第五章Hilbert空间理论-黎永锦

1、第5章 Hilbert空间只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡.(希尔伯特)(1862-1943,德国数学家) 空间在历史上比赋范空间出现得早,是最早提出来的空间,它是 1912年在研究积分方程时给出的,而空间的公理化定义直到1927年才由在量子力学的的数学基础这一论文中给出,但它的定义包含了可分性的条件,和在1934年指出,对于绝大部分理论,可分性是不必要的,因此可分性的条件就去掉了.5.1 内积空间在中,把一个点看成一个向量,对于的任意两个点,定义内积,则可把向量的垂直、交角、投影等用内积来刻画,并且内积具有很好的性质.定义5.1.1

2、设是线性空间,若存在到的一个映射,使得对任意, 有（1） ；（2） ；（3） , 且当且仅当时成立.则称内积空间. 在上,定义内积为,则明显地,是一个内积空间. 中的不等式可以追溯和,积分形式的不等式是在1859年和在1885证明的.中的不等式则是在1908年得到的.抽象的不等式是在1930年证明的.在内积空间中,有下面的不等式成立. 定理5.1.1(不等式) 若是内积空间,则对任意,有证明 明显地,只须证明时不等式成立.对于任意,有取, 则 因此. 利用不等式,可以证明任意的内积空间都可以定义范数,使之成为赋范空间.定理5.1.2 设是内积空间,则是的范数. 证明 由内积的定义可知时,有.

3、由于因此,.对于任意,由不等式,有因而,所以是的范数.由上面定理可知,对于任意内积空间,是的范数,一般称这一范数为内积诱导的范数,在这一范数的意义下,可以把内积空间看成赋范空间,这样的内积空间上可以使用赋范空间的所有概念,如序列的收敛和子集的列紧性、完备性等.定义5.1.2 若内积空间在范数下是空间,则称是空间. 容易证明,是空间. 内积空间还具有许多很好的性质. 定理5.1.3 设是内积空间,若,则.证明 由于因此时,有.不难证明,对于内积空间,有如下的极化恒等式成立.定理5.1.4 设是实内积空间,则对任意,有定理5.1.5 设是复内积空间,则对任意,有由于内积空间具有很好的几何直观性,而

4、每一个内积空间都可以引入范数, 使之成为赋范空间,因此可以考虑如下问题. 问题5.1.1 对于任意赋范空间,可否定义内积使之成为内积空间,且满足 ? 例如,在赋范空间中,对于任意,定义,则是否为 的内积,并满足？定理5.1.6 设是赋范线性空间,则在可以定义内积,使之成为内积空间,且的充要条件为对任意,有证明 若可以定义内积,使之成为内积空间,且,则反过来,若对于任意,有.为了简明起见,这里只证是实赋范空间的情形. 令 ,则（1） ；（2） 且且当仅当;（3） 对于任意,有 由于因此,.对于任意,令,则为连续函数,且,因此是线性的,即,因而.由可知,因此是上的内积,且.在上面定理的证明中,当是

5、复赋范空间时,令,则可证明就是上的内积,且满足.由以上定理可知,一般的赋范线性空间不一定可以定义内积,使之成为内积空间,且满足.例5.1.1 在中,取,则,但,因此,所以在上不能定义内积,使得成为内积空间,且满足. 利用前面定理,还可以证明内积空间一定是严格凸的.定理5.1.8 设是内积空间,则一定是严格凸的赋范空间. 证明 对于任意,若,且,则由可知,因而,所以是严格凸的. 5.2 投影定理 内积空间是的自然推广,在内积空间上,可以把向量空间的正交和投影等概念引进来.定义5.2.1 设是内积空间,若,则称与正交,记为. 若,且对任意,有,则称与正交,记为.若对任意,都有,则称与正交,记为.

