解几中过定点问题

1、解析几何中过定点问题探究数学组 冯立华 2015年10月一、直线过定点问题 在直线方程中有一类含有一个参数，且该参数影响到直线的斜率，则要考虑直线过定点。一般有以下方式求出定点：1.点斜式法： 注意：将直线方程化成的形式，则定点坐标为.例1：已知直线（为常数，为参数），不论取何值，直线总过定点 2. 分离系数法： 注意：若已知方程是含有一个参数的直线系方程，则我们可以把系数中的分离出来，化为的形式.由解出和的值，即得定点坐标.例2：无论取何实数，直线恒过定点，此定点坐标为 3.特殊值法：注意：取参数的两个特殊值可得两条直线的方程，求出它们的交点后，在验证交点坐标也适合所给直线方程.例3：无论取

2、何实值，所表示的直线恒过一定点，此定点坐标为 二、有关圆锥曲线中的直线过定点问题处理这类问题有两种方法：一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点。例1： 设A、B是抛物线（p0）上的两点，且OAOB，求证：（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；（2）直线AB经过一个定点。证明：（1）设A（）、B（），则，。=，为定值，也为定值。（2），直线AB的方程为：，直线AB过定点（2p，0）。CxyOFBA图2例2：设抛物线（p0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴，证明：直线

3、AC经过原点。方法1：设直线方程为，A，B，C，又，即k也是直线OA的斜率，所以AC经过原点O。当k不存在时，ABx轴，同理可证。xyFBACDO图3NE方法2：如图2过A作ADl，D为垂足，则：ADEFBC连结AC与EF相交于点N，则，由抛物线的定义知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，.点评：该题的解答既可采用常规的坐标法，借助代数推理进行，又可采用圆锥曲线的几何性质，借助平面几何的方法进行推理。解题思路宽，而且几何方法较之解析法比较快捷便当，从审题与思维深度上看，几何法的采用，源于思维的深刻性。练习：已知椭圆上的两个动点及定点 ，为椭圆的左焦点，且，成等差数列.求证：线段的垂直平分

4、线经过一个定点；设点关于原点的对称点是，求的最小值及相应的点坐标.补充：一种神奇的解法与高考试卷解析几何中的求过定点问题高考试卷解析几何中的求过定点或定值问题是高考重点考查内容，如2013年高考有陕西T20江西T20等。解析几何的难点之一是运算量往往非常大，而且这个难点很不容易突破，是广大考生非常纠结的问题，本文给出一个神奇的方法，能非常简单解决这一类问题。神奇之处有两点：（1）运算量少（从而出错机会少）。（2）联立方程不是消元，而化为齐次式（亲，估计您从未见识过）。yxOAB一、引理：过原点两直线与二次曲线一条直线与一个二次曲线交于两点AB,如图；设直线AB方程为 曲线方程为=0 （说明：此

5、二次曲线甚至可以是“倾斜”的椭圆、双曲线、抛物线，若倾斜必含有项，即）将化为, 化为 将代入（目的使将中所有项化为二次齐次式）得：显然是一个二次齐次式，且一定可化为即： 。中的几何意义为A、B两点（即AB直线与曲线的交点）与原点连线的斜率，即OA、OB的斜率，设为 。 由韦达定理知 从而，能通过最初的二次曲线和直线AB相交，得出OA、OB的性质。倒过来，我们也可以通过OA和OB的性质与二次曲线得出直线AB的性质。下面谈一谈的这个引理的应用，先从简单的例1开始，因为简单的问题往往蕴含了最基本的方法。二、应用举例 例1.抛物线,过原点的两条垂直的直线OA，OB交抛物线于A、B。求证：直线AB过轴上

6、一定点。分析：知道OA与OB的一个性质：垂直，从而可以从它得出AB的性质，进而得出定点。 解：设AB：( 显然AB不能横着） 抛物线： 化为代入（目的化为二次齐次式）得 即 可化为 其中 又（因OA与OB垂直）， AB恒过点（2p 0) 说明：没有必要求出B值，因为目标与B值无关，从而减少了运算量！ 下面的这个例子是过一点引两直线，但此点不在原点的。怎么办呢。移轴！使该点为原点，请看以下“分解”。例2。点p(，)是抛物线上任意一定点，PA，PB是抛物线的两条互相垂直的弦，求证：AB过定点。分析：注意到PAPB,但可惜P不在原点，我们可以通过平移坐标轴，强行将其平移到原点，化为过原点的两直线与二

7、次曲线相交问题。 解：平移坐标系，使P 为原点，则点P点O抛物线旧坐标系新坐标系在新坐标系下，设AB: 抛物线可化为 （注意常数项肯定为0，因为抛物线过原点P，故没有必要计算常数项）把化为代入得可化为 其中，。AB：，即直线 AB在新坐标系过点在原坐标系过点。说明：此题是例1的推广。此题若用常规法，运算量很大。略解如下：设直线AB：代入抛物线方程得：整理得：，设A、B两点坐标分别为，则 ，又 整理得: （亲，这一步写出容易，算出来还真不容易！）AB： 小结以上例题：过“原点”两直线与二次曲线相交问题，不管此点是真原点，还是假原点，都可化为过原点的两直线，（假原点就强行平移坐标系）。注意此时点的

8、坐标与曲线的方程都会发生改变！其实质是平移公式。如例2 旧P，新P，所以移轴公式为 其中为新坐标，与之对应的为同一点的旧坐标，所以O新坐标为。抛物线 即直线AB在新系下过点，则在旧系下过点。下面我们用这个神奇的方法，小试牛刀地解高考压轴题。三、解析高考例3。（2013年高考江西卷理20）如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.(1)求椭圆的方程;(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.解析:(1)略：椭圆的方程为. (2)：平移坐标系，使点P为原点,则点P点O直线椭圆点F旧坐标系X=4新坐标系X=3设在

9、新系下，AB： （显然直线AB不可能竖着），可化为 椭圆方程可化为：把代入，化为齐次式: 上式可化为： 即 又直线AB过点F, 注意到移轴过程中，所有直线的斜率的值不变！其中，.易求故，故存在常数 使得恒成立。例4。（2013年高考陕西卷（理）已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. () 求动圆圆心的轨迹C的方程; () 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点. ()略，()分析：轴为平分线.故可联想用过“原点”的两直线解决此问题。解析：平移坐标系，使点B为原点，则点B点O抛物线旧坐标系新坐标系

10、在新坐标系下，设PQ；（显然AB不能横着，故设成这种形式）可化为： 代入 （目的是化为齐次式）可化为:其中A=, 轴为平分线，即B=0从而PQ恒过点（2，0），在原坐标系下恒过点（1，0）。说明：此种解法还得出，直线l 例5。（2012高考真题重庆理20） 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为，线段 的中点分别为，且 是面积为4的直角三角形.求该椭圆的离心率和标准方程；（）过 做直线交椭圆于P，Q两点，使，求直线的方程解析：（）离心率为，椭圆的标准方程为（）平移坐标系使点为原点，则点点0点 椭圆旧坐标系（2，0）（0，0）（-2，0）新坐标系（0，0）（-2，0）（-4，0）设直线PQ方程为 可化为了 椭圆方程可化为 把代入到得：上式可化为 其中又PQ直线过点，故, 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为总结：设直线AB方程为或，即使AB过定点也是如此，这样的好处是把直线方程代入二次曲线方程的解法具有一般性，避免具体问题具体分析，增加问题的多样性，如例3、例5。移轴过程中抓住新原点的新旧坐标关系，是坐标变换的关键所在如例