阶段强化专训

1、专训一：轴对称与轴对称图形的应用名师点金：轴对称图形是指一个图形.，成轴对称是指两个图形的位置关系.在 某种情况下，二者可以相互转换.利用轴对称的性质可以求平面直角坐标系中关 于x轴、y轴对称的点的坐标，还可以利用轴对称的性质解决几何图形中的问题.O1轴对称的作图1. 如图，已知 ABC和直线 MN，求作 A B ,0使厶A B和仏ABC关 于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）N 婆遷送轴对称图形的折叠与展开的关系2. （2018河北）一张菱形纸片按图，图依次对折后，再按图打出一个 圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）2cm。莖篡虫也 轴对称与轴对称图形的面积3. 如图，正方形的边长

2、为2 cm，则图中阴影部分的面积为邃I璽蠱轴对称与坐标4. 已知点 M(2a b, 5+ a), N(2b 1, a+ b).(1) 若点M , N关于x轴对称，试求a, b的值；(2) 若点M , N关于y轴对称，试求(b+ 2a)2 016的值.5 .如图，在平面直角坐标系中，直线I过点M(3 , 0),且平行于y轴.(1) 如果 ABC的三个顶点的坐标分别是 A( 2, 0), B( 1, 0), C( 1, 2), ABC关于y轴的对称图形是厶A1B1C1 , A1B1C1关于直线I的对称图形是 A2B2C2，直接写出 A2B2C2的三个顶点的坐标；(2) 如果点P的坐标是(a, 0)

3、,其中a0,点P关于y轴的对称点是P1，点 P1关于直线I的对称点是P2,直接写出PR的长.（第 5 题）讓遷垂轴对称与折叠6.把一张长方形纸片ABCD按图中的方式折叠，使点A与点E重合，点C 与点F重合(E, F两点均在BD上),折痕分别为BH , DG求证： BHE DGF.（第6题）专训二：线段垂直平分线的几种应用名师点金：线段的垂直平分线与线段的两种关系：位置关系一一垂直，数量 关系一一平分，利用垂直平分线的这些性质可以求线段的长度、 角的度数等，还 可以解决实际生活中的选址等问题.（第1题）1. 如图，在 ABC中，AB , AC的垂直平分线分别交 BC于点D, E,垂足分别为F，G

4、，已知 ADE的周长为12 cm,则BC =.2. 如图，AB比AC长3 cm，BC的垂直平分线交 AB于D，交BC于E， ACD的周长是14 cm,求AB和AC的长.A（第 2 题）睡巻藝线段垂直平分线的性质在求角中应用3. （2018乐山）如图，在等腰三角形 ABC中，AB = AC , DE垂直平分AB ,已知/ ADE = 40 则/ DBC =4. 如图，在 RtAABC中，/ C = 90 AB边的垂直平分线 DE交BC于点 D,交AB于点E,连接AD , AD将/ CAB分成两个角，且/ 1 ：/ 2= 2 : 5, 求/ ADC的度数.（第4题）靈粲 线段垂直平分线的性质在实际

5、中应用5如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A , B,C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小 区的距离相等？懂强线段垂直平分线的性质在判定两线位置关系中应用6.如图，OE, OF分别是AB，AC边的中垂线（即垂直平分线），/ OBC, / OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明.B专训三：分类思想在等腰三角形中的应用名师点金：分类讨论思想是解题的一种常用方法， 在等腰三角形中，往往会 遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论.通过正确地分类讨论，可 以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.其解题策略为：先分

6、类，再画图， 后计算.強鯉 当顶角或底角不确定时，分类讨论1 若等腰三角形中有一个角等于40则这个等腰三角形的顶角度数为（）A. 40B. 100C. 40或 70D. 40或 10012 .已知等腰三角形ABC中，AD丄BC于D，且AD = qBC，则等腰三角形 ABC的底角的度数为（）A. 45B. 75 C. 45或 75D . 653. 若等腰三角形的一个外角为64则底角的度数为 .陸舷当底和腰不确定时，分类讨论4. （2018荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是 2和4,则该等腰三角 形的周长为（）A. 8 或 10 B. 8 C. 10 D . 6 或 125. 等腰三角形的两边

7、长分别为7和9,则其周长为.6. 若实数x，y满足|x 4|+ y-8 = 0,则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为.礎軽当高的位置关系不确定时，分类讨论7. 等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25求这个三角形的各个内 角的度数.由腰的垂直平分线引起的分类讨论8在三角形ABC中，AB = AC, AB边上的垂直平分线与 AC所在的直线 相交所得的锐角为40求底角B的度数.糜遷淺由腰上的中线引起的分类讨论9. 等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm, 腰上的中线BD把其分为周长 差为3 cm的两部分.求腰长.溼囂翌点的位置不确定引起的分类讨论（第10题）10. 如图，在 RtAABC 中，

