线性代数试题

1、线性代数试题一、单项选择题（只有一个选项正确，共道小题）1. 设向量组 1，2，3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 ( )。(a) 1 2 ， 2 3 ， 3 1(b) 1 ， 2 ， 3 + 1(c) 1 ， 2 ，2 1 3 2(d) 2 ， 3 ，2 2 + 3你选择的答案：未选择错误正确答案：b解答参考：a中的三个向量之和为零，显然a线性相关；b中的向量组与1，2，3等价,其秩为3，b向量组线性无关；c、d中第三个向量为前两个向量的线性组合，是线性相关向量组。2.(a)必有一列元素全为0；(b)必有两列元素对应成比例；(c)必有一列向量是其余列向量的线性组合；(d)任一列向量是其

2、余列向量的线性组合。你选择的答案：未选择错误正确答案：c解答参考：3. 矩阵 ( 0 1 1 1 2 ,0 1 1 1 0 ,0 1 3 1 4 ,1 1 0 1 1 ) 的秩为( )。(a)1(b)2(c)3(d)4你选择的答案：未选择错误正确答案：c解答参考：4. 若矩阵 ( 1 a 1 2, 1 1 a 2 ,1 0 1 2 ) 的秩为2,则 a的值为 。(a)0(b)0或-1(c)-1(d)-1或1你选择的答案：未选择错误正确答案：b解答参考：5. 二次型 f( x 1 , x 2 , x 3 )=2 x 1 2 +5 x 2 2 +5 x 3 2 +4 x 1 x 2 8 x 2 x

3、 3 ，则 f的矩阵为 。(a)(240058005)(b)(240054045)(c)(220254045)(d)(240454045)你选择的答案：未选择错误正确答案：c解答参考：6. 设 a、 b为 n阶方阵，且 a与 b等价， | a |=0 ，则 r(b)(a)小于n(b)等于n(c)小于等于n(d)大于等于n你选择的答案：未选择错误正确答案：a解答参考：7. 若矩阵 1 2 2 3 ,1 1 3 ,1 0 2 3 的秩为2,则 的取值为(a)0(b)-1(c)2(d)-3你选择的答案：未选择错误正确答案：c解答参考：8. 设 1 , 2 , 3 是齐次方程组 ax=0 的基础解系，

4、则下列向量组中也可作为 ax=0 的基础解系的是(a)2(b)-2(c)1(d)-1你选择的答案：未选择错误正确答案：b解答参考：二、判断题(判断正误，共6道小题)9.设 a,b 是同阶方阵，则 ab=ba 。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法错误解答参考：10.若 a是方阵，则 | a |=| a t | 。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法正确解答参考：11.如果矩阵a与b等价，则a的行向量组与b的行向量组等价。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法错误解答参考：反例： a=( 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ) ， b=( 0 0 0 0 1 0 0 0 1 )12.非齐次线

5、性方程组 ax=b 一定有解。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法错误解答参考：13.若 a、 b是 n阶非零方阵，且 ab=0 ，则 | a |0 或者 | b |0 。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法错误解答参考：14.设 =0 是 n阶方阵 a的特征值，则方程组 ax=0 有非零解。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法正确解答参考：（注意:若有主观题目,请按照题目,离线完成,完成后纸质上交学习中心，记录成绩。在线只需提交客观题答案。)三、主观题（共2道小题）15.设 1 =( 6 2 0 4 ) , 2 =( 3 1 5 7 ) ，则 3 1 2 2 =参考答案：3122=(2

6、48102)16.设 =( 1 1 0 ) , a=( 2 0 1 0 4 2 1 1 0 ) , b=( 1 0 0 3 2 2 ) ,则 ab=参考答案：ab=( 0 14 )17.参考答案：1/3，3518.是线性_的，它的一个极大线性无关组是_。参考答案：相关（因为向量个数大于向量维数）。1,2,4。因为3=21+2,a=|124|0。19.时，此方程组只有零解。参考答案：r=n时，此方程组只有零解。20.是分块对角矩阵，其中参考答案：(2n+1)!21.参考答案：|ab|=822.参考答案：a1/223.为标准形。参考答案：24.参考答案：25.参考答案：26.用正交变换化二次型为标

7、准型，并求出所用的正交变换及f的标准型。问：这个二次型是否是正定的？为什么？参考答案：本次作业是本门课程本学期的第3次作业,注释如下:一、单项选择题（只有一个选项正确,共8道小题)1. 设 a为 n阶方阵，且a2+a5e=0,则(a+2e)1=( )。(a)ae(b)a+e(c)13(ae)(d)13(a+e)你选择的答案：未选择错误正确答案：c解答参考：a2+a5e=0a2+a2e=3e(a+2e)(ae)=3e(a+2e)1=13(ae)2. 若 n维向量 1 ， 2 ， , n 线性相关， 为任一 n维向量，则 ( )。(a) 1 , 2 , n ,线性相关；(b) 1 , 2 , n

8、,线性无关；(c)一定能由 1 , 2 , n 线性表示；(d) 1 , 2 , n ,的相关性无法确定。你选择的答案：未选择错误正确答案：a解答参考：3. 设线性方程组 3 x 1 + x 2 =1, 3 x 1 +3 x 2 +3 x 3 =0 ,5 x 1 3 x 2 2 x 3 =1 则此方程组 。(a)有唯一解(b)有无穷多解(c)无解(d)有基础解系你选择的答案：未选择错误正确答案：a解答参考：4.设n维向量组1,2,s,若任一维向量都可由这个向量组线性表出,必须有。(a)s= n(b)s n(d)sn你选择的答案：未选择错误正确答案：d解答参考：5. 设 1 , 2 , 3 ,

