哈工大理力习题及习题答案

1理论力学（I）第六版哈尔滨工业大学理论力学教研室2第二章平面汇交力系与平面力偶系21铆接薄板在孔心A、B和C处受三力作用，如题21图（A）所示。F1100N，沿铅直方向；F350N，沿水平方向，并通过点A；F250N，力的作用线也通过点A，尺寸如题21图A所示。求此力系的合力。解法一几何法。应用力的多边形法，将力F1、F2和F3首尾相接后，再从F1的起点至F3的终点连一直线，此封闭边便是三力的合力FR，如题21图（B）所示。根据预先选好的比例尺，利用直尺和量角器便可确定合力FR的大小和方向。解法二解析法。合力的矢量表达式为JFIJIYXRYXR即合力在X轴和Y轴上的投影，分别等于力系各力在同一坐标轴上投影的代数和，所以有FNXRX805806502321FFYYRX141232所以，合力的大小为NRYXR2160822合力FR与X轴的夹角为4ARCOSCSRXFAR23物体重P20KN，用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在铰车D上，如题23图（A）所示。转动铰车，物体便能升起。设滑轮的大小、AB与CB杆自重及磨擦略去不计，A、B、C三处均为铰链连接。当物体处于平衡状态时，试求拉杆AB和支杆CB处受的力。3解这是一个平面汇交力系的平衡问题。选取滑轮B为研究对象，并作B点的受力图，如题23图（B）所示。由平衡方程，有0,YXF（1）03SINCOTBCA（2）3SINP因忽略了滑轮B的磨擦，所以PT，将P、T的数值代入（2）式，得KNFBC647将T和FBC的数值代入（1）式，得KNFBA645所以拉杆AB和CB分别受拉力5464KN和压力7464KN。25在题25图（A）所示刚架的点B作用一水平力F，刚架重量略去不计。求支座A、D的约束力DAF和解法一解析法。解除刚架的支座约束，作受力图如题25图B所示。利用平面汇交力系平衡方程可得,0,YXF0512ADF4由以上二方程可解得FFDA21,5解法二作平衡状态下力的封闭三角形，如题25图（B）所示。因力三角形与ABC相似，所以有25,FBCAFAD210如题210图A所示，刚架上作用力F。试分别计算力F对点A和B的力矩。解根据力对点之矩的基本定义，有，AAFHMBBFH其中，力臂、由题210图（B）可知AHBCOSSINCOBADEBCHA所以COSSINBAFMBA213在题213图A所示结构中，各构件的自重略去不计。在构件AB上作用一力偶矩为M的力偶，求支座A和C的约束力。解分别取曲杆AB和BC为研究对象，并作它们的受力图如题213图（B）、（C）所示。在题213图（C）中，5因曲杆BC为二力构件，所以B、C两点的约束反力方向已知，和大小相等，方向相反，与水平线的夹角为BFC45，在题213图（B）中，根据作用与反作用定律，B处的约束反力与大小相等，方向相反。又因为力B偶矩M只能用力偶矩平衡，所以可知A处的约束反力必与大小相等，方向相反。根据平衡方程A02,0MAFB可得AFB2所以支座A和C的约束反力均为AM2216在题216图A所示结构中，各构件的自重略去不计，在构件BC上作用一力偶矩为M的力偶，各尺寸如题216图A所示。求支座A的约束力。解分别取T形构件ACD和曲杆BC为研究对象，并作它们的受力图如题216图（B）、（C）所示。0,CBLFM解上式可得LC对题216图（B）列平衡方程，并注意到，有CF045COS,0CAXF由上式可得（45）LM2S所以支座A的约束反力为LM26第三章平面任意力系326337367310831393181032图示（见题32图（A）平面任意力系中，NF240180）。各力作用位置如图所示。求（1）力系向点O简化的结果；MMNF2,10,43（2）力系的合力的大小、方向及合力作用线方程。解（1）力系向O点简化的结果。主矢FR在X、Y坐标轴上的投影分量分别为NFFROS214IN31RY主矢的大小为NFYXR1505022因，所以主矢的方向是沿X轴，主矩为0RYFMNMMFMR902013458342力系向O点简化的结果被表示在题32图（B）中。（2）力系的合力的大小、方向及合力作用线方程。7力系的合力的大小和方向为INJFIRYXR150由9YXMFRO得合力作用线方程Y6MM如题32图（C）所示。33如题33图所示，当飞机作稳定航行时，所有作用在它上面的力必须相互平衡，已知飞机的重量为P30KN，螺旋桨的牵引力F4KN。飞机的尺寸A02M,B01M,C005M,L5M。