高一期末复习之立体几何初步(知识点和配套习题

1、高一期末复习立体几何初步1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE abcde或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形； 侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义：有一个面是多边形， 其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥

2、、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 P abcde几何特征:侧面、对角面都是三角形； 平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到 截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台 p abcde几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ，其余三边旋转所成的曲面所围成的几 何体几何特征:底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5） 圆

3、锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的

4、高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。3、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点： 原来与x轴平行的线段仍然与 x平行且长度不变；原来与y轴平行的线段仍然与 y平行，长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积s直棱柱侧面积chS圆柱侧2 rhS正棱锥侧面积如s圆锥侧面积s正棱台侧面积11(c1 C2)h2S圆台侧面积（rR)Is圆柱表2r r IS圆锥表r rIS圆台表rrIRI R（3）柱体、锥体、台体的体积公式V柱ShVs柱 Shr2hV锥-Sh31 2 V圆锥r h31

5、V台 3(SjSS S)hV圆台1(S应S)h-(r2 rR3R2)h（2 ）特殊几何体表面积公式c为底面周长,h为高，h为斜高，|为母线）rl（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（4）球体的表面积和体积公式：V球=4 r3 ； S球面=4 R234、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面 平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的； 平面的表示：通常用希腊字母a、B、丫表示，如平面a （通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BG 点与平面的关系： 点A在平面 内，记作A；点A不在平面内，记作A点与直线的关系： 点A的直线l上，记作：A | ； 点A在直

6、线I夕卜，记作A l ； 直线与平面的关系：直线I在平面a内，记作I a；直线I不在平面a内，记作I a。（2）公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1： A I,B I,A ,BI(3) 公理2:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一 平面。公理2及其推论作用：它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据(4) 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一

7、条过该点的公共直 线符号：平面a和B相交，交线是 a,记作aA3= a。符号语言：P AI B AI B l,P l公理3的作用： 它是判定两个平面相交的方法。 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。(5) 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行(6) 空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质：既不平行，又不相交。(7 )等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。(8) 空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内 有无数个公共点.直线不

8、在平面内|相交一一只有一个公共点-(或直线在平面外)平行一一没有公共点.三种位置关系的符号表示：a a a Aa= A a /a(9 )平面与平面之间的位置关系：平行一一没有公共点；a/B相交 有一条公共直线aQB=b5、空间中的平行问题(1) 直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。线线平行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行(2) 平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理(1) 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个

9、平面，那么这两个平面平行(线面平行t面面平行)，(2) 如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。(线线平行t面面平行)，(3 )垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理(1 )如果两个平面平行， 那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行t线面平行)(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。(面面平行t线线平行)7、空间中的垂直问题(1)线线、面面、线面垂直的定义 两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

10、平面和平面垂直：如果两个平面相交， 所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角)，就说这两个平面垂直。(2)垂直关系的判定和性质定理 线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一 个平面。9、空间直角坐标系(1) 定义：如图，OBCD DABC是单位正方体.

11、以A为原点，分别以OD,OA ,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1) O叫做坐标原点 2 ) x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3 )过每两个坐标轴的平面叫做坐 标面。(2) 右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的 相位置。(3) 任意点坐标表示：空间一点 M的坐标可以用有序实数组 (x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z) (x叫做点M的横坐标,M的竖坐标)y叫做点M的纵

12、坐标，z叫做点(4)空间两点距离坐标公式：d(X2 xi)22 25 yi)亿 zi)典型例题1、关于直线a、A.B.C.D.若 a/ M 若a / M 若a M 若a丄MM 贝 U a / b 贝U b丄M 则I丄a, 则Ml Nb、I与平面 b/ M b a, b M a / N,N,下列命题中正确的是(2、 若I, m,n是互不相同的空间直线，是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是(A.若/),l,n ，则 l/nB.若,1C若In, m，则In，则 I/mD.若I,l，则3.设a, b为两条直线,A. 若a, b与B. 若 a/,b,为两个平面，下列四个命题中,所成的角相等，贝U a

13、/b/ ，则 a/b正确的命题是()C.若 a ,a/b，贝U /4、D.若 a ,，则a ba和B是两个不重合的平面，在下列条件中可以判定aB的是A. a、B都垂直于平面B. a内不共线的三点到B的距离相等C. I、m是a内的直线，且I /B, m/BD. I、m是两条异面直线,且I /a, m/a, mB, I6. 已知直线I丄平面a,直线m平面B,有下列四个命题: a/B I丄m a丄B I / m I / m a丄B I丄m a 其中正确的两个命题是()A与 B .与C.与D.与5、 三个互不重合的平面，能把空间分成n个部分，n所有可能的值是(A)4,6,7(B)4,5,6,8(C)4

