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第一章行列式1四阶行列式中带有负号且包含A12和A21的项为_解A12A21A33A44中行标的排列为1234,逆序为0列标排列为2134,逆序为1该项符号为“”,所以答案为A12A21A33A442排列I1I2IN可经_次对换后变为排列ININ1I2I1解排列I1I2IN可经过12N1NN1/2次对换后变成排列ININ1I2I13在五阶行列式中_解15423的逆序为5,23145的逆序为2,所以该项的符号为“”4在函数中,X3的系数是_解X3的系数只要考察所以X3前的系数为25设A,B为实数,则当A_,且B_时,解所以AB06在N阶行列式D|AIJ|中,当IR1BR0,即5设A为N阶实对称矩阵,证明秩AN的充分必要条件为存在一个N阶实矩阵B,使是正定矩阵解“充分性”反证法反设,则|A|0于是是A的特征值,假设相应的特征向量为X,即,所以所以,和是正定矩阵矛盾“必要性”因为,所以A的特征值全不为0取,则,它的特征值为全部为正,所以是正定矩阵6设均为N阶正定矩阵,证明AB是正定矩阵的充要条件是A与B可交换解“必要性”因为,AB均为N阶正定矩阵,所以,AB均为N阶实对称矩阵,即,所以A与B可交换“充分性”因为,则,所以为对称矩阵有以下定理成立C为正定矩阵的充要条件为存在可逆矩阵P使得对于正定矩阵A,存在可逆矩阵P使得对于正定矩阵A,存在可逆矩阵Q使得所以因为可逆,所以为正定矩阵上式表明相似于正定矩阵,又因为对称,所以是正定矩阵7设A为N阶实对称矩阵,E为N阶单位矩阵,求证对充分小的正数为正定矩阵解,所以为N阶实对称矩阵对于N阶实对称矩阵A,假设它的特征值为,的特征值为令,取所以所以为正定矩阵8对一般的N元实二次型,其中,证明F在条件下的最大值恰为矩阵A的最大特征值解对于实二次型,存在正交变换,使其中为A的全部特征值不妨假定,所以所以当
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