第2章一维势场中的粒子习题解答

1、第2章 一维势场中的粒子 习题2.1 在三维情况下证明定理1-2。证明：实际上，只要在教材上对一维情形的证明中将一维变量x换为三维变量即可。习题2.2 方程 的一般解亦可写为如下形式： 或 试分别用这两个一般解求解一维无限深势阱。解：方法1：令势阱内一般解为 ，代入边界条件有 ，解得： ，有所以：归一化可求得：且有：方法2：令势阱内一般解为，代入边界条件有解得所以：归一化可求得：且有：习题2.3 设质量为的粒子在势场 中运动，求定态Schrdinger方程的解。解：方法1：本问题与一维中心不对称无限深势阱的差别仅在于坐标原点的选择，将教材中式（2.6）中的坐标x换为x+a/2即得到本问题的解为

2、： ,n=1,2,3 由定理2可知，本问题中的波函数应该具有确定的宇称。讨论如下：当n=2k为偶数时，为关于x的奇函数，此时波函数为奇宇称；当n=2k+1为奇数时，为关于x的偶函数，此时波函数为偶宇称；方法2：本题也可在不预先考虑宇称的情况下直接求解，过程如下：1写出分区的定态Schrdinger方程由前面提到的，当V0时，=0故阱外波函数为零，即（x）=0, |x|a/22、引入参数简化方程，得到含待定系数的解，令则阱内定态Schrdinger方程为：(x)+k2=0由此得阱内的通解为：式中A、B为待定常数。 3、由波函数标准条件确定参数k，并代入(x)。 既然阱外的波函数(x)=0，由波函

3、数的连续性条件可得(-a2)= (a2)=0即 可解得， n=1,2,3, 归一化，可得到 方法3：本题也可在预先考虑宇称的情况下直接求解，过程如下：1写出分区的定态Schrdinger方程由前面提到的，当V0时，=0故阱外波函数为零，即（x）=0, |x|a/22、引入参数简化方程，得到含待定系数的解，令则阱内定态Schrdinger方程为：(x)+k2=0由此得阱内的通解为：(x)=Asinkx+Bcoskx, |x|a/2式中A、B为待定常数。 3、由波函数标准条件确定参数k，并代入(x)。 既然阱外的波函数(x)=0，由波函数的连续性条件可得(-a2)= (a2)=0即得它的解为： 或

4、 由两组解可得， n=1,2,3,对于第一组解，n为奇数；对于第二组解，n为偶数。考虑到势函数关于坐标原点对称，波函数必有确定的宇称，由此可得到偶宇称或奇宇称波函数为： 或 上边两组解可合并为一个式子，即 归一化，可得到 习题2.4 二维无限深方势阱问题x设质量为的粒子在势场中运动，求束缚态解。解：由前面的知识可以知道当粒子处于V(x,y)= 时，则粒子的波函数为零，即(x,y)=0 (x,y) (0,a1 ),(0,a2 ) 粒子在(x,y)(0,a1),(0,a2)内的Schrdinger方程即：利用变量分离法，可以将粒子在二维方势阱内的运动化为二个一维运动。即令 (x,y)=X(x)Y(

5、y)将(x,y)=X(x)Y(y)代入上式的Schrdinger方程中，得 令则Schrdinger方程可化为: 则其解为: 由此可设波函数为：(x,y)=Asin(k1x+1)sin(k2y+2) (x,y) (0,a 1),(0, a2) 由边界条件：(x,0)= (0,y)= (a1 ,y)= (x,a2)=0代入波函数中，得 ,故可取 (x,y)=Asink1xsink2y (x,y) (0,a1),(0,a2)由边界条件(a1,y)= (x,a2)=0得则得到 k1a1=n1, k2a2=n2 (n1,n2=1,2,3)即 ， 波函数由波函数的归一化条件得到：得所以，二维无限深方势阱

6、的波函数为： ， n1,n2=1,2,3能级为：ya2a1a3zx习题2.5 三维无限深方势阱问题设质量为的粒子在势场中运动，求束缚态解。解：由前面的知识可以知道粒子在盒型势阱以外的波函数为零。即(x,y,z)=0 (x,y) (0,a1),(0,a2),(0,a3)在盒型势阱内的定态Schrdinger方程即：利用变量分离法，可以将粒子在三维方势阱的运动化为三个一维运动。不可穿透的壁就是无限深的势阱。令(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)代入上式Schrdinger方程中，得令则Schrdinger方程可化为：阱内的波函数可设为：(x,y,z)=Asin(k1x+1)sin(k2y+2)