求阻力、机翼升力和尾部XF1Y的升力2Y解由平衡方程0,FXX得KNFX4由,02BAPLCMYXOKNALBPY26912054342由0,021YYYFPF得KN73869321所以，阻力，机翼升力，尾部升力。KNX4Y1KNFY269136无重水平梁的支承和载荷如题36图A、B所示。已知力F、力偶矩为M的力偶和强度为Q的均布载荷。求支座A和B处的约束力。8解（A）解除支座约束，作受力图如题36图（A1）所示。根据平衡方程023,0,BABYYXXAFMF可解得支座A和B处的约束反力21,21,0AAFRYX（B）解除支座约束，作受力图如题36图（B1）所示，根据平衡方程,AXX00FAQBYY321,2AMA可解得支座A和B处的约束反力2213215,0QAAFBYX310水平梁AB由铰链A和杆BC所支持，如题310图（A）所示。在梁上D处用销子安装半径为R01M的滑轮。有一跨过滑轮的绳子，其一端水平地系于端上，另一端悬挂有重P1800N的重物，如AD02M,BD04M,450，且不计梁、杆、滑轮和绳的重量。求铰链A和杆BC对梁的约束力。解取AB梁为研究对象，作受力图如题310图（B）所示。由平衡方程031045SIN6,0PFMBA得NP584I2I由平衡方程6,AYBF得（）FAY1206060139由平衡方程045COS,0BAXXFTF得NPBAX8145COS）（2所以，铰链A和杆BC对梁的约束力分别为NBYX54,20,20313由AC和CD构成的组合梁通过铰链C连接。它的支承和受力如题313图A所示。已知均布载荷强度Q10KN/M，力偶矩M40KNM，不计梁重。求支座A，B，D的约束力和铰链C处所受的力。解分别取梁ABC和CD为研究对象，并作它们的受力图如题313图（B）、（C）所示。首先根据题313图（C）的平衡方程0240QMFDC，XX，DCYY，可解得）（KNQFD154020CX）（）（KQDY2再对题313图（B）列平衡方程，有04320CYBAYYXXFQMF，10解以上三式得）（）（KNFQFKCYBAYY1502424516所以，支座A处的约束反力为；支座B处的约束反力为；支座D处的约FAYAX，KNFB40束反力为。铰链C处的约束反力为。KND15KCYX0，318如题318图A所示，三铰拱由两半拱和三个铰链A、B、C构成，已知每半拱重P300KN,L32M,H10M，求支座A，B的约束力。解分别取三铰拱整体和其右半部分为研究对象，并作它们的受力图如题318图（B）、（C）所示。对题318图（B）列平衡方程，有（1）00BXAXF，（2）2PYY，（3）87LLMAB，对题318图（C）列平衡方程，有（4）0210PLHFLBXBYC，解（3）式，得）（KNLLFAY387代入（2）式，得）（PPAYBY0211将值代入（4）式，得BYF）（KNKNHPLLFHBYBX1201083283由（1）式知FBXA所以A支座的约束反力为，B支座的约束反力为KFKAYA30，。NKFBYBX3020，12第四章空间力系4612471241714418174241746水平圆盘的半径为R,外缘C处作用有已知力F。力F位于铅垂平面内，且与C处圆盘切线夹角为600，其他尺寸如题46图所示。求力F对X,Y,Z轴之矩。解力F的矢量表达式为23416SIN30I6COS06COSKJIKJI坐标原点O至F力作用线上任一点C的位置矢量为HKJIRC力F对0点之矩为KMJIFRKJHRHFHKJIKJIFHJIRMZYXOCO21434123234123所以，力F对、轴之矩分别为XYZRRHRHMZYX21,43,447题47图A所示空间构架由三根无重直杆组成，在D端用球铰链连接，如图所示。A，B和C端则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在D端的物重P10KN，求铰链A、B和C的约束力。13解法一解除A、B、C处约束，作受力图如题47图（B）所示，这是一个空间汇交力系问题，设OD长度为L，则根据题47图B所示几何关系，可确定A、B、C、D点的半径位置如题47图B所示。于是，各约束反力及P的矢量表达式为KJIFA22222213131315606470KJIAKJIFB2222221313131KJIB5606470KJFC22508181KJ509PK由平衡方程0,PFFCBA得025803650914627CBA12314将P10KN代入（3）式，联立（1）、（2）、（3）式求解，可得铰链，A、B、C的约束力为46392拉压KNFC解法二对受力图（题47图（B）列平衡方程015SIN30SI45N30SI45N,0COCCO,PFFFCBAXYX将以上方程联立求解，可得出与解法一同样的结果。