第八讲函数图象中点的存在性问题

1、第八讲 函数图象中点的存在性问题1、已知O的半径为3，P与O相切于点A，经过点A的直线与O、P分别交于点B、C，cosBAO设P的半径为x，线段OC的长为y（1）求AB的长；（2）如图，当P与O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当OCAOPC时，求P的半径 满分解答（1）如图2，作OEAB，垂足为E，由垂径定理，得AB2AE在RtAOE中，cosBAO，AO3，所以AE1所以AB2（2）如图2，作CHAP，垂足为H由OABPAC，得所以所以在RtACH中，由cosCAH，得所以，在RtOCH中，由OC2OH2CH2，得整理，得定义域为x0图2 图3（3）如图3，当P与

2、O外切时，如果OCAOPC，那么OCAOPC因此所以解方程，得此时P的半径为如图4，图5，当P与O内切时，同样的OABPAC，如图5，图6，如果OCAOPC，那么ACOAPC所以因此解方程，得此时P的半径为 图4 图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样思考：如图4，图5，图6，当OCAOPC时，3个等腰三角形OAB、PAC、CAO都相似，每个三角形的三边比是332这样，CAO的三边长为、3PAC的三边长为、2、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD过P、D、B三点作

3、Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交Q于F，连结EF、BF（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时求证：BDEADP；设DEx，DFy，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为21？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由 答案（1）直线AB的函数解析式为yx4（2）如图2，BDECDEADP；如图3，ADPDEPDPE，如图4，BDEDBPA，因为DEPDBP，所以DPEA45所以DFEDPE45因此DEF是等腰直角三角形于是得到图2 图3 图4（3）如图5，当

4、BDBF21时，P(2,2)思路如下：由DMBBNF，知设OD2m，FNm，由DEEF，可得2m24m解得因此再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)如图6，当BDBF12时，P(8,4)思路同上图5 图63、在RtABC中，C90，AC6，B的半径长为1，B交边CB于点P，点O是边AB上的动点（1）如图1，将B绕点P旋转180得到M，请判断M与直线AB的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当OMP是等腰三角形时，求OA的长； （3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的N和以OA为半径的O外切，设NBy，OAx，求y关于x的函数关系式及定义域图1 图2 图3满分解答（1）

5、在RtABC中，AC6，所以AB10，BC8过点M作MDAB，垂足为D在RtBMD中，BM2，所以因此MDMP，M与直线AB相离 图4（2）如图4，MOMDMP，因此不存在MOMP的情况如图5，当PMPO时，又因为PBPO，因此BOM是直角三角形在RtBOM中，BM2，所以此时如图6，当OMOP时，设底边MP对应的高为OE在RtBOE中，BE，所以此时图5 图6（3）如图7，过点N作NFAB，垂足为F联结ON当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ONxy在RtBNF中，BNy，所以，在RtONF中，由勾股定理得ON2OF2NF2于是得到整理，得定义域为0x5图7 图8考点伸展第（2）题也可以这样

6、思考：如图8，在RtBMF中，BM2，在RtOMF中，OF，所以在RtBPQ中，BP1，在RtOPQ中，OF，所以当MOMP1时，方程没有实数根当POPM1时，解方程，可得当OMOP时，解方程，可得4、如图，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，OMNOBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长设sMN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值 答案 （1）当M、N都在O右侧时，所以因此MN与AB不平行（

7、2）如图2，当M、N都在O右侧时，OMNB，不可能OMNOBA如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，MONBOA，不可能OMNOBA如图4，当M、N都在O左侧时，如果OMNOBA，那么所以解得t2图2 图3 图4（3）如图2，如图3，如图4，综合、，s所以当t1时，甲、乙两人的最小距离为12千米5、如图1，在四边形OABC中，AB/OC，BCx轴于点C，A(1,1)，B(3,1)，动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q设点P移动的时间为t秒（0t2），OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定