8、/ ACB = 90 AB = 2BC,在直线 BC 或 AC 上 取一点P,使得 PAB为等腰三角形，则符合条件的点 P共有（）A. 7个 B . 6个 C. 5个 D . 4个11. 如图，已知 ABC 中，BC AB AC,/ ACB = 40 如果 D、E 是直 线AB上的两点，且 AD = AC , BE= BC,求/ DCE的度数.专训四：活用“三线合一”巧解题名师点金：等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知 道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”运用等腰三角形“三线合一”的 性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程.BSi利用“三线

9、合一”求角1. 如图，房屋顶角/ BAC = 100过屋顶A的立柱AD丄BC,屋檐AB = AC.求顶架上的/ B，Z C，Z BAD，/ CAD的度数.:利用“三线合一”求线段2. 如图，在 ABC 中，AB = AC，AD = DB = BC，DE丄AB 于点 E,若 CD =4,且厶BDC的周长为24,求AE的长.逡嵯蟹利用“三线合一”证线段（角）相等3. 已知 ABC中，/ A = 90 AB = AC, D为BC的中点，如图，E, F分 别是AB，AC上的点，且 BE = AF,求证：DE = DF.賤璧鲨利用“三线合一”证垂直4. 如图，在 ABC中，AC = 2AB，AD平分/

10、BAC，E是AD上一点，且EA = EC.求证：EB 丄 AB.（第4题）邈気利用“三线合一”证线段的倍数关系（构造三线法）5. 如图，已知等腰直角三角形 ABC中，AB = AC,/ BAC = 90 BF平分/ ABC，CD丄BD交BF的延长线于点 D.试说明：BF = 2CD.A遥魏 利用“三线合一”证线段的和差关系（构造三线法）CD =6. 如图，在 ABC中，AD丄BC于点D,且/ ABC = 2/C.试说明:AB + BD.专训一1.解：如图.（第6题）2. C3.24. 解：(1)t点M , N关于x轴对称，2a b = 2b 1,.5+ a=( a+ b), a 8,解得4lb

11、 5.(2) v点M , N关于y轴对称，”2a b( 2b 1),5 + a a+ b,a 1,解得4 3.(b+ 2a)2 016 3 + 2X( 1)2 016 1.5. 解：(1)A2(4, 0), B2(5, 0), C2(5, 2).(2)PP2 6.1 16 证明：由折叠可知/ ABH Z EBH 2/ABD，/ CDG Z GDF -/ CDB, Z HEB Z A Z GFD Z C 90 AB BE , CD FD.v AB / CD , Z ABD Z CDB. / EBH Z GDF.v AB CD , / BE DF.在厶BHE和厶DGF中,了Z EBH Z FDG

12、,BE DF ,Z HEB Z GFD , BHEA DGF(ASA).点拨：用轴对称性质解决折叠问题，解决这类问题的关键是折叠前后重合的 部分全等，所以对应角相等、对应线段相等.专训二1. 12 cm2. 解：ACD的周长是14 cm , - AD + DC + AC 14 cm.又v DE是BC的垂直平分线,i BD = DC.二 AD + DC = AD + BD = AB.i AB + AC = 14 cm./ AB 比 AC 长 3 cm,： AB AC = 3 cm.： AB = 8.5 cm, AC = 5.5 cm.3. 15 点拨：在 RtAAED 中，/ ADE = 40

13、所以/ A = 50 因为AB = AC ,所以/ ABC = 180 50 = 65因为DE垂直平分AB ,所以DA = DB ,所以/ DBE=Z A = 50所以/ DBC = 65 50 154. 解：vZ 1 ：Z 2 = 2 : 5,:设/ 1= 2x,则Z 2= 5x.v DE是线段AB的垂直平分线，:AD = BD.Z B=Z 2 = 5x.Z ADC = Z 2+Z B = 10x.在厶 ADC 中，2x+ 10x= 90 解得 x = 7.5 ：Z ADC = 10x= 755. 解：连接AB , BC,分别作AB , BC的垂直平分线DE , GF,两直线交于点M,则点M

14、就是所要确定的购物中心的位置.如图.点拨：解决作图选点性问题，若要找到某两个点的距离相等的点，一般在这 两点所连线段的垂直平分线上去找；若要找到某两条不平行的直线的距离相等的 点，则一般在这两条直线相交所成的角的平分线上去找.6. 解：01 丄BC.证明：连接AO ,延长OI交BC于点M,如图所示.v OE, OF分别为AB , AC 的中垂线, OA = OB , OA = OC , OB = OC.又 BI, CI分别为/ OBC,/ OCB的平分线，.点I必在/ BOC的平分线 上，/ BOI = / COI，在 BOM 和厶 COM 中，J-OB = OC，/ BOM =/ COM，O

