三角形角平分线地结论及应用

1、.浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离

2、相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线 夹角 交点 变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。结论一：如图1、在ABC中，、的角平分线的交与点D，试探究：D=。解：BD、CD为角平分线， （图1） 。 在中：（） （） （）变式练习的题目有（1）如图2、在ABC中，、的角平分线的交

3、与点D，D=100，则A的度数是 度。解:由结论1得知，D=。则=2D180，容易得出=20 （图2）（2）如图3: 在四边形ABCD中，D=120， A=100 、的角平分线的交与点E，试求BEC的度数。 解： A+D=360又D=120， A=100+=140 BE、CE分别是、的角平分线EBC+ECB=70. （图3）BEC=110. 结论二、 如图4，ABC中，为的两条外角平分线的交点，试探究：DA解：、为角平分线CBD= （图4） 在中：（） （）（）（） A 变式练习的题目：（1）如图5，ABC中，A=60，为的两外角CBE与BCE的三等分线的交点，则D的度数是 。 解：、为CBE

4、与BCE三等分线CBD= 在中：（） （图5）（） （） （）12A 100. （图6）（2）如图6，在中，三个外角的平分线所在的直线相交构成DEF，试判断DEF的形状。 解:由结论二容易得出D90ACB, E90BCA 、F90ABC， 由于D、E、F都小于90，所以DEF是锐角三角形 结论三、 如图7，在中，与的外角的平分线交与点D，试探究：。解：为角平分线，又为的平分线. =E， （图7） E（E） 。变式练习的题目有;（1）如图8，如图，在ABC中，延长BC到D,ABC与ACD的角平分线相较于点，BC与CD的平分线交与点，以此类推，若A=96，则= 度解：由命题的结论不难发现规律A可以

5、直接得：=96=3 （图8）结论四、如图9，在ABC中，、的角平分线的交与点D，的两条外角平分线交与点E，试探究：D+E=180证明：由结论一可知;D= 则=2D180 由结论二可知：EA =180 2E 由可知2D180= 180 2E （图9）由此得出D+E=180变式练习的题目：如图10，点M是ABC两个内角的平分线的交点，点N是ABC两个外角的平分线的交点，如果CMBCNB=32，那么CAB= 度 由结论四可知，CMB+CNB=180，CMBCNB=32，CMB=1803=108，由结3可知，90+12CAB=CMB=108，CAB=36 （图10）结论五： 如图11, ABC中、的角

6、平分线BN、CM的交与点P，,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明;过点P作PD AB、PEBC、PFCA， 垂足分别是D、E、F BN是的角平分线，PD AB、PEBC PD=PE 同理 PE=PF. （图11） PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等变式练习的题目有: （1）已知，如图12，求证:的三条角平分线相交于一点P证明；假设ABC、ACB的平分线交于点P. 则过点P作过点P作PD AB、PEBC、PFCA, 垂足分别是D、E、F BN是的角平分线，PD AB、PEBC PD=PE 同理 PE=PF. PD=PF. PD AB、PFCA,点P在A的平分线

7、上 （图12）即A、ABC、ACB的平分线相交于一点P（2）已知ABC中、的角平分线的交与点D，,求证：点D在A的平分线上（证明略） 结论六：如图13，点E是ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，求证:AE是ABC的外角平分线.证明：如图：则过点E作过点P作EG AC、EFBD、EHBH,垂足分别是G、F 、HBE是ABC的平分线, EFBD、EHBH, 即EF=EG=EH可得：EH=EF 同理：EG=EF EG=EH EG AC、EHBH, （图13）AE是ABC的外角平分线变式练习题目：（1）如图14，直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相

8、等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处 （图14）解：由以上很容易得到答案：D（2）如图15，的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点F求证：点F到三边，所在直线的距离相等 （证明略）(3) 点D是ABC两个外角平分线BD、CD的交点， 求证:AD是CAB的角平分线。 (证明略) （图15）掌握以上知识，那么完成以下题目就很轻松哟！1、（ 2011年湖北省鄂州是中考题）ABC的外角ACD的平分线CP的内角ABC平分线BP交于点P，若BPC=40，则CAP=_解：由结论六可知:AP是ABC的一个外角的平分线由结论三可知：BPC. BPC=40A=80. A的相邻外角是100， （图16）所以CAP=50 2、(2003年山东省“KLT快乐灵通杯”初中数学竞赛试题)如图17，在RtABC中，ACB=90，BAC=30，ACB的平分线与ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则AEB= 度解：由结论六可以知道：AE是ABC的一个外角平分线,由结论二可知：AEB=90ACB 由此可得AEB=9090=45 （图17） 从上面的做题过程来看题目中给出的