莱布尼茨基本微积分公式的连加运算,变成连乘运算,提出新的基本微积分公式,还给出一般的函数坐标系。 在坐标系里,如果坐标轴上的单位间隔为: 且这里的n为整数,1作为坐标原点,把这样的坐标系称共坐标系,其图如下: 设 函数 在共坐标系上a,b有界,在a,b中插入若干个分 把区间a,b分成n个小区间 各个小区间的长度依次为 在每个小区间上任取一点,做函数值与小区间长度的乘积 并做连乘,记,如果不论对a,b怎样划分,也不论在小区间上怎样选取,只要当能时,积M总趋于确定的极限I,那么称这个极限I为函数在区间a,b上的伊积
2、分,记作。 其中叫做被积函数,叫做被积表达式, 叫做积分变量,a叫做积分下限,b叫做积分上限,a,b叫积分区间 可得微积分基本公式为: .其积分公式参考基本积分公式 同理: 设 函数 在a,b上有界,在a,b中插入若干个分 把区间a,b分成n个小区间 各个小区间的长度依次为 在每个小区间上任取一点,做函数值与小区间长度的乘 积 ,如果不论对a,b怎样划分,也不论在小区间上怎样选取,只要当能时,积M总趋于确定的极限I,那么称这个极限I为函数在区间a,b上的高维伊积分,记作, 即 (1) 注: 当积分次数为分数时,这里给出一些说明 由分数的定义知,把n个东西分成m份,记做 而对幂函数的分数形式所表
3、示的意义为:先对x n方,在开m次方,记做: 因此对函数的积分次数的分数形式所表示的意义为:先对 积n次方,在对求m次导,记做: 而上述的乘法坐标系只是乘法函数坐标系的一种特例, 当坐标系里的坐标标注为: 则称这样的坐标系为函数坐标系,而加法和乘法式的函数坐标系分别如图 当加法坐标系轴函数为 时,函数坐标系就变为笛卡尔坐标系,而乘法坐标系同理。 伊积分和共坐标系的应用:(1)伊积分在概率论上的应用 例如:在一个工厂的生产线上,产品从a点移动到b点的合格的概率为P,而在点处产品合格的概率为,且,求概率P 解: 首先建立共坐标系,然后把直角坐标系上的区间,变成共坐标系的区间,然后应用伊积分定理,求解概率P,因此可得: (2)共坐标系在函数图象和解析式上的应用例如 函数画在直角坐标系里为双曲线,而画在 的坐标系就为一条直线,如图一,而画在 的
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