14、,7,8(D)4,6,7,86. 下列命题中，结论正确的个数是()(1如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等(2) 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的 锐角或直角相等(3) 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互 补(4) 如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行A. 1 个 B. 2个C. 3个D.4 个7. 已知正四棱柱的底面积为4,过相对侧棱的截面面积为8,则该正四棱柱的体 积为8. 下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱

15、为直四棱柱 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； 四棱柱的四条对角线两两全等，则该四棱柱为直四棱柱.其中真命题的编号是9. 设A、B、C D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是()A. 8 .6 B . 64 .6C. 24.2D. 72 .210. 如图，正四棱锥P ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球0的同一个大 圆上，点P在球面上，如果VPABCD 16，则球O的表面积是3A. 4 B. 8 C. 12 D. 1611. 一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示(单位：cm),则该几何 体的体积是 cm 3.1

16、2. 如图，一个空间几何体的正视图，左视图，俯视图为全等的等腰直角三角形,如果等腰直角三角形的直角边长为z（第 12 题）（第 11 题）18. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形， 正视图(或称主视图) 是一个底边长为&高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一 个底边长为&高为4的等腰三角形.(1) 求该几何体的体积V;(2) 求该几何体的侧面积S。19. 如图所示，ABCD为正方形，SA 平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交 SB，SC，SD 于 E，F，G .13已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和，该圆台的母线长14. 一个长方体的相交于一个顶点

17、的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是15. 边长为a的正方体的内切球，外接球以及和各个棱都相切的球的体积比为16. P是厶ABC所在平面外一点，且 PA 平面ABC若O Q分别是ABCn PBC的垂心，求证：Q 平面PBC.求证：AE SB AG SD.C17. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 AAi = 8.若AABiB水平放置时, 液面恰好过AC,BC,AC1,BG的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为多少?20. 如图，已知矩形 ABCD中，AB 10, BC 6，将矩形沿对角线BD把 ABD 折起，使A移到A点，且几在平面BCD上的射影0恰好在CD上.(I)求

18、证：BC AD ;(U)求证：平面A,BC 平面ABD ;(川)求三棱锥A BCD的体积.21、如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，SA 底面ABCD，E是SC上占八、(1) 求证：平面EBD 平面SAC;(2) 设SA 4，AB 2，求点A到平面SBD的距离;22. 如图是一个以 ABQ!为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体， 截面为 ABC.已知 ABi B1C1 1, A1B1C1 90，AA, 2BB, 4,CC, 3，设点 O是 AB 的中点，(1)求证：OC/平面A1B1C1 ; (2)求该几何体的体积.AX.OaFb123. 如下的三个图中，左边的是一个长方体截去一个角所

19、得多面体的直观图，它 的正视图和侧视图在右边画出(单位：cm)。( 1按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2) 按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连结BC，证明：BC / 面 EFGCCif2 FJ4f2正视图 4 侧视图AB / DC , PAD24、某几何体的三视图如右图所示(1) 根据三视图，画出该几何体的直观图；(2) 求该几何体的表面积；(3) 在直观图中，设G是线段PB上的点，当G在线段PB上 运动时，是否总有平面PBDL平面AGC证明你的结论。25、如图，在四棱锥 P ABCD中，平面PAD 平面ABCD， 是等边三角形，BD 2AD 8, AB 2DC

20、 4 5 .MCD(I)设 M是PC上的一点，证明：平面 MBD 平面PAD ； (U)求四棱锥P ABCD的体积.27.如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直， ADE 90,AF/DE , DE DA 2AF 2.(I )求证：AC 平面BDE ;(II)求证：AC/ 平面 BEF ;(川)求四面体BDEF的体积.28.已知四棱锥P ABCD的底面是菱 形.PB PD , E为PA的中点.(I)求证：PC /平面BDE ;CAB(I)求证：平面PAC 平面BDE .29.如图：梯形ABCD和正 PAB所在平面互相垂直，其中AB DC,1AD CD AB，且O为AB中点.

21、 2(I ) 求证：BC平面POD ；B30.如图，在直三棱柱 ABC ABQ,中，ABAC，D，E分别为BC，BB!的中点，四边形B.BCC,是正方形.(I)求证:AB / 平面 AGD ;(U)求证:CE 平面ACQ .31.在长方形AABiB 中，AB 2AAi 4，Ci分别是AB，AB!的中点(如左图).将此长方形沿CCi对折，使平面AAiCiC平面CCi BiB (如右图)，已知D，(II) 求证：AC PD.AiCiACBDAiCAE分别是ABi，CCi的中占八、(I)求证：CiD /平面ABE ;(n)求证：平面abe 平面 AABiB ；(川)求三棱锥Ci ABE的体积32、已知直三棱柱 ABC A1B1C1的所