第六章数字滤波器设计

1、第6章 数字滤波器设计滤波的目的在于：提取有用信号，抑制不必要的干扰或消除信号的传输误差；把信号分解成不同的频率分量，以便进行分析；进行信号检测及估计；6.1 滤波器概述一、 滤波器的概念所谓滤波器，就是以特定方式改变信号的频率特性，从而实现信号变换的系统。数字滤波系统脉冲响应h(n)输入x(n)输出y(n)若x(n)、y(n) 和h(n)的傅里叶变换分别为X(ej)、Y(ej)和H(ej)，则由时域卷积定理，可知则系统输入x(n)的滤波输出可见，输入序列的频谱X(ej)经数字滤波器系统H(ej)后，就变换为滤波器的输出谱Y(ej)，因此，若选取不同的滤波器H(ej)，使滤波器的输出Y(ej)

2、满足不同的设计要求，这就是数字滤波器的工作原理。| Y(ej)|c| X(ej)|c有效信号干扰信号理想低通滤波| H(ej)|c1二、 滤波器的分类1. 从功能上分类低通滤波器（Low Pass，简称LP）：低频信号通过；高通滤波器（High Pass，简称HP）：高频信号通过；带通滤波器（Band Pass，简称BP）：中频频带信号通过；带阻滤波器（Band Stop，简称BS）：阻碍中频频带信号的通过；2. 从形式上分类（1） 模拟滤波器（Analog Filter，简称AF） 缺点：可靠性不高；抗干扰能力差；设计难度较大，不灵活；模拟滤波器从设计方法上又可分为巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤

3、波器等。（2） 数字滤波器（Digital Filter，简称DF）I. 优点可靠性较高；抗干扰性强；使用灵活、方便；不需考虑元件之间的阻抗匹配；II. 缺点结构复杂、价格高；实时性受CPU、A/D的限制；数字滤波器从实现方法上又可分为无限冲激响应（Infinite Impulse Response，简称IIR）数字滤波器、有限冲激响应（Finite Impulse Response，简称FIR）数字滤波器等。三、 滤波器的技术要求造成滤波器不可实现的根本原因是通带到阻带之间存在突变，因此，为了保证所设计的滤波器具有物理可实现性，我们应在通带和阻带之间设置一个过渡带，并且对通带和阻带给以较小的

4、容限，使滤波器的频率响应在此过渡带内平滑地从通带下降到阻带。若数字滤波器的幅频特性为|H(ej)|，其通带及阻带的截止频率分别为p、s，则其通带及阻带的衰减p、s分别定义为6.2 典型模拟滤波器（AF）的设计一、 有关概念1. AF的衰减特性模拟滤波器的衰减特性取决于滤波器幅度的平方（又称模方函数）|H(j)|2，则定义衰减函数显然，滤波器的通带及阻带的衰减指标p、s与衰减函数、模方函数间的关系如下|H(j)|理想的低通滤波器1p通带的截止频率c实际的截止频率s阻带的截止频率p通带的最大衰减s阻带的最小衰减|H(j)| (dB)实际的低通滤波器1p c sps通带 过渡带 阻带幅度平方下降一半

5、即3dB由此可见，在设计模拟滤波器时，我们可以根据滤波器的衰减特性来确定其模方函数。2. 由模方函数求AF的传递函数由于模拟滤波器的模方函数其中所以可见，滤波器的模方函数与其传递函数之间存在密切关系，因此，我们可以由模方函数求解出相应的传递函数。二、 巴特沃斯（B型）低通滤波器1. 分析（1） 模方函数巴特沃斯滤波器是以巴特沃斯近似函数作为滤波器的传输函数，该函数以最高阶泰勒级数的形式来逼近理想矩形特性，即 （6.2.1）式中，为与通带衰减有关的系数，c为截止频率，N为巴特沃斯滤波器的阶数。通常取半功率点为截止频率，即|H(jc)|2=1/2，则相应的衰减将|H(jc)|2=1/2代入（6.2

6、.1）式中，得则巴特沃斯滤波器的模方函数 （6.2.2）可见，巴特沃斯滤波器的特性与阶次N有关，如图所示（参见P153图6.2.2），随着阶次N的增加，滤波器的通带越平坦，越接近理想的矩形特性。（2） 基本性质对于不同的阶次N，巴特沃斯滤波器的模方特性总满足由（6.2.2）式可知，巴特沃斯滤波器的幅频特性是随着的增大而单调下降的。当0时，|H(j)|1；时，|H(j)|0，也就是说，在0的附近以及很大时其幅频特性曲线均趋于平坦，因此，巴特沃斯滤波器具有最平坦特性；当频率远离c时，频率每增加一倍，衰减增加6N dB，即衰减达到6N dB/倍频程验证：当c时，则巴特沃斯滤波器的模方函数就近似为则其