6、若,则称为的正交补. 例题 5.2.1 设为-1, 1上的实连续函数全体,内积为,若为-1, 1上的实连续奇函数全体,试证明的正交补为-1, 1上的实连续偶函数全体.证明 (1) 若为-1, 1上的实连续偶函数,则对所有都是-1, 1上的实连续奇函数,从而,因此.(2) 反过来，若，令,则,从而为奇函数,因此,所以.由于,因此从而由是连续函数可知,即一定是偶函数. 由(1)和(2)可知,的正交补为-1, 1上的实连续偶函数全体. 明显地,由以上的定义可以看出下面定理成立. 定理5.2.1 设为内积空间,则（1） 当时,有；（2） 当且时,有对于任意都成立；（3） 当时,有,且；（4） 当时,有

7、；（5） ,对任意成立. 定理5.2.2 设是内积空间,则是的闭线性子空间.证明 对于任意 ,及,有 且 因此,对任意 ,有故,即是线性子空间. 若,则对任意,有, 因此,所以,是的闭线性子空间.定理5.2.3 设是内积空间,则. 证明: 对于因此. 反过来,对任意,有,由上面定理可知是闭子空间, 故,因而,所以,从而. 定义5.2.2设是内积空间,是的线性子空间,若,则称为与的正交和,记为. 如在中,取,则,且.定义5.2.3 设是内积空间的线性子空间,若存在,使得 则称为在上的投影. 在中,对,及任意 ,有,使得即为在上的投影.定理5.2.4 设是内积空间,是的子空间,若是在上的投影,则证

8、明 由于是在上的投影,因此且,故对于任意,有,因而,故,所以,.在中,若取,则对任意, 在上的投影与的距离是到上的最短距离.在讨论 的原型空间时,在证明了对任一固定的闭子空间,若是的任一点,则存在唯一的,使得,这就是现在的投影定理.定理5.2.5 设是空间的闭子空间,则对任意,在上存在唯一的投影,即存在,使得,且这种分解是唯一的. 证明 对于,令,则存在,使得. 由于,因此. 故由,可知是列.由于是空间,且是闭凸集,因此存在,使得,所以.令,则,因此下面只须证明.对任意,及任意,有. 因此,故. 取,则 由可知,一定有 ,因此对于任意成立,即. 由上面讨论可知对于任意,存在,使得.现证这种分解

9、是唯一的.假设存在另一个及,使得,则,故由,可知.结合前面的定理,还可以得下面推论. 推论5.2.1 设是内积空间,是的闭子空间,则使得当且仅当. 问题 5.2.1 若是空间的子空间,但不是闭的子空间,那对任意,在上是否存在投影呢？ 例5.2.2 在中,M为只有有限项非零的实数列全体构成的子空间,则M不是的闭子空间。可以断言，对有些,在上的正交投影不存在.实际上,容易证明.由于,因此对任意，有,故.选取,若是的正交分解,由于,因此，这与只有有限项非零矛盾,所以在 M上的正交投影不存在。5.3 Hilbert空间的正交集在中,若取,则为中范数为1的点,且中任意两个元都正交,由于为的基,因而对任意

10、,有.对于任意,表示是唯一的.但对于每个,怎么求出,使得成立呢？中每两个元正交为求提供了一个简单的方法,实际上,由可知,因此.从上面可以看出任意两个元都是正交的集合在中是很重要的,这样的集合和序列的应用在空间中也起着重要的作用.定义5.3.1 设是内积空间的一个子集,若中任意两个不同点都是正交的,则称为的一个正交集. 定义5.3.2 若是的正交集,且对任意,有,则称为 的正交规范集. 例5.3.1 在中,取,则为的正交规范集.例5.3.2 在实函数空间中,定义内积,这里,则是的正交规范集. 对于正交集,有如下的简单性质. 定理5.3.1 (1) 若为的一个正交集,则；（2）若为的一个正交集,则

