重庆市第一中学2020届高三数学下学期期中试题 文

1、 可修改重庆市第一中学2020届高三数学下学期期中试题 文注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3. 考试结束后，将答题卡交回。第 卷（选择题，共60分）1、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 设集合，则 ( )ABC D 2. 已知向量，若 ，则 ( )A. B. C. D. 3. 复数，若复数与在复平面内的对应点关于虚轴对称，则( )A. B. C. D. 4. 一场考试之后，甲乙丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优

2、秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是( ) A甲同学三个科目都达到优秀 B乙同学只有一个科目达到优秀 C丙同学只有一个科目达到优秀 D三位同学都达到优秀的科目是数学5. 2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为( )A B C D 6. 已知一组数据的平均数是，方差是，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则

3、下列说法正确的是( )A这组新数据的平均数是 B这组新数据的平均数是C这组新数据的方差是 D这组新数据的标准差是7. 已知表示的平面区域为，若对都有，则实数的取值范围是( )A B C D 8. 将表面积为的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为( )A B C D 9. 若函数与函数在公共点处有共同的切线，则实数的值为( ) A4BC D 10. 已知是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是线段的中点，是坐标原点，若的周长为（为双曲线的半焦距）且，则双曲线的渐近线方程为( )ABC D 11. 已知函数的图象过点，且在上单调，同时将的图象向左平移个单位后

4、与原图象重合，当且时，则( )A B C D 12. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为( )A. 20B. 18C. 16D. 14第卷（非选择题，共90分）2、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知等比数列的前项和为，且，则_.14. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于两点，且点恰好为线段的中点，则_.15. 设为数列的前项和，若，且（），则_.16. 在三棱锥中，若与底面所成的角为，则点到底面的距离是_；三棱锥的外接球的表面积是_.（本小题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必

5、考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）如图，是等边三角形，是边上的动点（不含端点），记,.（1）求的最大值；（2）若，求的面积. 18.（12分）如图，在直三棱柱中，是的中点，.（1）求证：；（2）若异面直线和所成角为，求四棱锥的体积.19.（12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月（510月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如右图所示.（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并

6、据此预测该公司2020年5月份的利润；使用寿命/材料类型1个月2个月3个月4个月总计A20353510100B10304020100(表1)（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表1）. 若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？参考数据： ；.参考公式：回归直线方程，其中， 20.（12分）已知椭圆的长轴长为4，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）

7、直线的斜率为，且与椭圆交于两点（异于点），过点作的角平分线交椭圆于另一点. 证明：直线与坐标轴平行.21.（12分）已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）若对于任意实数，当时，函数的最大值为，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.22. 选修44：坐标系与参数方程 （10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数). 以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）求曲线的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，射线分别交、于点（异于极点），当时，求的值.23. 选修45：不等式选讲 （10分）已知，

8、.（1）求证：；（2）若，求证：.2020年重庆一中高2020级高三下期期中考试数学（文科）试题卷（参考答案）一、选择题题号123456789101112答案 C D A C CD A B C B B C二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解：（1），2coscos=2coscossin，又，故当时，原式取最大值.6分（2）由cos ，得sin ，故sin sinsin coscos sin，在中，由正弦定理，得ABBD1，故SABDABBDsin B.12分18.（1）证明：如图，连交于点，连.因为直三棱柱中，四边形是矩形，故点是中点，又是的中点，故，又故.6分（2）解

9、：由（1）知，又，故或其补角为异面直线和所成角.设，则，故为等腰三角形，故，故为等边三角形，则有，得到.故为等腰直角三角形，故，又，故，又，故，又梯形的面积，则四棱锥的体积.12分19. 解：（1）由折线图可知统计数据共有组，即，计算可得，所以，.所以月度利润与月份代码之间的线性回归方程为.6分由题意推得2020年5月份对应的年份代码为13，故当时，（百万元），故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元. 8分（2）型新材料对应产品的使用寿命的平均数为（个月），型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为（个月），采购型新材料更好. 12分注：若采用其他数字特征（如中位数、众数等）进行合理表述，

10、也可酌情给分。20.（1）解：由条件得：.4分（2）证明：欲证与坐标轴平行，即证直线的方程为或，又因为平分，故只需证明的斜率都存在时满足即可. 6分当的斜率不存在时，即点或的坐标为，而经检验此时直线与椭圆C相切，不满足题意.故的斜率都存在，下证.7分设直线，联立，此时，9分（），（）式的分子，得证. 12分21.（1）解：（I）当时，则，整理得， 1分令得，当变化时，变化如下表：极大值极小值由上表知函数的极大值为，极小值为.4分（2）由题意，1当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为. 6分2当时，令，有，（i）当时，函数在上单调递增，显然符合题意. 7分（ii）当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值且，只需，解得，又，所以此时实数的取值范围是. 9分（iii）当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，要存在实数，使得当时，函数的最大值为，需，代入化简得 令，因为恒成立，故恒有，所以时，恒成立， 综上，实数的取值范围是. 12分22.（1）曲线的普通方程为将代入的普通方程，得