7、衰减函数当=c时，()=0当=2c时，()=20N lg26N dB2. 设计过程（1） 按给定指标确定巴特沃斯滤波器的阶数N和截止频率c假设给定指标：=p时，滤波器通带的最大衰减为p =s时，滤波器通带的最小衰减为s由衰减函数的定义和巴特沃斯滤波器模方函数的定义可得将给定的指标参数分别代入上式，得由于，求两等式的比值并取对数，可得滤波器的阶数注意：N为正整数且截止频率（2） 由巴特沃斯滤波器的模方函数|H(j)|2求解其传递函数H(s)确定滤波器阶数N确定模方函数|H(j)|2由物理可实现条件代入模方函数定义式中选定滤波器的零、极点确定传递函数H(s)我们在前面已经介绍过如何由模方函数求滤波

8、器的传递函数，其具体过程如图所示：可见，在此过程中，关键是如何确定巴特沃斯滤波器的极点分布。下面我们就此进行讨论。 将j= s代入模方函数的定义式中，并求其极点，可得由上式可知，巴特沃斯滤波器模方函数的极点分布特点：在S平面上共有2N个极点；各极点都均匀（等角距/N）地分布在以c为半径的圆周上，且对称于虚轴，但虚轴上无极点；若N为奇数时，实轴上有两个极点，否则，实轴上无极点，如图所示；N =4jImRe/4N =3jImRe/3这些特点表明，滤波器模方函数|H(j)|2的2N个极点是对称分布在S平面的左、右两半平面的，各有N个。由于模方函数|H(j)|2=H(s)H(-s)| s= j，为了使

9、所设计的巴特沃斯滤波器H(s)是个稳定的系统，故将模方函数|H(j)|2在左半S平面的极点分配给H(s)，而将右半S平面的极点分配给H(-s)，故有 （6.2.3）式中，系数k0可由模方函数|H(j)|2参见公式（6.2.1）来确定。由于 |H(j)|2 =0=1，即 |H(j)| =0 =1于是则由求其极点sk的公式，可得系数将上式代入（6.2.3）式，可得N阶巴特沃斯滤波器的传递函数【备注】切比雪夫滤波器的设计原理及步骤参见P135137。6.3 无限冲激响应（IIR）数字滤波器设计一、 数字滤波器概述1. 数学模型一般来说，数字滤波器可以看成是一个因果离散系统，其传递函数2. 设计过程无

10、论是FIR滤波器还是在IIR滤波器，其设计过程都包括：按照实际需要确定滤波器的性能要求，比如确定所设计的滤波器类型（低通/高通/带通/带阻）、衰减、波动等；用一个因果稳定的系统传函H(z)去逼近这些性能要求；用一种适当的运算去实现这个系统传函H(z)；二、 设计IIR滤波器的基本条件（1） 可实现性前面我们曾经说过，为了保证所设计的滤波器是个物理可实现系统，就必须使该系统满足因果性和稳定性两个条件。因果性n0时，h(n)=0稳定性（2） 实现从模拟到数字的转换 在IIR滤波器的实际设计过程中，通常先根据技术指标的要求，设计一个模拟滤波器，然后再将其数字化，这实际上就是要把S平面映射到Z平面，使

11、模拟系统函数H(s)变换成所需的数字滤波器的系统传函H(z)。 这种由复变量s到复变量z之间的映射（变换）关系，必须满足两个基本要求：为了使所设计的数字滤波器保持模拟滤波器的频率特性，应将S平面的虚轴j映射到Z平面的单位圆ej上，即s=j, -z=ej, -为了使所设计的数字滤波器保持模拟滤波器的稳定性，应将S左半平面映射到Z平面的单位圆内，即Res0|z|1总之，利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器时，必须解决两个问题：一是，模拟滤波器的设计，其设计方法包括：巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、考尔（椭圆）滤波器等；二是，从模拟滤波器映射成数字滤波器，主要方法有：冲激响应不变法、双线性变换法、阶跃

