次序统计量及其分布

1、5.3 次序统计量及其分布,定义,定义 5-3-1: 设,为取自总体x的样本，,将其按大小顺序排序,则称 x(k) 为第 k 个次序统计量( no.k order statistic),特别地，称,（5-3-1）,为最小顺序统计量(minimum order statistic),称,（5-3-2）,为最大顺序统计量(maximum order statistic) 。,例5-3-1：设总体x的分布为仅取 0, 1, 2 的离散均匀分布，其分布列为,现从中抽取容量为 3 的样本，其一切可能取值有,种，现将它们以及由它们所构成的次序统,计量 的一切可能值列在表中(p243)，,次序统计量的分布,

2、（一）单个次序统计量的分布,定理 5-3-1：设总体x的密度函数为 p (x) ，分布函数为 f (x) ，x1, x2, , xn 为样本，则第 k 个次序统计量 x (k) 的密度函数为,（5-3-3）,证明： 对任意的实数 x ，考虑次序统计量 x(k) 取值落在小区间 (x , x + x 内这一事件，它等价于“样本容量为 n 的样本中有 1 个观测值落在区间 (x , x + x 之间，而有 k-1 个观测值小于等于 x ，有 n-k 个观测值大于 x + x ”，其直观示意图见下图 5-8 .,图 58 x (k) 的取值示意图,样本的每一分量小于等于 x 的概率为 f (x) ,

3、 落入区间 ( x , x + x 概率为f(x+ x)-f(x),落入区间 (x+ x, b的概率为 1-f(x+x) ，而将 n 个分量分成这样的三组，总的分法有,种，于是，若以 fk (x) 记 x (k) 的分布函数，则由多项分布可得,例 5-3-2 :设总体x 的密度函数为,现从该总体中抽得一个容量为 5 的样本，试计算,解： 我们首先应求出 x (2) 的分布。由总体密度函数不难求出总体分布函数为,由公式（5-3-3）可以得到 x (2) 的密度函数为,于是,可以表述为“容量为 n 的样本 x1, x2, , xn 中有 i-1 个观测值小于等于 y , 一个落入区间 ( y ,

4、y + y , j i -1 个落入区间 ( y + y , z , 一个落入区间 ( z, z+z ,而余下的 nj 个大于 z + z ”,i-1 1 j-i-1 1 n-j,于是由多项分布得,i-1 1 j-i-1 1 n-j,i-1 1 j-i-1 1 n-j,i-1 1 j-i-1 1 n-j,考虑到 f (x) 的连续性，当,有,于是,例5-3-4：设总体分布为 u ( 0 , 1 ) , x1, x2, , xn 为样本，则 ( x (1) , x (n) )的联合密度函数为,令,由 r 0 可以推出,则,该分布参数为 ( n-1, 2 ) 的贝塔分布。,总体分位数与样本分位数,

5、（一）总体分位数,定义5-3-2： 设总体 x 的分布函数为 f (x) ，满足,(5-3-7),的 x称为 x 的 分位数，如下图所示。,都在书后附表中可以查到。其中 n ( 0, 1 )是分布函数表 ( x ) 反过来查，而其它几个分布,则是分别对给出 的几个的常用值如 =0, 0.25, 0.05, 0.1, 0.9, 0.95, 0.975 等等，列出相应分布对应值的 分位点。图 5-9 给出了四种常用分布的 分位点表示方法，其中 n ( 0, 1 ) 的 分位点通常记成 u .,图 5-9,这里要注意到如下几个有用的事实。,n ( 0, 1 )的分位数 .,此时，,故,从而,2） 对

6、于 t t (n) ，由密度函数的对称性可知,即,（5-3-8）,（5-3-9）,3）对于 f分布,由于,所以,即,（5-3-10）,（二）样本分位数,定义5-3-3：设,为取自总体 x 的次序统计量，称 mp,为样本 p 分位数。（sample p quantile ),特别地，当 p = 时，称 mp 为样本中位数。,（5-3-11）,（5-3-12）,对多数总体而言，要给出样本 p 分位数的精确分布通常不是一件容易的事，但当 n+ 时，样本 p 分位数的渐近分布有比较简单的表达式，我们这里不加证明地给出如下定理。,定理 5-3-4：设总体密度函数为 f (x) , xp 为其 p 分位数

7、， f (x) 在 xp 处连续且 f (x) 0 , 则当 n+ 时，样本 p 分位数 mp 的渐近分布为,特别地，对样本中位数有,（5-3-13）,例5-3-2: 设总体 x 为柯西分布，其密度函数为,其分布函数为,易知，是该总体的中位数，即 x = .,当样本容量 n 较大时，样本中位数 m 0.5 的渐近分布为,五数概括与箱线图,次序统计量的应用之一就是五数概括与箱线图。在得到有序样本后，容易计算如下五个值： 最小观测值 x min = x (1) ; 最大观测值 x max = x (n); 中位数 m 0.5 ; 第一 4 分位数 q 1 = m 0.25 第三 4 分位数 q3

8、= m 0.75 。 所谓五数概括就是指用这五个数来大致描述一批数据的轮廓。,例 5-3-4 ：表 55 是某厂 160 名销售人员某月的销售量数据的有序样本，由该批数据可计算得到：,五数概括的图形表示称为箱线图，由箱子和线段组成。图5-11 是该例中样本数据的箱线图，其作法如下,下面就通过一个具体的实例说明之。,表 511 某厂 160 名销售员的月销售量的有序样本,（1）画一个箱子，其两侧恰为第一 4 分位数和第三 4 分位数，在中位数位置上画一条竖线，它在箱子内，这个箱子包含了样本中 50% 的数据；,图 5-11 月销售量数据的箱线图,（2）在箱子左右两侧各引出一条水平线，分别至最小值和最大值为止，每条线段包含了样本中 25% 的数据。,箱线图可用来对数据分布的形状进行大致的判断。图 5-12 给出三种常见的箱线图，分别对应对称分布、左偏分布和右偏分布。,