二次函数y=ax bx c的图像与性质

1、26.1 二次函数图象和性质(5,1 的顶点坐标是_，对称轴是_,2怎样把 的图象移动，便可得到 的图象,h，k,复习提问,直线xh,3 的顶点坐标是 ，对称轴是,2，5,直线 x2,4在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化,有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、形状,我们复习了将抛物线 向左平移2个单位再向下平移5个单位就得到 的图象，将 化为一般式为 ，那么如何将抛物线 的图像移动，得到的 图像呢,新课,的图象怎样平移就得到,那么一般地，函数,的图象呢,的形式，求出顶点坐标和对称轴,例1 用配方法把,化为,答案： ，顶点坐标

2、是(1，5)， 对称轴是直线 x1,的形式，求出顶点坐标和对称轴,练习1 用配方法把,化为,的形式，求出对称轴和顶点坐标,例2 用公式法把,化为,解：在,中,顶点为（1，2），对称轴为直线 x1,的形式，并求出顶点坐标和对称轴,答案： ，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线 x2,练习2 用公式法把,化成,3,图象的画法,步骤：1利用配方法或公式法把,化为,的形式,2确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标,3在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图,3）开口方向：当 a0时，抛物线开口向上；当 a0时，抛物线开口向下,1）顶点坐标,2）对称轴是直线,如果a0，当,时，函数有最小值,如果a0，当,

3、时，函数有最大值,4）最值,若a0，当,时，y随x的增大而增大,当,时，y随x的增大而减小,若a0，当,时，y随x的增大而减小,当,时，y随x的增大而增大,5）增减性,与y轴的交点坐标为（0，c,6)抛物线,与坐标轴的交点,抛物线,抛物线,与x轴的交点坐标为,其中,为方程,的两实数根,例4 已知抛物线,k取何值时，抛物线经过原点； k取何值时，抛物线顶点在y轴上； k取何值时，抛物线顶点在x轴上； k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上,所以k4，所以当k4时，抛物线顶点在y轴上,所以k7，所以当k7时，抛物线经过原点,抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即,解：抛物线经过原点，则当x0时，y0，

4、所以,所以当k2或k6时，抛物线顶点在x轴上,抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0， 即,抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0， 即,整理得,解得,由、知，当k4或k2或k6时，抛物线的顶点在坐标轴上,解法一（配方法,例5 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少,因为 所以当x2时，,因为a20，抛物线 有最低点，所以y有最小值,总结：求二次函数最值，有两个方法 (1)用配方法；(2)用公式法,解法二（公式法,又,例6已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小,解法一：,抛物线开口向下,对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小,解法二,抛物线开口

5、向下,对称轴是直线x3，当 x3时，y随x的增大而减小,例7 已知二次函数,的最大值是0，求此函数的解析式,解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0所以应满足以下的条件组,由解方程得,所求函数解析式为,相等，则形状相同,1)a决定抛物线形状及开口方向，若,a0开口向上,5抛物线yax2bxc中a，b，c的作用,a0开口向下,5抛物线yax2bxc中a，b，c的作用,2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线,若a，b异号对称轴在y轴右侧,故,若b0对称轴为y轴,若a，b同号对称轴在y轴左侧,5抛物线yax2bxc中a，b，c的作用,3)c的大小决定抛物线

6、yax2bxc与y轴交点的位置,当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，c,c0抛物线经过原点,c0与y轴交于正半轴,c0与y轴交于负半轴,例8 已知如图是二次函数yax2bxc的图象，判断以下各式的值是正值还是负值 (1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab； (6)abc；(7)abc,分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用,解： (1)因为抛物线开口向下，所以a0,判断a的符号,2)因为对称轴在y轴右侧，所以,而a0，故b0,判断b的符号,3)因为x0时，yc，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c0,判断c的符号,4)因为顶点在第一象限，其纵坐标,且a0，所以,故,判断b24ac的符号,且a0，所以b2a，故2ab0,5)因为顶点横坐标小于1，即,判断2ab的符号,6)因