8、顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90，是否存在t，使得OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式图1满分解答（1）由A(1,1)、B(3,1)，可知抛物线的对称轴为直线x1，点O关于直线x1的对称点为(4,0)于是可设抛物线的解析式为yax(x4)，代入点A(1,1)，得3a1解得所以顶点M的坐标为（2）OPQ是等腰直角三角形，P(2t, 0)，Q(t,t)（3）旋转后，点O的坐标为(2t,2t)，点Q的坐标为(3t,t)将O(2t,2t)代入，得解得将Q(3t,t)代入

9、，得解得t1因此，当时，点O落在抛物线上（如图2）；当t1时，点Q落在抛物线上（如图3）图2 图3（4）如图4，当0t1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ此时St2如图5，当1t1.5时，重叠部分是等腰梯形OPFA此时AF2t2此时S图4 图5如图6，当1.5t2时，重叠部分是五边形OCEFA此时CECP2t3所以BEBF1(2t3)42t所以S图6考点伸展在本题情景下，重叠部分的周长l与t之间有怎样的函数关系？如图4，如图5，如图6，6、如图1， ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形AB

10、CD能构成平行四边形（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：当P运动到何处时，由PQAC？当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？图1 满分解答（1）由，得A(0,3)，C(4,0)由于B、C关于OA对称，所以B(4,0)，BC8因为AD/BC，ADBC，所以D(8,3)将B(4,0)、D(8,3)分别代入，得解得，c3所以该二次函数的解析式为（2）设点P、Q运动的时间为t如图2，在APQ中，APt，AQACCQ5t，cosPAQcosACO当PQAC时，所以解得图2 图3如图3

11、，过点Q作QHAD，垂足为H由于SAPQ，SACD，所以S四边形PDCQSACDSAPQ所以当AP时，四边形PDCQ的最小值是考点伸展如果把第（2）题改为“当P运动到何处时，APQ是直角三角形？”除了PQAC这种情况，还有QPAD的情况这时，所以解得（如图4所示）图47、如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE，求CDE面积的最大值；此

12、时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）图1满分解答（1）由，得A(3,0)、B(6,0)、C(0,9)所以AB9，OC9（2）如图2，因为DE/CB，所以ADEACB所以而，AEm，所以 m的取值范围是0m9图2 图3（3）如图2，因为DE/CB，所以因为CDE与ADE是同高三角形，所以所以当时，CDE的面积最大，最大值为此时E是AB的中点，如图3，作EHCB，垂足为H在RtBOC中，OB6，OC9，所以在RtBEH中，当E与BC相切时，所以考点伸展在本题中，CDE与BEC能否相似？如图2，虽然CEDBCE，但是BBCAECD，所以CDE与BEC不能相似8、如图1，图2，在AB

13、C中，AB13，BC14，探究 如图1，AHBC于点H，则AH_，AC_，ABC的面积SABC_拓展 如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F设BDx，AEm，CFn（当点D与点A重合时，我们认为SABD0）（1）用含x，m或n的代数式表示SABD及SCBD；（2）求(mn)与x的函数关系式，并求(mn)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值图1 图2图3 图4答案 探究 AH12，AC15，SABC

14、84拓展 （1）SABD，SCBD（2）由SABCSABDSCBD，得所以由于AC边上的高，所以x的取值范围是x14所以(mn)的最大值为15，最小值为12（3）x的取值范围是x或13x14发现 A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为9、如图1，在RtABC中，C90，AC8，BC6，点P在AB上，AP2点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧设E、F运动的时间为t秒(t0)，正方形E

15、FGH与ABC重叠部分的面积为S （1）当t1时，正方形EFGH的边长是_；当t3时，正方形EFGH的边长是_；（2）当1t2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图1满分解答（1）当t1时，EF2；当t3时，EF4（2）如图1，当时，所以如图2，当时，于是，所以如图3，当时，所以图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为，此时图5 图6 图7考点伸展第（2）题中t的临界时刻是这样求的：如图8，当H落在AC上时，由，得如图9，当G落在AC上时，由，得图8 图910、如

16、图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿ABC的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线OCB相交于点M当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t0），MPQ的面积为S（1）点C的坐标为_，直线l的解析式为_；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？图1满分解答（1）点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为（2）当M在OC上，Q在AB上时，在RtOPM中，OPt，所