2013年初三数学(证明二、三)总复习)疑难解答版

1、2013年初三数学总复习（证明二、三）名师笔记 疑难解答版打印小提示:此版中的红色解答过程对于数学成绩不是很好的,皆可保留,无须删除;对于数学成绩还很不错的,想锻炼自己的解题速度,解题技巧,想培优竞赛的同学,我们在后面有原版内容可供打印,也无须删除此版红色内容.考点一：三角形全等的证明与应用掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等例1、众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，使这两个三角形全等吗？请同学们参照下面的方案（1）写出其它方案（至少两条）方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边

2、中的大边，则这两个三角形全等例2、如图，已知ABBC，DCBC，E在BC上，AEAD，ABBC。求证：CECD。例3、如图，已知在ABC中，C2B，12，求证：ABACCD例2图 21DCBA例1图 EDCBA例4、过ABC的BC边的中点M作BAC的平分线AD的平行线交AB于E，交CA的延长线于F求证：BE=CF例5、如图,已知AB=AC，ABAC，AD=AE，ADAE，F为BE的中点，AF的延长线交DC于G，求证：AGCD此处引一例题的求解：解：AF=(1/2)CD,且AFCD.，理由如下：证明:连接BD,DE.取DE的中点M,连接AM,FM,CE.AD=AE;,ADAE.ADE为等腰直角三

3、角形,得:AMDE;AM=(1/2)DE;ADE=AED=45.同理:ABC也为等腰直角三角形,AB=AC,BAC=90=DAE.BAD=CAE;又AB=AC,AD=AE.BADCAE(SAS),BD=CE;ADB=AEC.F,M分别为BE,DE的中点,则FM=(1/2)BD=(1/2)CE;FMBD,FME=BDE.AMF=AME-FME=90-BDE=90-(ADB+45)=45-ADB=45-AEC;DEC=AED-AEC=45-AEC.则:AMF=DEC;又AM:DE=1:2,FM:CE=1:2.AMFDEC,AF:CD=AM:DE=1:2,AF=(1/2)CD;且MAF=EDC,MA

4、F+MAD+ADC=EDC+MAD+ADC=180-AMD=90.AFCD.考点二：等腰三角形问题灵活运用等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理，以及底边上的高、中线、顶角的平分线三线合一的性质进行有关的证明和计算。例1、等腰三角形一腰上的高与腰长之比为12，则等腰三角形的顶角为（ ）A、300 B、600 C、1500 D、300或1500例2、如图，在ABC中，ACBC，ACB900，D是AC上一点，AEBD的延长线于E，又AEBD，求证：BD是ABC的角平分线例3、如图，在等腰直角ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰分别相交于E、F点，连结EF与AD相交于G

5、，试问：你能确定AED和AGF的大小关系吗？问题一图 GFEDCBA例4、在平面上有且只有4个点，这4个点有一个独特的性质每两个点之间的距离有且只有两种长度。例如正方形ABCD中，ABBCCDDA，ACBD。请你画出具有这种独特性质的四种不同的图形，并标注相等的线段。考点三：直角三角形、勾股定理、面积了解直角三角形的判定与性质，理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。例1、如图，在四边形ABCD中，A600，BD900，BC2，CD3，则AB？例2、如图，P为ABC边BC上一点，P

6、C2PB，已知ABC450，APC600，求ACB的度数。例3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力如图12，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响? 请说明理由。（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长? PNMCBA DCBA PCBA考点四：线段的垂直平分线、角平分线

7、了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。考点五：平行四边形问题理解并掌握平行四边形的判定和性质例1、已知如图：在四边形ABCD中，ABCD，ADBC，点E、F分别在BC和AD边上，AFCE，EF和对角线BD相交于点O，求证：点O是BD的中点。例2、已知如图：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。（增加变式）例3、已知如图，在ABC中，C900，点M在BC上，且BMAC，点N在AC上，且ANMC，AM和BN相交于P，求BPM的度数。解答：证明：如图，过M作MEAN，使ME=AN，连NE，BE，则四边形A

