线性代数习题集全

1第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1下列排列是5阶偶排列的是A24315B14325C41523D243512如果阶排列的逆序数是,则排列的逆序数是NNJ21K12JNABCDKKN3阶行列式的展开式中含的项共有项N12AA0BCDN2N1N401A0BCD211501A0BCD2116在函数中项的系数是10323XXFA0BCD227若，则213231AD321312AADA4BC2D48若，则A2121KABCDKAAK2AK29已知4阶行列式中第1行元依次是,第3行元的余子式依次为104,则X152A0BCD2310若，则中第一行元的代数余子式的和为573411268DDABCD3011若，则中第四行元的余子式的和为235010DDABCD3012等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组有非零解K321XKABCD1230二、填空题1阶排列的逆序数是N12324N32在六阶行列式中项所带的符号是26135432AA3四阶行列式中包含且带正号的项是4若一个阶行列式中至少有个元素等于,则这个行列式的值等于N2N05行列式016行列式0012NN7行列式011221NNAA8如果，则MD32311323121AAD9已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为10行列式11XX411阶行列式N1112已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为13设行列式，为D中第四行元的代数余子56781234DJA44,321式，则43421A14已知，D中第四列元的代数余子式的和为DBCAD15设行列式，为的代数余子式，则6217543JA44,321JA，421A43A16已知行列式，D中第一行元的代数余子式的和为NND01215517齐次线性方程组仅有零解的充要条件是02312XK18若齐次线性方程组有非零解，则2531KXK三、计算题12；CBADCADBB33332222YXY3解方程；4；010X11321221NNAAXAXA5；NAA1210NJJ,10,66BNB1123117；8NABA3212111XAXAAN321219102212211NNNXX2101011AAAD100010四、证明题71设，证明1ABCD01122DDCCBBAA233221133322111CBAXCBXA3114422DCBADBCADCABDCBA4NJIININNAAAA1212215设两两不等，证明的充要条件是CBA,0133CBA0CBA参考答案8一单项选择题ADACCDABCDBB二填空题1234567N”“43124A01N89101112121NNAM64X213141516171809,1NK3,2K7K三计算题1；2；CDBCADCABDCA3YX34,02X1NKKAX561100NKNKAA22BNB78NKKB1KKNAXX1910NKX11142A四证明题略9第二章矩阵一、单项选择题1A、B为N阶方阵，则下列各式中成立的是。ABCD22BABAB2T2设方阵A、B、C满足ABAC,当A满足时，BC。AABBABC方程组AX0有非零解DB、C可逆03若为N阶方阵，为非零常数，则。KKABCDAKAAKNAKN4设为N阶方阵，且，则。0A中两行列对应元素成比例B中任意一行为其它行的线性组合C中至少有一行元素全为零D中必有一行为其它行的线性组合AA5设，为N阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是。BAB11BTCDBT116设为N阶方阵,为的伴随矩阵,则。AAAABCD11NA1NA7设为3阶方阵,行列式,为的伴随矩阵,则行列式。12AABCD872788272788设，为N阶方矩阵,则下列各式成立的是。BBA10ABCDBABBA2BA9设，均为N阶方矩阵,则必有。ABCD210设为阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）。（A）BTA212ACD11TTT11如果，则（）。332312213231AAAA（A）BCD001013012已知，则（）。132A（A）BT1A（C）（D）1320101320013设为同阶方阵，为单位矩阵，若，则（）。ICBA,IIABC（A）（B）（C）（D）ABIA14设为阶方阵，且，则（）。N0|（A）经列初等变换可变为单位阵I（B）由，可得AX（C）当经有限次初等变换变为时，有|I|BBA1（D）以上（A）、（B）、（C）都不对1115设为阶矩阵，秩，则（）。ANMNMRA（A）中阶子式不全为零（B）中阶数小于的子式全为零RAR（C）经行初等变换可化为（D）为满秩矩阵0RI16设为矩阵，为阶可逆矩阵，则。ANCNCBA秩秩B秩秩BAC秩秩B秩秩BC秩1）A与B，都有2A（B）14若向量组与等价，则（B）S,21T,21TS15若齐次线性方程组AXO存在基础解系，则方程组AXB（B0）有无穷多解B16若同阶矩阵A与B的秩相等，则A可经过有限次的初等变换化成B（A）17若是方阵A的特征值，则是的特征值（其中为自然数）（A）NN本题得分9218若N阶方阵A相似于对角矩阵，则A有N个互异特征值（B）19设与是A的任意两个特征向量，则也是其特征向量1X221X（B）20若A为正交矩阵，则（A）1三、填空题（共10小题，每题2分，共计20分）答题要求请将最终答案直接填在题中横线上21设A为三阶矩阵，且，则542A322，则1011E23设矩阵A可逆，则其伴随矩阵可逆，且AA124如果阶矩阵A的行向量组线性无关，则齐次线性方程组AXO54的基础解系中含有个向量125若向量组中含有零向量，则此向量组线性相关26若与正交，则TK4,21T2,321K27设A为正交矩阵，则1AT28设三阶矩阵A的特征值为2、1、4，则8A29已知5是方阵A的特征值，则A2E一定有一个特征值730设为非齐次线性方程组AXB的一组解，如果S,21本题得分93也是该方程组的一个解，则SCC211SICS1计算题一（共2小题，每题8分，共16分）答题要求写出文字说明和主要验算步骤1计算四阶行列式210543解6410326410321354210543360253022解矩阵方程，其中，BXAE10A35021B解21010本题得分941231023130114011510,XBAES2计算题二（共3小题，每题10分，共30分）答题要求写出文字说明和主要验算步骤1给定向量组，T1,1T1,2T3,13，求该向量组的秩，并确定一个极大无关组，将其余T,4向量用该极大无关组线性表示。