417如题417图A所示，均质长方形薄板重P200N,用球铰链A和蝶铰链B固定在墙上，并用绳子CE维持在水平位置，求绳子的拉力和支座约束力。解法一解除铰链A和B处约束，作受力图如题417图（B）所示，将已知力和约束力用矢量表示为KJIFKJIPIKFJCEBZBXAXYA214330SIN6I30COS60COS,设，则A点至力作用线上的C点的位置矢量为CEFJIRAC231A点至力、作用线上的B点位置矢量为BXZJABA点至力P作用线上的E点的位置矢量为JIRAE431根据平衡方程1502143,0KJIFFIKIPCEBXAZYAXCEZZYX有021430CEBZAYCEBXAF再根据平衡方程0,PMFMABZABXAEA其中（1）（2）（3）16NFNFFJIKJIPRMIFJFKIRJIFKJIKJIJIFRMCEBZBXAZAYACEBXBZCEAEBZBZBZBZXXXAXCECEECEACEA20,60158140230354524313341321430212143231式可解得联立有所以，绳子的拉力为200N，球铰链A的约束力为,1,5,68ZXZAYAXNF解法二可以直接利用平衡方程的标量形式求解。仍设1，则A，平衡方程为21,23EDB03SIN,0CO0IBZCEAZZYYBXXFPF231I23,BXXPM1703SIN21,0CEYFPF3,BXZM418题418图A所示六杆支撑一水平板，在板角处受铅直力F作用，设板和杆自重不计，求各杆的内力。解若力的作用线与某轴平行或相交，则此力对该轴之矩为零，利用这一原理，可使本题解算简化。取平板为研究对象，作受力图如题418图B所示。根据平衡条件，有0,264FMCHAEDG,1,555131压拉压，FADB424均质块尺寸如题424图所示，求其重心的位置。解因是均质物块，所以应用重心公式时，可用体积代替重量。各小物块体积及其重心坐标为MZYMXVZYXM5,20,616430,985,0,1243233322113所以，均质物块的重心为18MMVXXIC7211609402MMVYYIC694023020164MMVZZIC6233205161519第六章点的运动学61196619672061题61图所示曲线规尺的各杆，长为OAAB200MM,CDDEACAE50MM。如杆OA以等角速度RAD/S绕O轴转动，并且当运动开始时，杆OA水平向右，求5尺上点D的运动方程和轨迹。解坐标系如题61图所示。设点D的坐标分别为XD和YD,由题61图所示几何关系,有SIN10SI2SINCOCACY将代入上式，得点D的运动方程为TTTYXD5SIN10SICOC分别将以上两式等号两边平方后相加，消去时间参数T，得1SINCO2022TTYX点D的轨迹方程为一椭圆方程122DYX66如题66图所示，偏心凸轮半径为R，绕O轴转动，转角，偏心距OCE，凸轮带动为常量T顶杆AB沿铅垂直线作往复运动。求顶杆的运动方程和速度。解建立如题66图所示坐标系，由图示几何关系可得22COS,SINEADEO点A的运动方程也即顶杆AB的运动方程为TERTEYX22CSSI0其速度为COS2INCO2TETDTVA20速度方向为沿Y轴方向。67题67图示摇杆滑道机构中的滑块M同时在固定的圆弧槽BC和摇杆OA的滑道中滑动。如弧BC的半径为R，摇杆OA的轴O在弧BC的圆周上，摇杆绕O轴以等直角速度转动，当运动开始时，摇杆在水平位置，分别用直角坐标法和自然法给出点M的运动方程，并求其速度和加速度。解法一直角坐标法建立如题67图所示坐标系，由图示几何关系可知，故COS2ROM点M的运动方程为2SINCOSIN2SI1COTROX速度为TTDTXVSIY2CO2SINRVYX2加速度为2224SIN4COSCOINRATRTDTVYXYX解法二点M的运动方程为TRS2点M的速度为DTV点M的加速度为CDTVARRVATN,42222TN21第七章刚体的简单运动71217321752271题71图所示曲柄滑杆机构中，滑杆上有一圆弧形滑道，其半径R100MM，圆心O1在导杆BC上。曲柄长OA100MM，以等角速度4RAD/S绕O轴转动。求导杆BC的运动规律以及当曲柄与水平线间的交角为300时，导杆BC的速度和加速度。解以O为原点建立OXY坐标系，如题71图所示。由图示几何关系可得O1点坐标04COS20CS2OSCS2YTTRAX因导杆BC沿X轴方向作平动，故点O1的运动规律就代表了导杆BC的运动规律。