11、线性无关. 若为内积空间的线性无关集,则由可生成正交规范集,这一构造属于1883和1908.定理5.3.2(标准正交方法) 设为内积空间的线性无关集,则可化为正交规范集,使得对于任意自然数,有证明 由于为线性无关集,因此,故时,有.令则由线性无关可知,由于,因此,取,故,且.令,则,且,取,则，并且有,一般地,按照这一方法,可以令,则,且与正交,取,则为正交规范集.按照归纳原理,重复以上的过程,可以得到,使得为正交规范集.由可知是的线性组合,因此,故.反过来,也是的线性组合,因此所以,.在数学分析中,对于,称 为关于三角函数系的系数.系数这一概念可以推广到一般的内积空间.定义5.3.3 设是的

12、正交规范集,称为关于的系数序列,称为关于的系数. 例5.3.3 在中,若取为的正交规范集,则对任意是关于的系数,且此时有. 定理5.3.3 设是内积空间的正交规范集,.则为在的投影,且. 证明 由,可知. 令,则 故,由可知是在上的投影. 由于是正交规范集,因而有. 由上面定理,还可以得到关于的系数的一个简单的不等式.定理5.3.4 设是内积空间的正交规范集,则对任意有证明 对于任意 ,由上面定理可知是在上的投影,即存在,使得,因此,所以. 上面定理还可以加强为不等式. 定理5.3.5 设是内积空间的正交规范集,则对任意,有.上面形式的不等式是在1828年得到的,因此后来在1908年将它称之不

13、等式 由不等式可知,若为的正交规范集,则对于任意,有由于级数收敛,因此当是完备时,有如下的定理成立.定理5.3.6 设是空间是的正交规范集,则对任意,级数收敛. 问题5.3.1 对于空间的正交规范集及任意,是否一定有？一般来说,在空间,正交规范集可保证对任意,级数一定收敛,但不一定会收敛于.如果为内积空间的正交规范集,且对任意有, 则就是的基,因而可引入下面的概念. 定义5.3.4 设是内积空间,是的正交规范集,若对任意,有 则称为的正交规范基. 例5.3.4 在中就是的正交规范基,因为对于任意,都有.怎么判断一个正交规范集是否正交规范基呢？一个简单的方法就是利用等式. 定理5.3.7 设是内

14、积空间,是的正交规范集,则是的正交规范基当且仅当对于任意,有证明 由于是的正交规范集,因此令时,对任意为在上的投影,且.若是的正交规范基,则对任意,有,因此, 因而. 反之,若对任意,有,则由可知, 所以,即是的正交规范基. 对于完备的内积空间,正交规范基还可以用下面的条件来刻画.定理5.3.8 设是空间,是的正交规范集,则是的正交规范基的充要条件为 证明 若是的正交规范基, 则,由 可知对任意成立, 因此,即.反过来,若,则对任意 ,由及是完备的可知收敛,令,则对于任意,有 ,故,因而,所以,即是的正交规范基. 明显地,若空间有正交规范基则是可分的.常见的空间都是可分的,并且可分的空间非常简

15、单的.定理5.3.9 设是可分的空间,是的正交规范集,则是有限集或可数集. 证明 若是可分的空间,则存在可数集,使得.令, 则由可知, 故只须证明对于任意最多只能含有一个元素.用反证法,假设存在某个,使得,则 但这与矛盾.因此对于任意最多只含一个元素,所以是有限集或可数集.例题5.3.1 设是空间,是的子空间,试证明当且仅当.证明 ,对于任意 ,有.由可知存在,使, 由于,因此,因而,即.反之,若,则,对任意,由投影定理,有和,使得,因此,从而,所以.为了研究空间性质,通过同构，往往可以把空间表示为一个具体而简单的空间.定义5.3.5 设,都是同一数域上的内积空间,若存在到的线性算子,是双射,