8、MEN为平行四边形，NE=AM，MEBC，ME=AN=CM，EMB=MCA=90，BM=AC，BEMAMC，得BE=AM=NE，1=2，3=4，1+3=90，2+4=90且BE=NE，BEN为等腰直角三角形，BNE=45，AMNE，BPM=BNE=45例1图 OFEDCBA例2图 HGFEDCBA考点六：矩形、菱形问题理解并掌握矩形的判定与性质，并能利用所学知识解决有关问题。例1、如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AEBD，垂足为E，DAEBAE31，求EAC的度数。例2、如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE2AB，连结EC并延长交AD的延长线于点F，求

9、AF的长。考点七：正方形问题例1、 如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且EFAC，在DA的延长线上取一点G，使AGAD，EG与DF相交于点H。求证：AHAD。解：四边形ABCD是正方形，AD=CD=AB=BC，DCB=ADC=GAE=90，BAC=BCA=45AG=AD，AG=CDEFAC，BAC=BCA，四边形AEFC是等腰梯形，AE=CF在GAE和ECF中AG=CDGAE=DCFAE=CF，GAEECF（SAS），G=CDFCDF+ADF=ADC=90，G+ADF=90，DHG=180-90=90AG=AD，A是GD的中点，HA= GD=DA，AH=BC例2、如图，已知

10、正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AGEB于G，AG交BD于点F，则OEOF，对上述命题，若点E在AC的延长线上，AGEB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OEOF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。例1图 HGFEDCBA考点八：等腰梯形问题例1、如图，在梯形ABCD中，ABDC，中位线EF7，对角线ACBD，BDC300，求梯形的高AH。例2、如图，梯形ABCD中，ADBC，E、F分别是AD、BC的中点，BC900，AD7，BC15，求EF的长。例2图 DCBAFE例1图 HDCBAFE例3、

11、已知，在梯形ABCD中，ADBC，点E在AB上，点F在DC上，且AD，BC。（1）如果点E、F分别为AB、DC的中点，求证：EFBC且EF；（2）如图2，如果，判断EF和BC是否平行？请证明你的结论，并用、的代数式表示EF。考点九：三角形、梯形的中位线例1、如图，梯形ABCD中，ADBC，M是腰AB的中点，且ADBCDC。求证：MDMC。例2、如图，ABC的三边长分别为AB14，BC16，AC26，P为A的平分线AD上一点，且BPAD，M为BC的中点，求PM的长。例3、E、F为凸四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点，若EF，问：ABCD为什么四边形？请说明理由。解：连结AC，取AC的中点G

12、，连EG、FG，则EG CD，FG AB，EGFG ，即EGFGEF，则G点在EF上，EFCD，EFAB，故ABCD.（1）若ADBC，则凸四边形ABCD为平行四边形；（2）若AD不平行于BC，则凸四边形ABCD为梯形.点拨：（1）由EGFGEF可知点G在EF上，这是证明三点共线的方法之一；（2）要进行分类讨论，由已知条件得ABCD，即四边形有一组对边平行，故要分类讨论另一组对边的两种情况，从而确定四边形的形状.例2图 PMDCBA问题图 1FEDCBA考点一：三角形全等的证明与应用考点二：等腰三角形问题一、填空题：1、等腰三角形的两外角之比为52，则该等腰三角形的底角为 。2、在ABC中，A

13、BAC，BD平分ABC交AC于D，DE垂直平分AB，E为垂足，则C 。3、等腰三角形的两边长为4和8，则它腰上的高为 。4、在ABC中，ABAC，点D在AB边上，且BDBCAD，则A的度数为 。5、如图，ABBCCD，ADAE，DEBE，则C的度数为 。6、如图，D为等边ABC内一点，DBDA，BPAB，DBPDBC，则BPD 。7、如图，在ABC中，AD平分BAC，EGAD分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，已知下列四个式子： 1（23） 12（32）4（32） 41其中有两个式子是正确的，它们是 和 。二、选择题：1、等腰三角形中一内角的度数为500，那么它的底角的度数

