2007年全国中考数学压轴题精选全解之五

1、2007年全国各地中考试题压轴题精选全解之五82.（四川省德阳市）25.如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为（1）求抛物线的函数关系式；（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？（3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存，求出点的坐标；若不存在，说明理由1234554321解：（1）由题意知点的坐标为设的函数关系式为又点在抛物线上，解得抛物线的函数关系式为（或）（2）与始终关于轴对称， 与轴平行设点的横坐标为，则其纵坐标为，即当时，解得当时，解得当点运动到或或或时，以点为顶点的四边形

2、是平行四边形（3）满足条件的点不存在理由如下：若存在满足条件的点在上，则，（或），过点作于点，可得，点的坐标为但是，当时，不存在这样的点构成满足条件的直角三角形12355432183.（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，M的半径为设M与y轴交于D，抛物线的顶点为E（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设DBC = a，CBE = b，求sin（ab）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P

3、的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由题意可知C（0，3）， 抛物线的解析式为y = ax22ax3（a0），过M作MNy轴于N，连结CM，则MN = 1， CN = 2，于是m =1同理可求得B（3，0）， a3222a33 = 0，得 a = 1， 抛物线的解析式为y = x22x3 （2）由（1）得 A（1，0），E（1，4），D（0，1） 在RtBCE中， ， ，即 ， RtBODRtBCE，得 CBE =OBD =b，因此 sin（ab）= sin（DBCOBD）= sinOBC =（3）显然 RtCOARtBCE，此时点P1（0，0）过A作AP2AC交y正半轴于P2，由RtCAP

4、2 RtBCE，得过C作CP3AC交x正半轴于P3，由RtP3CARtBCE，得P3（9，0）故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，13），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似84.（南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B已知抛物线过点A和B，与y轴交于点C（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（2）点Q（8，m）在抛物线上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQPB的最小值（3）CE是过点C的M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式 CAMBxyODE解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），抛物线过点A

5、和B，则解得则抛物线的解析式为 故C（0，2）（说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）（3分）（2）如图，抛物线对称轴l是x4Q（8，m）抛物线上，m2过点Q作QKx轴于点K，则K（8，0），QK2，AK6，AQ又B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，PQPB的最小值AQCAMBxyODEQPK图lCAMBxyODE图（3）如图，连结EM和CM由已知，得EMOC2CE是M的切线，DEM90，则DEMDOC又ODCEDM故DEMDOCODDE，CDMD又在ODE和MDC中，ODEMDC，DOEDEODCMDMC则OECM设CM所在直线的解析式为ykxb，

6、CM过点C（0，2），M（4，0），解得直线CM的解析式为又直线OE过原点O，且OECM，则OE的解析式为yx85.（内江市）25.如图（13），已知平行四边形的顶点的坐标是，平行于轴，三点在抛物线上，交轴于点，一条直线与交于点，与交于点，如果点的横坐标为，四边形的面积为（1）求出两点的坐标；（2）求的值；（3）作的内切圆，切点分别为，求的值图（13）解：（1）点A的坐标为（0，16），且ABx轴B点纵坐标为4，且B点在抛物线上点B的坐标为（10，16）又点D、C在抛物线上，且CDx轴D、C两点关于y轴对称DNCN5.D点的坐标为（5,4）（2）设E点的坐标为（a，16），则直线OE的解析式为

7、：F点的坐标为（）由AEa，DF且，得解得a5（3）连结PH，PM，PKP是AND的内切圆，H，M，K为切点PHAD，PMDN，PKAN在RtAND中，由DN5，AN12，得AD13设P的半径为r，则，r2在正方形PMNK中，PMMN2在RtPMF中，tanPMF86.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x-3-212y-4-0图10(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为

8、(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=kDF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围. 解：（1）解法一：设，任取x,y的三组值代入，求出解析式，令y=0，求出；令x=0，得y=-4， A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . 解法二：由抛物线P过点(1，-)，(-3，)可知，抛物线P的对称轴方程为x=-1，又 抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .（2）由

9、题意，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，又 ，EF=DG，得BE=4-2m， DE=3m，SDEFG=DGDE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0m2) .注：也可通过解RtBOC及RtAOC，或依据BOC是等腰直角三角形建立关系求解.(3)SDEFG=12m-6m2 (0m2)，m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 .当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=-，又可求得抛物线P的解析式为：，令=，可求出. 设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴

10、的垂线交x轴于H，有=，点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是k且k0.说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.若选择另一问题：(2)，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，又， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，SDEFG=DGFG=6. 87.（自贡市）26.ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，抛物线yx22axb2交x轴于两点M，N，交y轴于点P，其中M的坐标是(ac，0)（1）求证：ABC是直角三角形（2）若SMNP3SNOP，求cosC的值；判断ABC的三边长能否取一组适当的值，使三角形MND（D为抛物线的顶点）是等腰直角三角形？如能，请求