9、都是4维列向量，且4阶行列式 | 1 , 2 , 3 , |=a ， | , 1 , 2 , 3 |=b ，则4阶行列式 | 1 , 2 , 3 ,+ |=(a)a+b(b)ab(c)ab(d)ba你选择的答案：未选择错误正确答案：c解答参考：6. 设 b,c 为4阶矩阵， a=bc , r(b)=4 , r(c)=2 ，且 1 , 2 , 3 是线性方程组 ax=0 的解，则它们是(a)基础解系(b)线性相关的(c)线性无关的(d)a,b,c都不对你选择的答案：未选择错误正确答案：b解答参考：7. 设 n维列向量 = ( 1 2 ,0,0, 1 2 ) t ，矩阵 a=i t ， b=i+2

10、 t ，则 ab=(a)0(b)i(c)i(d)i+ t你选择的答案：未选择错误正确答案：c解答参考：8.(a)(b)(c)(d)你选择的答案：未选择错误正确答案：d解答参考：二、判断题(判断正误，共道小题）9.设 a,b 是同阶方阵，则 ab=ba 。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法错误解答参考：10.n维向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关，则 2 , 3 , 4 线性无关。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法错误解答参考：11.若方程组 ax=0 有非零解，则方程组 ax=b 一定有无穷多解。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法错误解答参考：12.若 a,b 均为 n阶

11、方阵，则当 | a | b | 时， a,b 一定不相似。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法正确解答参考：相似矩阵行列式值相同13.设 a是 mn 阶矩阵且线性方程组 ax=b 有惟一解，则 mn 。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法正确解答参考：(注意:若有主观题目，请按照题目,离线完成,完成后纸质上交学习中心，记录成绩。在线只需提交客观题答案。）三、主观题(共道小题)14.设 a是 mn 矩阵, b是 pm 矩阵，则 a t b t 是 阶矩阵。参考答案：atbt是np阶矩阵。15.由m个n维向量组成的向量组，当mn时，向量组一定线性相关。参考答案：mn时向量组一定线性相关16.参

12、考答案：a=6(r(a)=2|a|=0)17._。参考答案：(1234)t+k(2024)t。因为r(a)=3，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为2+321，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。18.时方程组有唯一解。参考答案：当a=2时方程组无解，当a=1时方程组有无穷多个解，当a1,2时方程组有唯一解。19.参考答案：2420.参考答案：t=621.参考答案：22.参考答案：23.参考答案：24.已知方阵(1)求a,b的值；(2)求可逆矩阵p及对角矩阵d,使得参考答案：25.参考答案：本次作业是本门课程本学期的第次作业,注释如下:一、单项选择题(只有一个

13、选项正确,共8道小题)1.下列矩阵中，不是初等矩阵。(a)(b)(c)(d)你选择的答案：未选择错误正确答案：b解答参考：初等矩阵一定是可逆的。2.则。(a)(b)(c)(d)你选择的答案：未选择错误正确答案：d解答参考：a错误，因为mn，不能保证r(a)=r(a|b)；b错误，ax=0的基础解系含有nr(a)个解向量；c错误，因为有可能r(a)=nr(a|b)=n+1,ax=b无解；d正确，因为r(a)=n。3.a、b为n阶方阵,且a、b等价,|a|=0，则r(b)。(a)小于n(b)等于n(c)小于等于n(d)大于等于n你选择的答案：未选择错误正确答案：a解答参考：4.若a为5阶方阵且|a

14、|=2，则|2a|=。(a)4(b)4(c)64(d)64你选择的答案：未选择错误正确答案：c解答参考：5. 线性方程组 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = b m 的系数矩阵为 a,增广矩阵为 a ,则它有无穷多个解的充要条件为 。(a)r(a)=r(a)n(b)r(a)=r(a)m(c)r(a)r(a)1) 线性相关的充要条件是(a)有两个向量的对应坐标成比例(b)含有零向量(c)有一个向量是其余向量的线性组合

15、(d)每一个向量都是其余向量的线性组合你选择的答案：未选择错误正确答案：c解答参考：7. 设3阶矩阵 a的特征值为 1 , 1 , 2 ，则下列矩阵中可逆矩阵是(a)ea(b)e+a(c)2ea(d)2e+a你选择的答案：未选择错误正确答案：d解答参考：8. 设 1 , 2 , 3 是齐次方程组 ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 ax=0 的基础解系的是(a)1+2,2+3,1+22+3(b)1+2,2+3,31(c)1+2,2+3,3+1(d)12,0,23你选择的答案：未选择错误正确答案：c解答参考：二、判断题(判断正误,共道小题）9.如果行列式有两行元素完全相同，则行列式为零

16、。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法正确解答参考：10.a,b 是同阶方阵，且 | ab |0 ，则 ( ab ) 1 = b 1 a 1 。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法正确解答参考：11.a 是 n阶方阵， r ，则有 | a |=| | a | 。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法错误解答参考：|a|=n|a|12.设 a是一个 n阶方阵且方程组 ax=0 有非零解，则 |a|=0 。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法正确解答参考：13.设 a是 n阶方阵( n2 ), r ,则 | a |=| a | 。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法错误解答参考：14.若向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关，则 1 , 2 , 3 也线性相关。你选择的答案：未选择错误正确答案：说法错误解答参考：(注意：若有主观题目,请按照题目，离线完成,完成后纸质上交学习中心,记录成绩。在线只需提交客观题答案。)三、主观题(共3道小题)15.| 0