解0120101100102011314321所以，是一个极大无关组，且3421R421,2132用其导出组的基础解系表示下面方程组的全部解本题得分951230431431XX00153100152151022A为24315XX令，得线性方程组的一个特解02T0,10其导出组的一般解为24315XX令分别为42X0,得导出组的基础解系为1503,21所以，方程组的全部解为（）210C为21,C3已知的特征值为1,2，5，求正交矩阵，使得1203APA1为对角矩阵。96解当时，由，得基础解系为1OXAETP1,21当时，由，得基础解系为2,2当时，由，得基础解系为53T3不难验证是正交向量组，把单位化，得321,P21,P5,21,3/2,3/13/2,/1/,/12321DIAGAPPPTT为为S3证明题（共1小题，共计4分）答题要求应写出文字说明1已知N维向量线性无关，则向量组线321,1321,性无关。证明OKKK133221整理得213线性无关21,0321K解得321本题得分97所以，向量组线性无关。1321,第三部分近六年考研试题一、单项选择题120063若均为N维列向量，是矩阵，下列选项正确的是SA,21ANMA若线性相关，则线性相关,SA,21B若线性相关，则线性无关S21C若线性无关，则线性相关,S,21D若线性无关，则线性无关ASA220063、4设为3的阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的1AAB倍加到第2列得，记，则C10PABCDB1CPTCTAP320073、4设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是123,AB123,1231,CDA1,2420073、4设矩阵，则与2A0BABA合同，且相似B合同，但不相似98C不合同，但相似D不合同，也不相似B520083设A为N阶非零矩阵，E为N阶单位矩阵，若，则03AA不可逆，不可逆B不可逆，可逆EC可逆，可逆D可逆，不可逆C620083设，则在实数域上与A合同的矩阵为12ABCDD12112720093设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，,AB,AB,A3B则分块矩阵的伴随矩阵为OABCDB3232O23O820093设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且若,APTP102TPA，则为123,123,QTQABCDA00012102920103设向量组I可由向量组II线性表出下列命题正确的12,R1,S是A若向量组I线性无关，则B若向量组I线性相关，则SRSC若向量组II线性无关，则D若向量组II线性相关，则A1020103设为4阶实对称矩阵，且若的秩为3，则相似于A2AOABCDD101010101120113设A为3阶方阵，将A的第2列加到第一列得到矩阵B，再交换B的第二行与99第三行得单位矩阵，记，则A12010,PPABCDD122112P1220113设A为43矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，13,AX为任意常数，则的通解为1,KXAB23122312KCDC231K31二、填空题120063、4已知为2维列向量，矩阵，若1,A2121,AA），（21AB行列式2BA，则6|220064设矩阵，E为2阶单位矩阵，矩阵满足矩阵，则EAB1320073、4设矩阵，则的秩为01A3A1420083设3阶矩阵A的特征值是1,2,2，E为3阶单位矩阵，则_3_EA14520093设。若矩阵相似于，则1,T,0TKT0K2620103设，为3阶矩阵，且，则AB|3A|2B1|1|AB3720113设二次型的秩为1，A的各行元素之和为3，则在正交变123,TFXXF100换下的标准形为XQY213Y三、解答题120063、4设4维向量组,，TA11TA2,2TA3,3，问为何值时，线性相关当线性相关TAA,44341时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出220063、4设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量A,2,1TA是线性方程组的两个解TA1,020XI求的特征值与特征向量；II求正交矩阵和对角矩阵，使得；AQAQTIII求及，其中为3阶单位矩阵623E320073、4设线性方程组与方程有公共1231204XAX11231XA2解，求的值及所有公共解A420073、4设3阶实对称矩阵的特征值，且A123是的属于的一个特征向量，记，其中为阶单1,TA1534BE位矩阵I验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；II求矩阵1BB520083设元线性方程，NBX其中，NAAA2122NX210BI证明行列式；II当为何值时，该方程组有唯一解，并求；N1XIII当为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解A101620083设A为3阶矩阵，为A的分别属于特征值1，1的特征向量，向量12,3满足，（）证明线性无关；（）令，求323,12,P1P720093设，10421I求满足，的所有向量；21A3123,II对（I）中的任意向量，证明，线性无关2,1820093设二次型22133123FXA