15、M = OM， BOMCOM(SAS)./ BMO = / CMO. DI 丄 BC.专训三1. D 2.C 3.324. C 5.23 或 25 6.207. 解：设 AB = AC，BD 丄 AC;(1)高与底边的夹角为25时，高一定在 ABC的内部，如图，/ DBC =25, / C = 90 / DBC = 90 25 = 65,二/ABC = / C= 65, /A = 180 2X 65= 50.(2)当高与另一腰的夹角的为25 时， 如图，高在 ABC的内部时，当/ABD = 25时，/ A = 90/ABD = 65/ C=/ ABC = (180 / A)吃=57.5 如图，

16、高在 ABC的外部时，/ ABD = 25，/ BAD = 90 / ABD = 90 25 = 65 / BAC = 180 65 = 115/ ABC = / C = (180 0 115) -2 = 32.5 故三角形各内角的度数为：65 65 50或65 57.5 57.5或115 32.5 32.5 点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须 进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角外.8解：此题分两种情况：(1)如图，AB边的垂直平分线与 AC边交于点D，/ ADE = 40则/A =50 AB = AC ,/ B= (180 0-50)吃

17、=65.(2)如图，AB边的垂直平分线与 CA的延长线交于点D; Z ADE = 40 则/ DAE = 50Z BAC = 130. AB = AC， Z B= (180 0- 130 吃=25故Z B的大小为65或259. 分析：由于题目中没有指明是“(AB + AD) -(BC + CD)”为3 cm,还是 “(BC+ CD) - (AB + AD) ”为3 cm,因此必须分两种情况讨论.解：t BD 为 AC 边上的中线， AD = CD，(1)当(AB + AD) (BC+ CD) = 3 cm 时，贝 U AB BC= 3 cm,： BC= 5 cm,： AB = BC + 3 =

18、 8(cm);(2)当(BC + CD) (AB + AD) = 3 cm 时，则 BC AB = 3 cm,BC = 5 cm,： AB = BC 3= 2(cm);但是当AB = 2 cm时，三边长为2 cm, 2 cm, 5 cm；而2 + 2v5,不合题意， 舍去；故腰长为8 cm.10. B11. 解：(1)当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图，A BE= BC ,aZ BEC= (180 -Z ABC戸 2, AD = AC ,/ ADC = (180 Z DACr 2=A BAO 2,vZ DCE=Z BEC-Z ADC ,Z DCE = (180 Z ABC戸

19、2-Z BAO 2 = (180 Z ABC -Z BAC戸 2 = Z ACBh 2 = 40 壬 20(2) 当点D、E在点A的同侧，且点D在D的位置，E在E的位置时，如图 ，与(1)类似地也可以求得Z D CE=Z ACBh 2= 20(3) 当点D、E在点A的两侧，且E点在E的位置时，如图，v BE = BC,：Z BE = (180 Z CBE ) TZ ABO 2，v AD = AC ,/ ADC = (180 Z DAC)2=Z BAO 2,又vZ DCE = 180 (Z BE CZ ADC), Z DCE = 180 (Z ABC + Z BAC戸2= 180 (180 Z

20、ACB戸2 = 90 + Z ACBh 2 = 90+ 402= 110.(4) 当点D、E在点A的两侧，且点D在D的位置时，如图，v AD = AC ,/ AD C = (180 Z BAC戸2,v BE= BC,：Z BEC= (180 Z ABC戸2, Z D C= 180 (Z D E(+Z ED C)= 180 (Z BEC +Z AD C,=180 (180 Z ABC戸2+ (180 Z BAC戸2=(Z BAC + Z ABC戸2 = (180 Z ACB戸2=(180 0 40) -2 = 70综上所述，Z DCE 的度数为 20或 110或 70专训四1. 解：因为 AB

21、= AC, / BAC = 100AD 丄 BC，所以/ B = / C = 40 / BAD =/ CAD = 502. 解：因为 BDC 的周长=BD + BC+ CD = 24, CD = 4,所以 BD + BC =20.T AD = BD = BC,二 AD = BD = BC= 10.又 AB = AC = AD + DC = 10+ 4= 14.AD = DB , DE 丄 AB，二 AE = EB=如=7.3. 解：连接AD. v AB = AC , D为BC的中点，二AD丄BC,/ ADB = 90v AB = AC，/ BAC = 90i/ B=/ C= 45在厶ABD 中