02 平衡方程.ppt

1、,第二章,应力与平衡方程,Stress and Equilibrium Equation,2.1 荷载与应力 2.2 微元平衡分析 2.3 应力分析,应力与平衡方程,2.1 荷载与应力,1. 荷载：外部作用于物体上的力,2. 应力：物体各部分间的作用力,3. 应力状态：全面描述一点应力,外力,内力,体力：,满布地作用在物体内部各质点上的力,重力、惯性力等,坐标轴基矢量,爱因斯坦求和约定,2.1 荷载与应力,1. 荷载,亚标,复 习,单位基矢量与矢量,x 轴单位基矢量,y 轴单位基向量,z 轴单位基向量,单位基矢量,指向坐标轴正向,矢量的模为1,矢量举例,面力：,作用在物体表面上的力,2.1 荷

2、载与应力,1. 荷载,荷载引起的物体内单位面积上的内力,正应力,总是与截面相关联,剪应力,垂直于作用面的应力,平行于作用面的应力,过物体中任一点可以做无数 个不同方向的截面，各个截 面上的应力通常各不相同。,2.1 荷载与应力,2. 应力,如何表示一点 的应力状态？,用过 P 点三个相 互垂直的平面上 的应力表示。,2.1 荷载与应力,3. 应力状态,正面：外法线与坐标 轴正向相同的面,负面：外法线与坐标 轴负向相同的面,正面,负面,2.1 荷载与应力,3. 应力状态,正面上的应力与 坐标轴正向相同时为 正，反之为负。,2.1 荷载与应力,3. 应力状态,负面上的应力与 坐标轴负向相同时为 正

3、，反之为负。,图中均为正,2.1 荷载与应力,3. 应力状态,作用面外法向,应力分量方向,表示成应力张量,2.1 荷载与应力,3. 应力状态,X轴为外法向的面上的三个应力分量,2.1 荷载与应力 2.2 微元平衡分析 2.3 应力分析,应力与平衡方程,1. 力的平衡,2.2 微元平衡分析,微分六面体的平衡条件,x 方向的应力,1. 力的平衡,2.2 微元平衡分析,1. 力的平衡,2.2 微元平衡分析,表达应力 与体力之 间的关系,平衡微分方程,自由指标,亚标,求和,2. 力矩平衡,2.2 微元平衡分析,3. 剪应力互等定理,应力张量是对称张量,2.2 微元平衡分析,4. 斜截面应力公式,2.2

4、 微元平衡分析,4. 斜截面应力公式,2.2 微元平衡分析,方向余弦,4. 斜截面应力公式,2.2 微元平衡分析,应力张量 实体形式,4. 斜截面应力公式,2.2 微元平衡分析,张量分析,1. 张量概念,描述客观存在的物理量,数学上，张量是指不依赖于 任何特定坐标系而存在的量,温度、速度、应力,但在不同坐标系中，张量通常具有不同的分量,张量分析,1. 张量概念,描述客观存在的物理量,在不同坐标系中 具有不同的分量,不同坐标系分量之间必然存在一定的变换关系,分量间满足一定的坐标变换规律的量,张量分析,2. 张量阶数,温度,速度,应力,零阶张量,一阶张量,二阶张量,在3维空间坐标系中，如果一个张量

5、的分量个数为 ， 则该张量就称为 阶张量。,张量分析,3. 张量记法,实体记法,分解式记法,指标记法,张量分析,4. 张量转置,的转置张量为,注意,对称张量,张量分析,5. 公式的张量表示,张量分析,6. 矢量与矢量运算,点积,叉积,矢量夹角,张量分析,6. 矢量与矢量运算,叉积,叉积的模,方向遵循右手法则,张量分析,6. 矢量与矢量运算,混合积,混合积为 3 个矢量所构 成的平行六面体的体积,张量分析,7. 矢量与张量运算,张量分析,8. 张量与张量运算,换标作用,张量分析,8. 张量与张量运算,4. 斜截面应力公式,2.2 微元平衡分析,5. 应力边界条件,2.2 微元平衡分析,边界面力与

6、应 力的平衡方程,2.1 荷载与应力 2.2 微元平衡分析 2.3 应力分析,应力与平衡方程,1. 正应力和剪应力,2.3 应力分析,1. 正应力和剪应力,2.3 应力分析,2. 主应力和不变量,2.3 应力分析,2.3 应力分析,2. 主应力和不变量,2.3 应力分析,2. 主应力和不变量,第一应力不变量,2.3 应力分析,2. 主应力和不变量,2.3 应力分析,2. 主应力和不变量,总是有三个实根,3. 主方向求解,2.3 应力分析,3. 主方向求解,2.3 应力分析,4. 主应力的极值性,2.3 应力分析,若,，则,5. 主平面的正交性,2.3 应力分析,设,0,5. 主平面的正交性,2

7、.3 应力分析,若,这说明该平面上的任何方向均为主方向,6. 主应力的实数性,证明从略,6. 主剪应力,2.3 应力分析,7. 八面体剪应力,2.3 应力分析,8. 应力张量的分解,2.3 应力分析,球应力张量,偏应力张量,9. 偏应力张量不变量,2.3 应力分析,9. 偏应力张量不变量,2.3 应力分析,2.3 应力分析,10. 等效的不变量组合,三者相互确定,11. 等效应力应力强度,2.3 应力分析,11. 等效应力应力强度,2.3 应力分析,在单向拉伸条件下，,复杂应力状态等效于单向拉伸,12. 等效剪应力剪应力强度,2.3 应力分析,在纯剪条件下,复杂应力状态等效于纯剪切,13. 应力坐标变换,2.3 应力分析,旧坐标系,新坐标系,13. 应力坐标变换,2.3 应力分析,13. 应力坐标变换,2.3 应力分析,轴单位基矢量的方向余弦,13. 应力坐标变换,2.3 应力分析,13