导杆BC的速度和加速度分别为TTRDTXAV4COS23COS2IN80I当时，导杆BC的速度和加速度分别为304TSMSV/4/IN822/71361CO2SA73已知搅拌机的主动齿轮O1以N950R/MIN的转速转动。搅拌ABC用销钉A、B与齿轮O2，O3相连，如题73图所示。且ABO2O3，O3AO2B025M，各齿轮齿数为Z120，Z250，Z350。求搅杆端点C的速度和轨迹。解设齿轮O2和O3的转速分别为N2和N2，则有MIN/380I/509312RRZNZ所以齿轮O2和O3的旋转角速度相同SRAD/6232因此可以判断搅杆ABC做手动，搅杆的端点C和点A、点B有相同的速度和轨迹。点C和点A的速度为SSAVC/948/508322点C的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，并且MC250AOC3/75如题75图所示，曲柄CB以等角速度0绕C轴转动，其转动方程为。滑块B带动摇杆OA绕T0轴O转动。设OCH,CBR。求摇杆的转动方程。解由题75图所示几何关系有SINIRBDCOHCOSITANR因此摇杆OA的转动方程是TRH0COS/INAT23第八章点的合成运动8172581926821268262786车床主轴的转速N30R/MIN，工件的直径D40MM，如题86图A所示。如车刀横向走刀速度为V10MM/S，求车刀对工件的相对速度。解选择工件为动系，车刀与工件的接触点M为动点，动点的速度方向如题86图（B）所示，并满足关系已知SMSNVE/20/46032VA1所以车刀对工件的相对速度SSVAER/623/0422和水平方向的夹角RV9680231ARCOSARCSV87在题87图A和B所示的两种机构中，已知O1O2A200MM,13RAD/S。求图示位置时杆O2A的角速度。解法一对题87图（A）情况，选取杆O2A为动系，动点A的相对速度为VR，牵连速度为VE，如题87图（A）所示。REASMSAV/60IN/231由题87图（A）所示几何关系得0COSEV所以杆O2A的角速度SRADSRAE/51/2063CS212对题87图（B）情况，选取杆O1A为动系，动点A的速度矢量如题87图（B）所示。由题87图（B）的几何关系可知30COS,AEREAVV24设杆O2A的角速度为，由得2AOVE1SRADVA/2/2330COS230CO0COS211212解法二选杆O2A为动系，以O2为原点，点A为动点，建立题87图（C）所示坐标系XO2Y，用解析法求解。由题87图（C）所示几何关系有OS2AA22COSS,INIAYXA将上二式对时间T求一阶导数，得2SINDTATDYXA当时，有30DTATXVATTYA3在题87图（C）中，动点A的速度YAXVDTATDTAYX2322因，所以，杆O2A的角速度TOVA211,SRADSRADTA/51/32用类似的方法，也可求出题87图（B）杆O2A的角速度。2810平底顶杆凸轮机构如题810图A所示，顶25杆AB可沿导槽上下移动，偏心圆盘绕轴O转动，轴O位于顶杆轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面，该凸轮半径为R，偏心距OCE，凸轮绕轴O转动的角速度为，OC与水平线成夹角。求当时，顶杆的0速度。解法一解析法。顶杆AB作上下平动，所以顶杆AB上所有点的运动规律都相同。建立如题810图（A）所示坐标系OXY，凸轮与顶杆底平面接触点的Y轴坐标RTEESINSI所以接触点在Y方向上的速度TEDTYVCOS当时，顶杆AB的速度与接触点的速度相同，为。0EV解法二选择圆心C为动点，顶杆AB为动系，动点C的速度分析如题810图（B）所示，有ERAV其中COSSEVAE当时，顶杆的速度。0VE此题选择点C为动点，使相对运动轨迹清楚，更有利于解题。817题817图A所示铰接四边形机构中，O1AO2B100MM，又O102AB，杆O1A以等角速度2RAD/S绕轴O1转动，杆AB上有一套筒C，此套筒与CD相铰接。机构的各部件都在同一铅直面内，求当时，杆CD60的速度和加速度。解选取杆AB为动系，点C为动点。因杆AB作平动，所以其上所有的点都和点A和点B有相同的运动规律，速度矢量如题817图（A）所示，并且REAVSMSMOA/10/60CO1260COSCO加速度矢量如题817图（B）所示，并有REA2212/40/4SSMAAE26由几何关系得22/3460/06SIN4SISMSAE所以，CD杆的速度，加速度MVCD/10ACD819如题819图所示，曲柄OA长04M，以等角速度05RAD/S绕O轴逆时针转向转动。