14、为（ ）A、500 B、650 C、1300 D、500或6502、如图，D为等边ABC的AC边上一点，且ACEABD，CEBD，则ADE是（ ） A、等腰三角形B、直角三角形C、不等边三角形D、等边三角形 3、如图，在ABC中，ABC600，ACB450，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，那么图中的等腰三角形的个数是（ ）A、2 B、3 C、4 D、54、如图，已知BO平分CBA，CO平分ACB，且MNBC，设AB12，BC24，AC18，则AMN的周长是（ ） A、30 B、33 C、36 D、39 5、如图，在五边形ABCDE中，AB1200，EAABBC

15、DCDE，则D（ ） A、300 B、450 C、600 D、67.50三、解答题：1、如图，在ABC中，ABAC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的点，且BDCE，DEFB。求证：DEF是等腰三角形。2、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地。请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。3、如图，在锐角ABC中，ABC2C，ABC的平分线与AD垂直，垂足为D，求证：AC2BD。 4、在等边ABC的边BC上任取一点D，作DAE600，AE交C的外角平分线于E，那么ADE是什么三角形？证明你的结论。考点三：直角三角形、勾股定理、面积一、填空题：1、如果直角三

16、角形的边长分别是6、8、，则的取值范围是 。2、如图，D为ABC的边BC上的一点，已知AB13，AD12，BD5，ACBC，则BC 。 3、如图，四边形ABCD中，已知ABBCCDDA2231，且B900，则DAB 。4、等腰ABC中，一腰上的高为3cm，这条高与底边的夹角为300，则 。5、如图，ABC中，BAC900，B2C，D点在BC上，AD平分BAC，若AB1，则BD的长为 。6、已知RtABC中，C900，AB边上的中线长为2，且ACBC6，则 。7、如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，腰长为8cm，AC、BD相交于O点，且AOD600，设E、F分别为CO、AB的中点，则EF 。 8

17、、如图，点D、E是等边ABC的BC、AC上的点，且CDAE，AD、BE相交于P点，BQAD。已知PE1，PQ3，则AD 。9、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是 。二、选择题：1、如图，已知ABC中，AQPQ，PRPS，PRAB于R，PSAC于S，则三个结论：ASAR；QPAR；BRPQSP中（ ）A、全部正确 B、仅和正确C、仅正确 D、仅和正确2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（ ）A、直角三角形 B、钝角三角形C、锐角三角形D、不能确

18、定3、在四边形ABCD中，ADCD，AB13，BC12，CD4，AD3，则ACB的度数是（ ）A、大于900 B、小于900 C、等于900 D、不能确定 4、如图，已知ABC中，B900，AB3，BC，OAOC，则OAB的度数为（ ） A、100 B、150 C、200 D、250三、解答题：第2题图 GEDCBA1、已知ABC中，BAC750，C600，BC，求AB、AC的长。2、如图，ABC中，AD是高，CE是中线，DCBE，DGCE于G。（1）求证：G是CE的中点； （2）B2BCE。 3、已知ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC5。（1）为何值时，ABC是以BC为

19、斜边的直角三角形；（2）为何值时，ABC是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。考点四：线段的垂直平分线、角平分线一、填空题：1、如图，A520，O是AB、AC的垂直平分线的交点，那么OCB 。2、如图，已知ABAC，A440，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则DBC 。3、如图，在ABC中，C900，B150，AB的中垂线DE交BC于D点，E为垂足，若BD8，则AC 。4、如图，在ABC中，ABAC，DE是AB的垂直平分线，BCE的周长为24，BC10，则AB 。5、如图，EG、FG分别是MEF和NFE的角平分线，交点是G，BP、CP分别是MBC和NCB的角平分线，交点是P，F、C在A

20、N上，B、E在AM上，若G680，那么P 。 二、选择题：1、如图，ABC的角平分线CD、BE相交于点F，且A600，则BFC等于（ ）A、800 B、1000 C、1200 D、14002、如图，ABC中，12，34，若D360，则C的度数为（ ） A、820 B、720 C、620 D、5203、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为23两部分，若这个三角形的周长为30cm，则此三角形三边长分别是（ ）A、8 cm、8 cm、14cm B、12 cm、12 cm、6cmC、8 cm、8 cm、14cm或12 cm、12 cm、6cm D、以上答案都不对