11、出这组值；如不能，请说明理由解：（1）证明：抛物线yx22axb2 经过点由勾股定理的逆定理得：为直角三角形 （2）解：如图所示； 即 又 ，是方程x22axb20的两根由（1）知：在中，A90由勾股定理得能由（1）知 顶点过D作DEx轴于点 则NEEM DNDM要使为等腰直角三角形，只须EDMNEM 又c0，c1由于ca ba a b当a，b，c1时，为等腰直角三角形。88.（成都市）28.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以

12、为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；yx11O（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围yxBEAOCD解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，由解得此二次函数的表达式为（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似在中，令，则由，解得令，得设过点的直线交于点，过点作轴于点点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为要使或，已有，则只需，或成立若是，则有而在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）点的坐标为将点的坐标代入中，求得满足条件的直

13、线的函数表达式为或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为此时易知，再求出直线的函数表达式为联立求得点的坐标为若是，则有而在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）点的坐标为将点的坐标代入中，求得满足条件的直线的函数表达式为存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点xBEAOCP将点的坐标代入中，求得此直线的函数表达式为设点的坐标为，并代入，得解得（不合题意，舍去）点的坐标为此时，锐角又二次函数的对称轴为，点关于对称轴对称的点的坐标为当时，锐角；当时，锐角；当时，锐角89.（乐山市）28AOFBxyC

14、E图（16）.如图（16），抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为；直线与抛物线交于点，与轴交于点，且（1）用表示点的坐标；（2）求实数的取值范围；（3）请问的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由解：（1）抛物线过，点在抛物线上，点的坐标为（2）由（1）得，（3）的面积有最大值， 的对称轴为，点的坐标为，由（1）得，而， 的对称轴是，当时，取最大值，其最大值为90.（巴中市）30图12.如图12，以边长为的正方形的对角线所在直线建立平面直角坐标系，抛物线经过点且与直线只有一个公共点（1）求直线的解析式（3分）（2）求抛物线的解析式（3分）（3）若点为（2）中

15、抛物线上一点，过点作轴于点，问是否存在这样的点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（5分）解：（1）直线AB的解析式为：（2）抛物线的解析式为：（3）存在这样的点P，使PMCADC，P点的坐标为（0，-1）；（2，1）；（，）；（，）。理由略。91.（眉山市）26.如图，矩形是矩形（边在轴正半轴上，边在轴正半轴上）绕点逆时针旋转得到的，点在轴的正半轴上，点的坐标为（1）如果二次函数（）的图象经过，两点且图象顶点的纵坐标为，求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请求出点的坐标和的面积；若不存在，请说明理由；解：（

16、1）连结，则，解得，所求二次函数的解析式为（2）设存在满足题设条件的点连结，过作轴于则， 即在二次函数的图象上解得或在对称轴的右支上 即是所求的点，连结，显然为等腰直角三角形为满足条件的点满足条件的点是或，或（3）设与的交点为显然在中，即解得，设边所在直线的解析式为则解得，所求直线解析式为92.(内蒙古呼和浩特市) 26.如图，在矩形中，点在上，交于，交于于点从点（不含）沿方向移动，直到使点与点重合为止（1）设，的面积为请写出关于的函数解析式，并确定的取值范围BCQEDAP（2）点在运动过程中，的面积是否有最大值，若有，请求出最大值及此时的取值；若无，请说明理由（1）解：过点作，垂足为在矩形中

17、，又，又在中，又 又在四边形中，四边形为矩形 又 又 又 又 或过点作，垂足为在中，由等积法可得由题意可得当与重合时，与重合即，由得即 的取值范围是（2）面积有最大值由（1）可得当即时，面积最大，即93.(赤峰市)25. 如图，一元二次方程的二根（）是抛物线与轴的两个交点的横坐标，且此抛物线过点（1）求此二次函数的解析式（2）设此抛物线的顶点为，对称轴与线段相交于点，求点和点的坐标（3）在轴上有一动点，当取得最小值时，求点的坐标xyA（3，6）QCOBP解：（1）解方程得抛物线与轴的两个交点坐标为：设抛物线的解析式为在抛物线上 抛物线解析式为：xyA（3，6）QCOBP（2）由抛物线顶点的坐标

18、为：，对称轴方程为：设直线的方程为：在该直线上解得直线的方程为：将代入得点坐标为（3）作关于轴的对称点，连接；与轴交于点即为所求的点设直线方程为解得直线：令，则点坐标为94.(鄂尔多斯市)26. 如图17，抛物线（为常数）经过坐标原点和轴上另一点，顶点在第一象限（1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；图17（2）在四边形内有一矩形，点分别在上，点在轴上当为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解（1）抛物线过点顶点在第一象限，且抛物线顶点坐标为（2）点的坐标为如图所示，作轴于设点的坐标为 由抛物线的对称性可知：当时，时，答：等于时，矩形的最大面积是95.(乌兰察布市)24. 如图所示，菱形ABCD的边长为6cm，DAB60，点M是边AD上一点，且DM2cm，点E、F分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向点B运动，EM、CD的延长线相交于G，GF交AD于O。设运动时间为