由于曲柄的A端推动水平板B，而使滑杆C沿铅直方向上升。求当曲柄与水平线间的夹角30O时，滑杆C的速度和加速度。解选择滑杆C为动系，点A为动点，速度与加速度矢量如题819图所示，并有ERNERAAV,由几何关系得2220/5/14513SINSI/7323COSCSSMOAAAVAEAAE所以，当曲柄OA与水平线间的夹角时，滑杆C的速度，加速度30SMVE/173202/05SMAEC821半径为R的半圆形凸轮D以等速VO沿水平线向右运动，带动从动杆AB沿铅直方向上升，如题821图A所示。求时杆AB相对于凸轮的速度和加速度。3解选择凸轮D为动系，凸轮D与动杆AB的接触点A为动点，速度矢量如题821图（A）所示，并有REAV将上式分别向水平方向和铅直方向投影，得SIN,COS0RAREVV当并注意到由上式可解出,30,0VE270031232VVVRAEER因动杆AB作平动，所以动杆AB上的A点相对凸轮D的速度即是动杆AB相对于凸轮的速度。R动点A的加速度矢量如题821图B所示，并有ETRNAA其中RVADTVARNE34,020将上式分别向水平方向和竖直方向投影，得,SINCO,COSSIN0TRNRATRRA当时，由上式可解出3RVRVRA2020938CS34S因动杆AB作平动，所以动点A的绝对加速度就是动杆AB相对于凸轮的加速度。A826题826图A所示直角曲杆OBC绕O轴转动，使套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动，已知OB01M,OB与BC垂直，曲杆的角速度05RAD/S,角速度为零，求当时，小环M的速度和加速度。60解法一取直角曲杆为动系，小环M为动点，其速度矢量如题826图A所示，并有REAV将上式分别向水平和竖直方向投影，得COS0,SINRERAV当时，由以上两式解出628SMSVSMOBMVVRAEER/17320/206IN/152COS2CO小环M的加速。VA小环M的加速度矢量如题826图（B）所示，并有CRNEA将上式向垂直于的方向投影，得RACOSCS当时602222/0/55SMSVAORCNE所以小环M的加速度22/350/506COSSACNE解法二建立以O为原点的坐标系OXY，如题826图A所示，由图示几何关系，得点M的坐标为,COSMYBX对时间T求一阶导数，得点M的速度SRADDTVTVYX/500,INC2式中当时，小环M的速度6SMSMVXM/17320/3106SIN50CO将对时间T求二阶导数，得2232COSTANCOS1DTDOBDTXAM当时，小环M的加速度60292223/50/506COS10TAN560COS1MSMAM30第九章刚体的平面运动91309530963098319193291椭圆规尺AB由曲柄OC带动，曲柄以角速度O绕O轴匀速转动，如题91图所示。如OCBCACR，并取C为基点，求椭圆规尺AB的平面运动方程。解以点C为基点，分析杆AB的平面运动，在题91图所示坐标系中，点C的坐标为SIN,CORYRX故杆AB的转角，于是杆AB的平面运动方程为T0TRYTRX00,SI,CS95如题95图所示，在筛动机构中，筛子的摆动是由曲柄连杆机构所带动，已知曲柄OA的转速NOA40R/MIN,OA03M,当筛子BC运动到与点O在同一水平线上时，BAO90O。求此瞬时筛子BC的速度。解法一速度瞬心法。因筛子BC的平动，故其上任何一点的速度大小和方向都相同，点B的速度和瞬心P如题95图所示。图中是一等边三角形，并且有BPOAP故AOVPAB而PVBA2其中34602ON所以筛子BC的速度为SMSVB/5132/8解法二速度投影法在题95图中，点A和点B的速度应满足速度投影定理，即60COSBAV所以，筛子BC的速度为MSSMOVAB/5132/80/342296四连杆机构中，连杆AB上固连一块三角板ABD，如题96图所示。机构由曲31柄O1A带动。已知曲柄的角速度；曲柄O1A01M，水平距离O1O2005M，AD005M，当SRADAO/21O1AO1O2时，AB平行于O1O2，且AD与AO1在同一直线上；角。求三角板ABD的角速度和点D的速30度。解此题用速度瞬心法求解最为简便、直观。延长，相交于点P，点P便是三角板ADB的速度瞬心。由图示几何关系，可得21B、3053TAN211OPOMA1861SMVO/20/21三角板的角速度SRADRADPVA/7186点D的速度MSD/2540/072198题98图示机构中，已知OA01M，BD01M，DE01M，EFM，曲柄OA的角速度4RAD/S。