16、并且对于任意,有, 则称内积空间和是同构的.明显地,若是内积空间到的同构映射,则是到的保范同构.在1929年证明了下面的定理,从而得到了可分空间的表示.定理5.3.10 若是可分的空间,且是无穷维的,则与同构.定理5.3.11 若是维的内积空间,则与同构. 证明 由于是维的内积空间,因此存在基.利用标准正交方法可以把化为正交规范基.定义从到的算子,则是线性算子,且是单射,对于任意,令,则,因此是到的满射, 从而是到 的一一对应,且对于任意,由,可知,所以,和是同构的. 5.4 Hilbert空间的共轭空间对于一个具体的赋范空间,可以讨论的上线性连续泛函的一般形式,如. 但对一般空间来说,要找到

17、其线性连续泛函的具体表示形式是很难的. 对于空间,由于有了内积,其连续线性连续泛函的表示就非常简明了.设是内积空间,对于的任一固定的,在可以定义泛函,容易看出是上的连续线性泛函,且.反过来,可以考虑下面问题.问题5.4.1 对于上的一个连续线性泛函,是否存在,使得呢？ 1934年,在没有假设是可分的情况下证明了下面的表示定理,并强调空间的整个理论可以以他的表示定理为基础.定理5.4.1 (Riesz 表示定理) 设是空间,是上的线性连续泛函,则存在唯一的,使得对任意,有且. 证明 明显地,只须证明时定理成立.若是上的非零线性连续泛函,则是的闭真子空间,故存在.由投影定理可存在,使得,因而且.由

18、于,因此.对于任意,由可知 故因此 令,则对任意,有假设存在,使得对任意成立,则,有,因而,故,所以的表示是唯一的,并且此时有. 需要注意的是,若是内积空间,是上的线性连续泛函,则不一定存在,使得对任意,有. 例 5.4.1 对不完备的内积空间, Riesz表示定理不一定成立.证明 设,则在下是内积空间,明显地,并且,但不存在,使得对任意,有.假设存在,使得,则对于,有,并且对所有自然数成立,因此,矛盾，所以Riesz表示定理在上不成立.由 表示定理,容易证明空间一定是自反的. 例题5.4.1 设是空间,则是自反空间. 证明 对于任意,由于是空间.因此存在,使得,且. 取,则,且,因而是自反的

19、.由表示定理,还可以得到弱收敛的简单刻画. 定理5.4.2 设是空间,则当且仅当对于任意,有.空间的弱收敛与强收敛还有下面的关系. 定理5.4.3 设是空间,则当且仅当且. 证明 明显地,只须证明,且时,有.由于因此由和可知.所以,.由表示定理不仅可以知道空间是自反性,而且可以定义到它的共轭空间的算子为: ,明显地是到一一对应,且,即是保范的,但不是线性算子.实际上,对于,及,有,因而是共轭线性的,所以在空间到它的共轭空间之间的共轭线性算子,是一一对应,且,这样的称为复共轭线性同构. 在复共轭线性同构的意义下,可以看作的,而中的亦可看作中的点. 因此可成以看与一样, 这种性质称为空间的自共轭性

20、. 由于空间是自共轭的,因此空间与它的共轭空间可以看成一样,这样共轭算子就可以认为是直接定义在空间本身上算子.定义5.4.1 设和是空间,是到的线性有界算子,若是到的线性有界算子,且对任意,有 则称是的伴随算子. 定理5.4.4 设和是空间,是到的线性有界算子,则存在唯一的伴随算子,使得对任意,有,且. 证明 对任意,令, 则由.可知. 由于是空间,因此由表示定理可知存在唯一的,使得 定义到的算子为,则有 并且对于及,有因此,即是线性的. 又因为所以,是到的线性连续算子. 故为的伴随算子,且. 由对任意和成立可知一定是唯一的. 空间的伴随算子与空间的共轭算子略为有点不同. 伴随算子具有许多较好

21、的性质.定理5.4.5 设和是空间,则 (1) ； (2) ； (3) .证明 (1) 由于对任意,有,因此因而,. 由于,因此,所以.(2) 由可知.所以,. (3) 对于任意,及,由于因此,. 如果,是空间,则明显地有. 对于记的零空间,即记的值域,即.定理5.4.6 设,是空间,则 (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 证明 (1) 由于对任意,有,因此对任意有,从而对任意成立,所以.反过来,对于任意,有对任意成立,因此对于,有,所以,即,从而,故.（2）由,可知. （3）由可知,因此.（4）由可知,因此.例题5.4.2 设是复内积空间,试证明当且仅当对任意,有.证明 明显地,