21、4、如图，RtABC中，C900，CD是AB边上的高，CE是中线，CF是ACB的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（ ）A、0组B、2组C、3组 D、4组5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形C、钝角三角形 D、不能确定三、解答题：1、如图，RtABC的A的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D，求证：MAMD。解：设C=，AD与BC交点为E，因为M是斜边中点故AM=MC=BM,则MAC=DAM=45-，B=90-，AEB=180-(45+90-）=45+，即DEC=45+，D=180-（45+90）=45-，即DAM=D，所以MA

22、=MD2、在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DEEC，过D作DFBA交AE于点F，DFAC，求证：AE平分BAC。证明：如图，延长FE到G，使EG=EF，连接CG在DEF和CEG中，ED=EC DEF=CEGFE=EG，DEFCEGDF=GC，DFE=GDFAB，DFE=BAEDF=AC，GC=AC G=CAEBAE=CAE即AE平分BAC 3、如图，在ABC中，B22.50，C600，AB的垂直平分线交BC于点D，BD，AEBC于点E，求EC的长。4、如图，在RtABC中，ACB900，ACBC，D为BC的中点，CEAD，垂足为E，BFAC交CE的延长线于点F，求证AB垂直平分DF。考

23、点五：平行四边形问题一、填空题：1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5和7，则它的一条边长的取值范围是 。2、ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，OAB的周长比OBC的周长大3，则AB 。3、已知ABCD中，AB2AD，对角线BDAD，则BCD的度数是 。4、如图：在ABCD中，AEBD于E，EAD600，AE2，ACBD16，则BOC的周长为 。5、如图：ABCD的对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且EFBC于F，1300，2450，OD，则AC的长为 。6、如图：过ABCD的顶点B作高BE、BF，已知BFBE，BC16，EBF300，则AB 。7、如图所示，ABCD的周长

24、为30，AEBC于点E，AFCD于点F，且AEAF23，C1200，则平行四边形ABCD的面积为 。二、选择题：1、若ABCD的周长为28，ABC的周长为17cm，则AC的长为（ ）A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm2、如图，ABCD和EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直线上，则下列关系中正确的是（ ） A、DEBF B、DEBF C、DEBF D、DEFEBF 3、如图，已知M是ABCD的AB边的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与ABCD的面积之比是（ ） A、 B、 C、 D、5、在给定的条件中，能作出平行四边形的是（ ）A、以60cm为对角线，20cm、34

25、cm为两条邻边B、以20cm、36cm为对角线，22cm为一条边C、以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边D、以6cm、10cm为对角线，8cm为一条边6、如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的中点，直线CE交BA的延长线于G点，直线DF交AB的延长线于H点，CG、DH交于点O，若ABCD的面积为4，则（ ）A、3.5 B、4 C、4.5 D、5 7、在ABCD中，AB6，AD8，B是锐角，将ACD沿对角线AC折叠，点D落在ABC所在平面内的点E处，如果AE过BC的中点O，则ABCD的面积等于（ ）A、48 B、 C、 D、三、解答题：1、如图，在ABCD中，AEBC于E，A

26、FDC于F，ADC600，BE2，CF1，连结DE交AF于点P，求EP的长。解：由题意得B=ADC=60在RtABE中：BE=2AB=4AE= CD=4，CF=1DF=CD-CF=3在RtAFD中：FD=3AD=6在RtAED中：AE= ，AD=6ED= ，AED=60BAD=120，BAE=30，FAD=30EAP=60AEP是等边三角形PE=AE= 故答案为 2、在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且（0），阅读下列材料，然后回答下面的问题：如上图，连结BD，EHBD，FGBD 连结AC，则EF与GH是否一定平行，答： 不一定 ；当值为 1 时，四边形EF