在3图示位置时，曲柄OA与水平线OB垂直；且B、D和F的同一铅直线上，又DE垂直于EF。求杆EF的角速度和点F的速度。解此题是应用速度瞬心法求解的典型，同时也可用速度基点法。在结构的复杂几何关系中，准确地确定某一构件的速度瞬心是解本题的关键。首先，杆AB作瞬时平动，杆BC的瞬心为点D，所以，于是有BAVSRADCOADVBC/4/104其次，三角板CDE的瞬心为点D，于是有BCEDV,故有SMEE/40/14最后研究杆EF。点F的速度矢量如题98图所示。FEEFVVSIN,COS由已知，可确定，所以点F的速度MD310,3032SMSVF/46190/380FE/21杆EF的角速度SRADSRADSREVF/31/4/3104919在题919图示机构中，曲柄OA长为R，绕O轴以等角速度O转动，AB6R,BCR，求图示位置时，3滑块C的速度和加速度。解滑块C的速度，用基点法和速度投影法都可解出，但是对本题而言，求得更多运动参数，例如角速度，可为以后的加速度分析做准备，所以用基点法（速度投影法不能直接解出角速度），这是在解题方法选择上要注意的问题。速度分析如题919图（A）所示，点B的速度为BABV因，所以RORVOAB360TANVA25SI杆AB的角速度362OBARV点C的速度CBVROB230COSVVBBC1IN杆BC的角速度632OCBR加速度分析如题919图（B）所示。对于杆AB，以点A为基点，点B的加速度NBATABAA33将上式向AB轴方向上投影，得NBAABAA30SI30SIN将代入上式，得RROBOA222236,AB231对于杆BC，再以点B为基点，点C的加速度NCTBCA将上式向BC轴方向上投影，得NBBA30COS将代入上式得RAROOCNO222136,1RAOC213所以滑块C的速度，加速度。RVO3AC2在解题过程中，将加速度关系式向某方向投影时，应尽量使投影后的方程中不出现未知量，即向与未知量矢量垂直的方向投影，这样可使解题方便。34第十章质点动力学的基本方程10334101034101235103半径为R的偏心轮绕轴O以匀角速度转动，推动导板沿铅直轨道运动，如题103图A所示。导板顶部放有一质量为M的物块A，设偏心距OCE，开始时OC沿水平线。求（1）物块对导板的最大压力；（2）使物块不离开导板的最大值。解题103图（A）所示机构的运动为无常接触，不能选取接触点为动点。现以圆心C为动点，导板为动系，相对运动轨迹清楚，加速度分析如题103图（B）所示，有RECA由图（B）所示几何关系及运动学理论，有TESINSI2物体A受力如题103图（C）所示，由牛顿第二定律，有NFMGA即AGMFN将代入上式，得物体A对导板的压力TESIN2SIN2TEN物体A对导板的最大压力和最小压力分别为,2MIN2MAXEGFGFNN物体A离不开导板的条件是，由上式物体A不离开导板的的最大值0IEGMAX1010一物体质量M10KG,在变力F100（1T）N作用下运动，设物体初速度V002M/S，开始时，力的方向与速度方向相同。问经过多少时间后物体速度为零，此前走了多少路程根据题意，由牛顿第二定律，得A（1）10TA将代入（1）式，有DTVTMV0对上式积分，得（2）051TV将代入（2）式，并分离变量积分，得DTSV35（3）205TTVS把代入（2）式，可得物体速度为零时，需经过的时间TSM/,512TST0240将代入（3）式，求得物体速度为零之前物体走过的路程S2MMS0697355321012物体由高度H处以速度V0水平抛出，如题1012图所示，空气阻力可视为速度的一次方成正比，即FKMV，其中M为物体的质量，V为物体的速度，K为常系数。求物体的运动方程和轨迹。解物体在任意位置上，受力如题1012图所示。由牛顿第二定律得物体沿X、Y轴的运动微分方程为MGDTYKGFDTYMXX22即TTTXKT22,0解上式，得物体的运动方程为1120KTKTEGTKHYEVX，消去时间参数T后，得物体的轨迹方程为002LNVXG36第十一章动量定理1143611737111138114如题114图A所示，水平面上放一均质三棱柱A，在其斜面上又放一块均质三棱柱B。两三棱柱的横截面均为直角三角形。三棱柱A的质量MA为三棱柱B质量MB的三倍，其尺寸如题114图A所示。设各处磨擦不计，初始时系统静止。求当三棱柱B沿三棱柱A滑下接触到水平面时，三棱柱A移动的距离。