12、响应不变法等。三、 用冲激响应不变法设计IIR低通滤波器1. 设计思路所谓冲激响应不变法，就是使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应h(t)。我们首先对模拟滤波器（AF）的单位冲激响应h(t)进行周期为T的等间隔采样，使数字滤波器（DF）的单位冲激响应序列h(n)恰好等于h(t)的采样值，即h(n) = h(t)| t =nT然后再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数H(z)。2. 设计过程确定AF的传函H(s)给定指标求解AF的单位冲激响应h(t)取拉氏反变换获得DF的单位冲激响应序列h(n)采样获得DF的传函H(z)Z变换令t=nT3. 特点冲激响应不变

13、法中，由S平面到Z平面的变换式定义为令，代入上式，得故有由上式可见，冲激响应不变法中，从模拟（S平面）到数字（Z平面）的映射关系为注意：在此映射过程中，当S平面上由-/T到/T和分别向上和向下扩展时，每一个宽度为2/T的条状区域都重复地映射到整个Z平面，如图所示（参见P158图6.3.1）。利用上述的映射关系，我们不难得出结论：数字滤波器的频率响应H(ej)实际上就是模拟滤波器频率响应H(j)的周期延拓，即根据采样定理，只有当模拟滤波器的带宽被限制在折叠频率（s/2=/T）以内时，才能使数字滤波器的频率响应重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即通过上述讨论可知，冲激响应不变法的特点：由

14、于这种方法是依据h(n) = h(t)| t =nT来设计的，因此，所设计的数字滤波器保持了模拟滤波器的时域瞬态特性，其时域逼近良好；由于数字频率和模拟频率之间满足线性关系，即=T，因而数字滤波器的频率特性不会发生非线性失真；由于映射的重复性，使数字滤波器在频域上产生混叠失真缺点；注意：由于频响的混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，即 对于高通和带阻滤波器滤波器不宜直接采用这种设计方法，必须加保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率成分； 对于低通和带通滤波器滤波器，需充分限带，若阻带衰减越大，则混叠失真越小；四、 用双线性变换法设计IIR低通滤波器1. 设计思路 所谓双线性变

15、换法，就是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。频带压缩标准变换在利用双线性变换法设计IIR低通滤波器时，为了克服多值映射的缺点，防止频域混叠，我们先采用频带压缩的方法来限制带宽，即将整个S平面压缩到某个中介的S1平面的一个条状区域（-/T /T）内，再通过前面讨论过的标准变换关系，将此条状区域变换到整个Z平面上，从而使S平面与Z平面一一对应，如图所示。2. 变换定义式（1） 推导过程可略，参见程佩青数字信号处理教程P246247（2） 结论双线性变换是一种S平面与Z平面之间的单值映射，其变换式定义为3. 特点（1） 频率特性不存在混叠失真；（2） 频率特性发生非线性

16、失真缺点；注意：对于由频率非线性造成的幅频失真，我们可以通过预畸变补偿法来有效地加以修正，但是这种频率非线性关系还会产生相频失真，若要求所设计的数字滤波器具有严格的线性相位特性，则不宜采用双线性变换法。证：令s= j，z=ej，并代入双线性变换式，得可见，数字频率和模拟频率之间满足非线性关系。4. 设计过程在用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器时，由于数字频率和模拟频率之间存在非线性，因而对于所要设计的数字滤波器的通带、阻带的截止频率p、s，我们应先通过预畸变补偿变换式（T为采样周期）将其变换为相应的模拟滤波器的通带、阻带截止频率p、s，然后再按这两个预畸变后的模拟域频率指标p、s来设计模拟

17、滤波器H(s)。其具体的设计过程为：（1） 由给定的模拟域频率指标确定数字域频率指标假设给定的模拟滤波器通带、阻带截止频率分别为p、s，则利用关系式=T，将其转换成对应的数字滤波器通带、阻带截止频率p、s。（2） 预畸变补偿利用预畸变补偿变换式将数字滤波器通带、阻带截止频率p、s变换为补偿后的模拟滤波器通带、阻带截止频率p、s。（3） 由补偿后的模拟域频率指标设计模拟滤波器H(s)（4） 使用双线性变换法，求数字滤波器H(z)通过双线性变换公式，将模拟滤波器H(s)变换为数字滤波器H(z)，即五、 用频率变换法设计其它IIR数字滤波器模拟低通滤波器H(s)模拟-模拟频率变换模拟高通/带通/带阻

