全等几何模型讲解

1、 常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。1.绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：例题讲解：1. 如图所示，P是等边三角形ABC内的一个点，PA=2，PB=，PC=4，求ABC的边长。 2. 如图，O是等边三角形ABC内一点，已知：AOB=115，BOC=125，则以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少？ 3.如图，P是正方形ABCD内一点，且满足PA：PD：PC=1：2：3，则APD= . 4.如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC

2、=3。求此正方形ABCD面积。（2）共旋转（典型的手拉手模型）模型变形： 例题讲解： 1. 已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使DAF=60,连接CF.(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：BD=CFAC=CF+CD.(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。2.（13北京中考）在

3、ABC中，AB=AC，BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD。（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若DEC=45，求的值。2.半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。例题：1.在等腰直角ABCD的斜边上取两点M,N,使得,记AM=m,MN=x,BN=n，求证以m，x，n为边长的三角形为直角三角形。2.如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若APQ的周

4、长为2，求的度数。3.、分别是正方形的边、上的点，且，为垂足，求证：4. 已知，正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AHMN于点H（1）如图，当MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH=AB；（2）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN=45，AHMN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长（可利用（2）得到的结论）5.已知：正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分

5、别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N当MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN(1)当MAN绕点A旋转到BMDN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明(2)当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想6.(14房山2模). 边长为2的正方形的两顶点、分别在正方形EFGH的两边、上(如图1)，现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时停止旋转，旋转过程中，边交于点，边交于点.（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当和平行时(如图2)，求正方形旋转的度数；（3）

6、如图3，设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.7. (2011石景山一模)已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD为对角线，将BAC绕顶点A 逆时针旋转（045），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC，CD于点E、点F，连接EF，EQ（1）在BAC的旋转过程中，AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究APQ与AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明8已知在中，于，点在直线上，点在线段上，是的中点，直线与直线交于点.（1）如图1，若点在线段上，请分别写出线段和之间的位置关系和数量关系：_

7、，_；（2）在（1）的条件下，当点在线段上，且时，求证：；（3）当点在线段的延长线上时，在线段上是否存在点，使得若存在，请直接写出的长度；若不存在，请说明理由图1备用图9.(2014平谷一模24)（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，EAF=45，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；（2）在ABC中， AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点如图2，当BAC=60，DAE=30时，BD、DE、EC应满足的等量关系是如图3，当BAC=，(090)，DAE=时，BD、D

8、E、EC应满足的等量关系是_【参考：】注意：(1) 在正方形ABCD中，AB=AD，BAD=90，ABM=ADN=45 把ABM绕点A逆时针旋转90得到连结则,， EAF=45，BAM+DAN=45, DAM+DAF=45, =MN在中，, （2） ； 3.空翻模型例题：1.如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?【解析】 猜测.过点作交于点，又，而，2.如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？ 【解析】 猜测.在上截取，3.【探究发现】如图，是等边三角形，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直

9、线于点F当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B,C除外）任意一点时(其它条件不变)，结论AE=EF仍然成立假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点是线段BC延长线上的任意一点”；“ 点是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并进行证明【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE = BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出的值4.弦图模型外弦图 内弦图 总统图例题：1.两个全等的30，

10、60三角板ADE,BAC,如右下图所示摆放，E、A、C在一条直线上，连接BD,取BD的 中点M，连接ME，MC（1）求证：EDMCAM；（2）求证：EMC为等腰直角三角形2.如图ABC中，已知A=90，AB=AC,(1)D为AC中点，AEBD于E,延长AE交BC于F,求证：ADB=CDF(2)若D，M为AC上的三等分点，如图2，连BD，过A作AEBD于点E，交BC于点F，连MF，判断ADB与CMF的大小关系并证明 3.(14朝阳二模) 已知ABC=90，D是直线AB上的点，AD=BC（1）如图1，过点A作AFAB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断CDF的形状并证明；（2）如图2，E

11、是直线BC上的一点，直线AE、CD相交于点P，且APD=45，求证BD=CE图2图1二、对称全等模型下图依次是450、300、22.50、150及有一个角是300直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 例题：1. 如图1，在ABC中，已知BAC=45，ADBC于D，BD=2，DC=3，求AD的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1她分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2，在ABC中，BAC=30，ADBC于D，AD=4请你按照小萍的方法画图，得到四边形AEGF，求BGC的周长（画图所用字母与图1中的字母对应）2. 问题：已知ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内一点，且AD=CD，BD=BA.探究DBC与ABC度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特