27、GH是平行四边形；在的情形下，对角线AC和BD只需满足 ACBD 条件时，EFGH为矩形；在的情形下，对角线AC和BD只需满足 AC=BD 条件时，EFGH为菱形；3、已知，在四边形ABCD中，从ABDC；ABDC；ADBC；ADBC；AC；BD中取出两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请你具体写出这些组合。4种考点六：矩形、菱形问题一、填空题：1、若矩形的对称中心到两边的距离差为4，周长为56，则这个矩形的面积为 。2、已知菱形的锐角是600，边长是20cm，则较短的对角线长是 cm。3、如图，矩形ABCD中，O是对角线的交点，若AEBD于E，且OEOD12，A

28、Ecm，则DE cm。5、如图，在菱形ABCD中，BEAF600，BAE200，则CEF 。二、选择题：6、在矩形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，使EFGH为矩形，则这样的矩形（ ） A、仅能作一个 B、可以作四个C、一般情况下不可作 D、可以作无穷多个7、如图，在矩形ABCD中，AB4cm，AD12cm，P点在AD边上以每秒1 cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达D点为止，在这段时间内，线段PQ有（ ）次平行于AB。 A、1 B、2 C、3 D、4 8、如图，已知矩形纸片ABCD中，A

29、D9cm，AB3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是（ ） A、4cm、cm B、5cm、cm C、4cm、cm D、5cm、cm9、给出下面四个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形；有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形；菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍。其中正确的命题有（ ） A、 B、 C、 D、10、平行四边形四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ A ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、等腰梯形三、解答题：11、如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点G

30、，DEAG于E，且DEDC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。解：ABFDEA证明：四边形ABCD为矩形，B=90，AB=DCDEAG于E，DE=DC，DEG=90，AB=DE四边形ABCD为矩形，ADCBDAE=AFBAED=ABF=90，ABFDEA（AAS） 第13题图 FEDCBA13、如图，以ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即ABD、BCE、ACF。请回答下列问题（不要求证明）：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？例题：如图

31、，分别以ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即ABD，BCE，ACF请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）解：（1）四边形ADEF是平行四边形（1分）等边三角形BCE和等边三角形ABD，BE=BC，BD=BA又DBE=60-ABE，ABC=60-ABE，DBE=ABC在BDE和BCA中BE=BCDBE=

32、ABCBD=BA，BDEBCA（2分）DE=AC在等边三角形ACF中，AC=AF，DE=AF同理DA=EF四边形ADEF是平行四边形（4分）（2）当BAC=150时，四边形ADEF是矩形（5分）（3）当AB=AC，或ABC=ACB=15时，四边形ADEF是菱形（6分）（4）当BAC=150且AB=AC，或ABC=ACB=15时，四边形ADEF是正方形（7分）（5）当BAC=60时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在（8分）考点七：正方形问题一、填空题：1、给出下面三个命题：对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直的矩形是正方形。其中真命题是 （填序号）。2、如图

33、，将正方形ABCD的BC边延长到E，使CEAC，AE与CD边相交于F点，那么CEFC 。 3、如图，把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形的位置，它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC，则正方形移动的距离是解：ABFDEA证明：四边形ABCD为矩形，B=90，AB=DCDEAG于E，DE=DC，DEG=90，AB=DE四边形ABCD为矩形，ADCBDAE=AFBAED=ABF=90，ABFDEA（AAS） 。4、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出以下题设条件：ABBCCDDA；AOBOCODO；AOCO，BODO，ACBD；ABBC，CDDA。其中能判断

34、它是正方形（应该为“矩形”吧）的题设条件是 （把正确的序号填在横线上）。二、选择题：2、如图，在正方形ABCD中，DEEC，CDE600，则下列关系式：1441；1311；（12）（34）53中，正确的是（ ） A、 B、仅 C、仅和 D、仅和 3、如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，RtCEF的面积为200，则BE的值为（ ） A、10 B、11 C、12 D、15三、解答题：1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BD与CE交于F点，求证：AFBE。（原题无图，此处补充一图） 2、已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM

35、且交CBE的平分线于N。（1）求证：MDMN；（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，则结论“MDMN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。解：（证明DAMMEN）不写没关系理由如下：解：（1）取AD中点F，连结MF，由MNDM得DAM90，FDMNMB，又MNBNBENMB45NMB，DMFAFMFDM45FDM，DMFMNB，又DFBM，DMFMNB，MDMN。（2）成立，在AD上取DFMB，FDM90DMA，又NMBDMA90FDMNMB，又DMF45FDM，MNB45NMB，DMFMNB，又DFMB，DMFMNB，MDMN 3、

36、如图，ABCD是正方形，P是对角线上的一点，引PEBC于E，PFDC于F。求证：（1）APEF；（2）APEF。方法一;略证：延长AP与EF相交于点H，连结PC，因为BD是对角线，易证PAPC，12，根据PEBC于E，PFDC于F，知PECF为矩形，PCEF，且DAHFPH，又因为123，所以在PHF中，FPH341900，所以PHF为直角三角形，故APEF方法二: 解：延长FP交AB于点N，作PMEF于点M四边形ABCD是正方形ABP=CBD又NPAB，PEBC，四边形BNPE是正方形，ANP=EPF，NP=EP，AN=PF，ANPFPE(SAS)AP=EF，PFE=BAP；APN与FPM中

37、，APN=FPM，NAP=PFMPMF=ANP=90APEF，； 4、如图，过正方形ABCD的顶点B作BECA，作AEAC，又CFAE，求证：BCFAEB。提示：证AEFC是菱形，过A点作BE的垂线构造300角的直角三角形。考点八：等腰梯形问题一、填空题：1、如图，梯形的上底长为3，下底长为7，梯形的中位线所分成的上下两部分的面积之比为 。2、等腰梯形中，上底腰下底123，则下底角的度数是 。3、如图，直角梯形ABCD中，ADBC，CD10，C600，则AB的长为 。 4、如图，梯形ABCD中，ABCD，D2B，AD，CD，那么AB的长是 。5、在梯形ABCD中，ADBC，AD2，BC3，BD

38、4，AC3，则梯形ABCD的面积是 。例题：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=1，BC=4，AC=3，BD=4，求梯形ABCD的面积分析：过点D作DEAC，交BC的延长线于点E，得四边形ACED是平行四边形，则DE=AC=3，CE=AD=1根据勾股定理的逆定理即可证明三角形BDE是直角三角形根据梯形的面积即为直角三角形BDE的面积进行计算解：过点D作DEAC，交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形DE=AC=3，CE=AD=1在三角形BDE中，BD=4，DE=3，BE=5根据勾股定理的逆定理，得三角形BDE是直角三角形四边形ACED是平行四边形AD=CE，AD+BC=BE，梯

39、形ABCD与三角形BDE的高相等，梯形的面积即是三角形BDE的面积，即342=66、如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC，CDBC，E是BA、CD延长线的交点，E400，则ACD 度。二、选择题：1、在课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，则对角线所用的竹条至少需（ ） A、cm B、30 cm C、60 cm D、 cm 3、已知如图，梯形ABCD中，ADBC，B450，C1200，AB8，则CD的长为（ ） A、 B、 C、 D、4、如图，在直角梯形ABCD中，底AB13，CD8，ADAB，并且AD12，则A到BC的距离为（ ）

40、A、12 B、13 C、10 D、1221135、如图，等腰梯形ABCD中，对角线ACBCAD则DBC的度数为（ ）A、300 B、450 C、600 D、900三、解答题：第2题图 NMHDCBA1、如图(原题无图,此处补充一图)，梯形ABCD中，ADBC，ABDC，在AB、DC上各取一点F、G，使BFCG，E是AD的中点。求证：EFGEGF。2、已知，在等腰ABC中，ABAC，AHBC于H，D是底边上任意一点，过D作BC的垂线交AC于M，交BA的延长线于N。求证：DMDN2AH。解(方法很好,简单,别具一格):DM/AH得到DM/AH=CD/CH=CD/0.5BCDN/AH得到DN/AH=