解法一因A、B组成的质点系，在水平方向不受外力作用，故质心在水平方向作惯性运动。又因起始时系统静止，故在水平方向，系统质心位置守恒。建立坐标系OXY，如题114图（A）所示。设A、B的初始位置坐标为X1，X2，当B沿A滑到水平面时，A、B的坐标为，则初始位置时质心坐标21,XXBACMX1末位置时质心坐标BAACMX212由质心运动守恒定律可知21C因，所以BAM3321XXXBBB整理上式得（1）021X补充运动关系，当B沿A下滑到水平面时，其相对位移为AB，故有（2）12XBAX联立（1）、（2）式求解，得三棱柱A移动的距离41解法二由于两棱柱水平方向不受外力作用，故水平方向动量守恒。因在初始位置时系统动量为0，所以末位置时动量也应为0，即0BXAVM37（3）0DXMTBA由题114图（B）所示运动学关系可得COSRBXV令，连同上式代入（3）式，可得，DTXVRCOS（4）TMBABA对（4）式两边积分，得SBABABADXDX00求解上式，可得三棱柱A移动距离41MSBA综上所述，三棱柱A左移了。BA117题117图（A）所示椭圆规尺AB的质量为2M1,曲柄OC的质量为M1，而滑块A和B的质量均为M2。已知OCACCBL；曲柄和尺的质心分别在其中点上；曲柄绕O轴转动的角速度为常量。当开始时，曲柄水平向右，求此时质点系的动量。解法一质点系的动量等于规尺AB、曲柄OC和滑块A、B这四个物体的动量矢量和，即IP如题117图（B）所示，规尺的速度瞬心为点P。由得。四个物体的动量分OCVCABAB别为TJLMJAVMPBAOS22TILBSN38TILMTJLVMPCABSN2COS2111DO其中，D为曲柄OC的质心。质点系的动量为LVLVCAB2,OCPPITLMTLJTLMTLSN2SIN25COSCOS25121起始位置时，代入上式，得0T21LLP解法二题117图（C）所示为题117图（A）所示机构的起始状态。设想质点系由两部分组成，一部分是曲柄OC，另一部分是规尺AB和滑块A、B。那么质点系的动量等于这两部分的动量矢量和。第一部分曲柄OC的动量为211LMVPD第二部分所组成的质点系，其质心在点C，则其动量为LV221L所以，质点系即机构的动量52121LMP1111在题1111图A所示曲柄滑杆机构中，曲柄以等角速度绕O轴转动。开始时，曲柄OA水平向右。已知曲柄的质量为M1，滑块A的质量为M2，滑杆的质量为M3，曲柄的质心在OA的中点，OAL；滑杆的质心在点C。解（1）机构质量中心的运动方程；（2）作用在轴O的最大水平约束力。解选系统为研究对象，建立直角坐标系OXY，并进行受力分析，如题1111图（B）所示。（1）质心坐标公式（1）MYCXIIC，39其中，曲柄OA的质量为M1，其质心坐标为；滑块A的质量为M2，其质心坐标TLYTLXCCSIN2,COS211为；滑杆CD的质量为M3，其质心坐标为。代入TLYTLXCCSIN,COS220,COS33CCYTLX（1）式得机构质心的运动方程（2）TLMMLXCCOS22321321321（3）TLYYCCSIN23213（2）在水平方向，应用质心运动定理2EXCFDTM有（4）OXCFDTM2321将（2）式代入（4）式，得OXFTLCOS2232131TLMFOX1当时，可得到作用在轴O的最大水平约束力COST2321MAXL40第十二章动量矩定理1244012740124一半径为R、质量为M1的均质圆盘，可绕通过其中心O的铅直轴无摩擦地旋转，如题124图A所示，一质量为M2的人在盘上由点B按规律S沿半径为R的圆周行走。开始时，圆盘和人静止。求圆盘的角速度和2AT角加速度。解取题124图（A）所示人与盘组成的系统为研究对象，系统所受外力是圆盘和人重力，方向竖直向下，与Z轴平行，故系统所受外力对Z轴之矩为0，即，由动量矩0FMZ守恒定理可知，系统的动量矩对Z轴守恒，因系统初始静止，所以有，即0ZL（1）盘人ZZ对人的运动分析，如题114图（B）所示。选点B为动点，圆盘为动系，则人的绝对速度REAV将牵连速度，相对速度代入上式得RVETDSRATRVEA人对Z轴的动量矩（2）RMVLAZ22人盘对Z轴的动量矩（3）1RJZZ盘将（2）、（3）式代入（1）式，可解得圆盘的角速度221RMRAT将上式对时间T求一阶导数，得圆盘的角加速度221A127题127图A所示两轮的半径各为R1和R2,其质量各为M1和M2，两轮以胶带相连接，各绕两平行的固定轴转动。如在第一个带轮上作用矩为M的主动力偶，在第二个带轮上作用矩为M的阻力偶。带轮可视为均质圆盘，胶带与轮间无滑动，胶带质量略去不计。求第一个带轮的角加速度。