18、滤波器H(s1)冲激响应不变法双线性变换法数字高通/带通/带阻滤波器H(z)缺点：由于冲激响应不变法会产生频域的混叠失真，则不宜用来变换高通和带阻滤波器，因此这种变换方法在使用时具有一定的局限性。模拟低通滤波器H(s)数字-数字频率变换冲激响应不变法双线性变换法数字高通/带通/带阻滤波器H(z)数字低通滤波器H(z1)【备注】频率变换法相应的变换式参见P146表4.3.1。6.4 有限冲激响应（FIR）数字滤波器设计一、 基本性质1. 线性相位条件 当FIR滤波器的脉冲响应h(n)关于中心点偶对称或奇对称时，该滤波器的相频特性是线性的，且其群延时为恒定值=(N-1)/2。2. FIR数字滤波器

19、的特点具有严格的线性相位以及任意的幅度特性；滤波器必然是稳定的；FIR滤波器总能用因果系统来实现；可大大提高其运算效率；二、 窗函数设计法（傅里叶级数法）FIR数字滤波器的设计方法包括窗函数法、频率取样法和等波纹逼近法等，这里我们着重以矩形窗为例来介绍采用窗函数设计法进行FIR数字低通滤波器的设计。注意：IIR滤波器设计中的各种变换法（冲激响应不变法、双线性变换法等）不能适用于FIR滤波器设计，这是因为IIR滤波器设计中的各变换法是利用有理分式的系统函数，而FIR滤波器的系统函数只是z -1的多项式。1. 设计思想假设给定理想低通滤波器的频率响应为Hd(ej)，要求所设计的FIR滤波器频率响应

20、可以逼近Hd(ej)。由序列的傅里叶反变换，可得理想脉冲响应序列（P151公式4.2.21）由于Hd(ej)是矩形频率特性，则hd(n)必然是无限长的非因果序列，而我们要设计的FIR滤波器的脉冲响应序列h(n)为有限长的因果序列，所以要用FIR滤波器的脉冲响应序列h(n)来逼近理想脉冲响应序列hd(n)，就必须解决以下两个问题：（1） 序列的项数问题加窗截取（2） 序列的因果性问题延时2. 窗函数的选择由上述分析可知，采用窗函数w(n)可以使理想低通滤波器的脉冲响应序列hd(n)截短并延时，从而得到FIR滤波器的脉冲响应序列h(n)，即由于理想低通滤波器的频率响应则由时域卷积定理可知，加窗处理

21、后FIR滤波器的频率响应故FIR滤波器的幅频特性这表明：加窗后，FIR滤波器的幅频特性H()就是理想低通滤波器的幅频特性Hd()与窗函数幅频特性W()的周期卷积，其结果如图所示（参见教材P171图6.4.4）。Hd(ej)H(ej)由图可见，加窗处理对理想低通滤波器的频率响应造成两方面的影响：（1） 过渡带由窗函数的主瓣引起的使理想频率特性在不连续点处边沿加宽，形成了一个过渡带，其宽度就等于窗口频谱的主瓣宽度，而主瓣宽度与窗宽N成反比，因此，过渡带宽度与所选的窗函数有关，且对于一定的窗函数，增大窗宽N就可使过渡带变陡；注意：这里所说的过渡带是指正负两个肩峰之间的宽度，与滤波器的真正过渡带不同。

22、（2） 肩峰和波动由窗函数的旁瓣造成的使滤波器在通带和阻带内出现了肩峰，并在肩峰的两侧形成了起伏振荡，即所谓的吉布斯现象，其振荡幅度和振荡波的个数则分别取决于窗口频谱中旁瓣的相对幅度及其个数。对于不同的窗函数频谱，其旁瓣情况不同，因此，肩峰和波动与所选的窗函数有关，且增大窗宽N只能使通、阻带内振荡加剧，但并不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就不能改变肩峰和波动的相对大小从而使振荡幅度减小。由此可见，通过加窗法来设计FIR滤波器的关键是窗函数的形状及其宽度N的选择。一般，我们希望所选择的窗函数能满足两项要求：主瓣宽度尽可能地窄，以便获得较陡的过渡带；旁瓣相对于主瓣的幅度越小越好，使能量尽量集中于主瓣，这样可使肩峰和波动减小；然而，上述两项要求总是相互制约、不可兼得的，这是由于一般来说，如果所选的窗口频谱中旁瓣幅度较小，其主瓣就必定较宽，以保证能量守恒。因此，我们常常要根据实际需求进行折衷的选