7、sin(k3z+3) (x,y,z) (0,a1),(0,a2),(0,a3)将边界条件：(0,y,z)= (x,0,z)=(x,y,0)= 0代入波函数中，得 ，故可取 此时波函数可写为：(x,y，z)=Asink1xsink2ysink3z (x,y,z) (0,a1),(0,a2),(0,a3)由边界条件，(a1,y,z)= (x,a2,z)= (x,y,a3)=0代入波函数中，得： (n1,n2,n3=1,2,3) (n1,n2,n3=1,2,3)所以： 由归一化条件得出，即，三维无限深势阱的波函数为： n1,n2,n3=1,2,3能级：习题2.6 一维高低不对称方势阱问题如图，设质量

8、为的粒子在势场中运动，求束缚态情形（0EV1V2）定 态Schrdinger方程的解。 解：写出分区的定态Schrdinger方程 （1）令， （2）则分区的定态Schrdinger方程为： （3） 考虑到，可将设各分区域的通解为：I:II:III: （4）式中A、B、C、D为待定常数。由波函数的连续性条件可得到： （5）若要A、B、C、D有不全为零的解，则k1、k2和k3必须满如下方程： （6）此外有： （7） （8）粒子的能级由上述方程确定。1. 先确定粒子的能级令可将上述方程组写为： 粒子的能级可由上述三个方程联立解出。记，消将上述方程中的z变量，有量级估计：设所考虑的为电子，在宽为原子

9、大小（1010m）的势阱中运动，V1100eV则。分别取，作图，有：图2 确定能级的方程的图示可见，两条曲线有一个交点，即粒子有一个能级，借助于Mathematica软件，容易求得交点坐标为：（x1,y1）（0.,0.）即此时粒子的能级为： 类似地，可以求出其它情形。2.再考虑归一化波函数由方程组（5），可以得到：代入（4），有：由归一化条件，可求得： 3.下面讨论各区间的概率密度：将（x1,y1）（k1a，k2a）（0.,0.）及k3a0.并取|A|21，有 其概率分布情形如图： 图3 势阱中粒子的概率分布可以看出，电子到达经典禁区的概率相当大。习题2.7 一维单壁无限高势阱问题如图1，设质

10、量为的粒子在势场中运动，求束缚态情形（V0E1区域的概率为54.8。 习题2.8 求基态线性谐振子在经典界限外被发现的概率。 解：基态能量为 设基态的经典界限的位置为，则有 在界限外发现振子的概率为 式中为正态分布函数当。查表得，所以， 即在经典极限外发现振子的概率为16。 （积分亦可用Mathematica类的数学软件求得，结果为）习题2.9 求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。解： 令，得： 由的表达式可知，时，。显然不是最大概率的位置。 可见是所求概率最大的位置。 #或：令 ，有 又由 有 所以 为极大值点，（或 而 ，因而 处必为极大值） 习题2.10 试证明是线性谐振子的波函

11、数，并求此波函数对应的能量。 证明：线性谐振子的Schrdinger方程为 把代入上式，有 把代入式左边，得 可见，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为（n3）。习题2.11 带电q的线性谐振子在均匀电场E中运动，其势能为 求谐振子的能级和波函数。解：定解问题为: 令 方程可改写为 结果为： 习题2.12 一粒子在一维势阱 中运动, 利用谐振子的已知结果求出粒子的能级和波函数。 解：因 ，故n只能取奇数 n=2k+1波函数： 能级为 习题2.13 在势垒贯穿问题中，若入射粒子能量满足 E=V0，结果如何？直接求解；在式（2.13）和（2.14）中令EV0，并将结果与的结果进行比较。解：直接求解

12、：按照教材书上传统的方法讨论E=V0时粒子对势垒的透射率。在各区间波函数满足的定态Schrdinger方程为： () (1) () (2) () (3)令 ，并且当E=V0时，于是上面三个方程变为： () （4） （） （5） () （6）在区域内，方程的解为： （7）在区域内，方程的解为： （8）在区域内，方程的解为： （9）按照公式，定态波函数是再分别乘上一个含时间因子，就得到向左或向右传播的平面波。由此很容易看出式（7）第一项是左向右传播的平面波，第二项是反射波，而在区域内由于没有由右向左运动的粒子，因而只应有向右传播的投射波，所以在式（9）中必有C=0。 再利用波函数及其微商在x=0点和xa点的连续条件来确定波函数中其他的参数。 当时，由得： （10）当时，由得： （11）当时，由得： （12）当时，由得： （13）联合（10）到（13）式得到： （14）故投射系数D为： （15）从EV0或EV0的情况下的透射系数为： （16）（其中，）当即E=V0时，D的分子分母都趋近为0。时，取D的极限值，就可以得到式（15）的结果： （17）讨论：上面两种做法，不论是直接求解，还是将EV0和E0 中运动，求束缚态（E0）能级和波函数