41解当系统有多处约束时，若应用动量矩定理求解，一般不以系统为研究对象，因动量矩定理只能避免矩心一处约束反力出现在求解方程中。本题分别取轮1、轮2为研究对象，受力分析及运动分析如题127图（B）所示。对轮1和轮2分别应用动量矩定理，有轮1（1）121RFMAJT轮2（2）补充运动学关系（胶带与轮间无滑动条件）（3）21AR联立（1）、（2）、（3）式，并将代入，可得轮1的角加速度2211,RMJJ211RMMA42第十三章动能定理13142132421354313743131244131545131题131图所示圆盘的半径R05M，可绕水平轴O转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A，B，质量分别为MA3KG,MB2KG。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按的规律变化（M以NM计，4以RAD计）。求由0以2时，力偶M与物块A，B的重力所作的功之总和。解由到时，外力偶矩M所作正功，在此过程02201DW中，物块A下降，物块B上升，所以物块A的重力作正功，物块B的重力作负功，上升或下降的距离为，故物块A、B重力所作功的总和为RGMW2外力偶矩M和物块A、B的重力所作功的总和为JJGRDRGMDBABA810950819232421020132如题132图所示，用跨过滑轮的绳子牵引质量为2KG的滑块A沿倾角为30O的光滑斜槽运动。设绳子拉力F20N。计算滑块由位置A到位置B时，重力与拉力F所作的总功。解物块由A移动到B，所移动的距离为MS3260COS645T重力P所作的功为负功JJSGWP8524326190IN拉力F所作的功为正功，拉力F作用点C沿F方向移动的距离等于滑块从A移动到B时，绳缩短的长度43，故拉力所作的功为M60SIN45IJFW14360SIN45I20II重力与拉力F所作的总功为WFP2968135自动弹射器如题135图放置，弹簧在未受力时的长度为200MM，恰好等于筒长。欲使弹簧改变10MM，需力2N。如弹簧被压缩到100MM，然后让质量为30G的小球自弹射器中射出。求小球离开弹射器筒口时的速度。解欲求小球离开弹射器筒口时的速度V，可应用动能定理。小球的初动能，末动能，在弹射过程中，只有重力和弹力作功，重01T221M力和弹力所作的总功为JJGKW98530102890312SIN1应用动能定理有12122,MVWTSSV/058/0395137平面机构由两匀质杆AB，BO组成，两杆的质量均为M，长度均为L，在铅垂平面内运动，在杆AB上作用一不变的力偶矩M，从题137图A所示位置由静止开始运动，不计摩擦。求当杆端A即将碰到铰支座O时杆端A的速度。解选取系统为研究对象，运动分析如题137图（B）所示。运动过程中，杆OB绕点O作定轴转动，杆AB作平面运动，由点A、B的速度方向，可确定杆AB的速度瞬心P，所以PVO因，所以。当杆端A即将LOBA碰到点O时，P、B、A三点共线，如题137图（C）所示，则LVA2系统初始静止，初动能，末动能由两部分构成01T4422222343131MLMLLLJTOBABPOBA外力作功为COS12GMW应用动能定理，得12TCOS120342LMGMML2LL杆端A的速度COS132GLMLVA1312题1312图示带式运输机的轮B受恒力偶M的作用，使胶带运输机由静止开始运动。若被提升物体A的质量为M1,轮B和轮C的半径均为R,质量均为M2，并视为均质圆柱。运输机胶带与水平线成角，它的质量忽略不计，胶带与轮之间没有相对滑动。求物体A移动距离S时的速度和加速度。解选取整个系统为研究对象，系统初始时静止，动能，设物体A移动距离S时的速度为V，则轮B和轮C的01T角速度为，系统的末动能RV21222121VMRVMT外力作功SIN112GMMW其中，应用动能定理得RS122WT（1）SI0221VM物体A的速度N21MRG将（1）式对T求一阶导数，并注意到，得ADTVS,IN12GVRMAM45物体A的加速度SIN21MRGMA1315题1315图A所示水平均质细杆质量为M，长为L，C为杆的质心。杆A处为光滑铰支座，B端为一挂钩，如图所示，如B端突然脱落，杆转到沿垂位置时，问B值多大能使杆有最大角速度解法一取系统为研究对象，初始时系统静止，T10。设杆AB转到铅垂位置时，杆的角速度为，则末动能，势能改变为MGB，由机械能守恒定律，得221AJMGBJA2其中，代入上式可得21MBLJA（1）BLLG1212将视为B的函数，