41、BD/BH=BD/0.5BC相加的（DM+DN)/AH=(CD+BD)/0.5BC=2得到DM+DN=2AH3、如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，AB6，CD2，延长BD到E，使DEDB，作EFBA的延长线于点F，求AF的长。 4、如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，对角线AC、BD相交于点O，ACD600，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点。（1）求证：PQS是等边三角形；（2）若AB8，CD6，求的值。（3）若45，求CDAB的值。解:见图，ABCD是等腰梯形，ACD=60，所以有DCO和ABO都是等边三角形；AOD中，S、P分别是OD和OA的中点，可知SP=AD/2，SP/AD。

42、过点O、C、Q、B作AD的平行线(也与SP平行)，如图，构成了6条平行线组成的平行线束：记AD与SP的距离为H1，记SP与过点O的平行线的距离为H2，记过点O、C的平行线的距离为H3，记过点C、Q的平行线的距离为H4，记过点Q、B的平行线的距离为H5；由于S、P分别是OD和OA的中点，所以H1=H2；由于Q是BC的中点，所以H4=H5。而：AOD的面积S1=AD(H1+H2)/2=ADH1PQS的面积S2=SP(H2+H3+H4)/2=AD(H1+H3+H4)/4根据条件：S2:S1=4:5，即：(H1+H3+H4):H1=16:5，即：H3+H4=H111/5而：CD:AB=(H1+H2+H

43、3):(H1+H2+H3+H4+H5)=(2H1+H3):(2H1+H3+2H4)同时：CD:AB=OD:OB=(H1+H2):(H3+H4+H5)=(2H1):(H3+2H4)即有：设m=CD:AB=(2H1+H3):(2H1+H3+2H4)=(2H1):(H3+2H4)=(2H1+H3)-(2H1):(2H1+H3+2H4)-(H3+2H4)=(H3):(2H1)有H3=2mH1，H4=H1(1-m2)/m所以：2mH1+H1(1-m2)/m=H111/5即：m+1/m=11/5解得CD:AB=m=(1121)/10两个答案均可，一个是CDAB的情形。或者;例题:如图，等腰梯形ABCD中，

44、CDAB，对角线ACBD相交于O，ACD=6O，点S，P，Q分别是OD，OA，BC的中点，（1）求证：PQS是等边三角形；（2）若AB=5，CD=3，求PQS的面积；（3）若PQS的面积与AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB提示:上述二元二次方程.可当做关于a的一元二次方程求解.第4题图 SQPODCBA 5、（2003黑龙江）如图，直角坐标系内的梯形AOBC，ACOB，AC、OB的长分别是关于的方程的两根，并且15。（1）求AC、OB的长；（2）当BCOC时，求OC的长及OC所在的直线解析式；（3）在第（2）问的条件下，线段OC上是否存在一点M，过M点作轴的平行线，交轴于

45、F，交BC于D，过D点作轴的平行线交轴于E，使，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由。提示：（1）根据等高三角形的面积等于底边比，可得出AC：OB=1：5而AC、OB又是方程x2-6mx+m2+4=0的两根，可根据韦达定理得出AC、OB的和与积的值，然后联立AC、OB的比例关系式可求出AC、OB的长；（2）本题要通过相似三角形求解如果BCOC，那么AOC和OBC就同为COB的余角，因此两角相等，可得出OBCCOA，根据相似三角形得出的OC2=ACOB，可求出OC的长进而可在直角三角形OAC中，求出OA的长，已知了AC的长，也就得出了C点的坐标可用待定系数法求出OC所在直线的解析式；（3）先求出矩形FDEO的面积S与OE的长a的函数关系式，易知直线BC的解析式为y= ，那么DE= ，因此S=OEDE= ，易求得梯形AOBC的面积为6，因此 解得a=2或3，当a=2时，DE= ，即M点纵坐标为 ，代入直线OC的解析式中可得M（ ， ），同理可求得当a=3时，M（ ， ）考点九：三角形、梯形的中位线一、填空题：1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 。2、一个等腰梯形的周长为100cm，如果它的中位线与腰长相等，它的高为20cm，那么这个梯形的面积是 。3、若梯形中位线被它的两条对角线分