22、若,则对任意,有. 反过来,若对任意,有,则对任意,有且 因此,. 故对任意成立.对任意,取,则,所以. 在实际应用中比较重要的伴随算子是自伴算子,酉算子和正规算子.定义5.4.2 设是空间,若,则称是自伴算子.若是双射并且,则称是酉算子.若,则称是正规算子. 明显地,若是自伴算子,则对任意,有, 因此是自伴算子当且仅当对任意,有. 由定义还可以推出自伴算子和酉算子一定是正规算子,不过正规算子不一定是自伴算子或酉算子.对于复空间的自伴算子,有一个重要而简单的判别方法.定理5.4.7 设是空间,则是自伴算子当且仅当对于任意是实数. 证明 若是自伴算子,则对于任意,因此是实数.反之,若对任意是实数

23、,则故对任意成立,所以,即是自伴算子.自伴算子具有如下的一些性质. 定理5.4.8 设是空间,若都是自伴算子,则是自伴算子当且仅当. 证明 由于,因此当且仅当. 定理5.4.9 设是空间,若是自伴算子,且,则是自伴算子.证明 由于,因此,故 所以,即是自伴算子.酉算子也具有一些较好的性质. 定理5.4.10 设是空间,若是酉算子,则,且对于任意,有证明 由于,因此,所以,对于任意成立,并且明显地有.由上面定可知,酉算子一定是保范的,但保范的线性算子不一定是酉算子.定理5.4.11 设是空间,若是保范的,且是满的,则是酉算子. 证明 由于对任意,因此是单射,又因为是满的,所以是一一对立,故存在.

24、由,及,可知.故对于任意成立,因此,于是 ,所以,即是酉算子. 习题五5.1 试证明,不能定义内积,使得是内积空间,并且.5.2设是内积空间,试证明是上的线性连续泛函,且. 5.3 试证明在下是内积空间.5.4 设是内积空间,若试证明线性无关.5.5 设是实内积空间,是非零元,试证明的充要条件为存在,使得.5.6 设是空间的闭真子空间,试证明含有非零元素.5.7 设是实内积空间,若,试证明.若是复内积空间,试找出满足,但不成立.5.8 设是空间的闭真子空间,试证明.5.9 设是实内积空间上的线性连续泛函,若,试求,使得.5.10 设是内积空间的非空子集,试证明.5.11 设是内积空间的非空子集

25、,试求.5.12 设是空间,、是的闭真空间,试证明是的闭子空间.5.13 设是内积空间,试证明5.14 设是内积空间,试证明的充要条件为对任意,有.5.15设,试用Gram-Schmidt标准正交方法将标准正交化.5.16设是内积空间,试证明当且仅当对任意,有.5.17 设是内积空间的正交规范集,试证明对任意成立.5.18设为空间的正交规范集,试证明时,有.5.19设是Hilbert空间的正交集,试证明弱收敛当且仅当.5.20设是内积空间的正交规范集,则对于任意中最多只有可列个不为零,且.5.21 设是空间,若存在,且,试证明存在且.5.22 设是空间,若,试证明.5.23设是空间,若,试证明.5.24 若是空间,是自伴算子,试证明是自伴算子.5.25 设是空间,若是自伴算子,试证明是自伴算子.5.26 设是复空间,若试证明存在唯一的自伴算子,使得,且.5.27 设是空间,若是正规算子,试证明是正规算子.5.28 设是复空间,试证明是正规算子当且仅当对于任意成立. 5.29 设X是 Hilbert空间,T是X到X的线性算子,若对任意,有,试证明T是连续线性算子.希尔伯特我们必须知道,我们必将知道.(希尔伯特)