概率论与数理统计课后习题答案复旦版

1概率论与数理统计复旦大学习题习题习题习题一一一一1略见教材习题参考答案2设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件（1）发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，不发生；（3），C都发生；（4）A，B，至少有一个发生；（5），C都不发生；（6）A，B，不都发生；（7），C至多有2个发生；（8）A，B，至少有2个发生【解】（1）ABC（2）ABC（3）ABC（4）ABCABCABCABCABCABCABCABCABC5ABCABC6ABC7ABCABCABCABCABCABCABCABCABC8ABCABCABCABCABC3略见教材习题参考答案4设A，B为随机事件，且P（A）07,PAB03，求P（AB）【解】P（AB）1P（AB）1PAPAB10703065设A，B是两事件，且P（A）06,PB07,求（1）在什么条件下（B）取到最大值（2）在什么条件下P（A）取到最小值【解】（1）当ABA时，（B）取到最大值为06（2）当时，P（A）取到最小值为036设A，B，C为三事件，且（）P（B）1/4，P（C）1/3且P（AB）P（BC）0，P（A）1/2，求A，B，C至少有一事件发生的概率2【解】P（ABC）PAPBPCPABPBCPACPABC141413112347从52张扑克牌中任意取出1张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少【解】P5332131313131352CC/C8对一个五人学习小组考虑生日问题（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率【解】（1）设A1五个人的生日都在星期日，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）517（17）5（亦可用独立性求解，下同）（2）设A2五个人生日都不在星期日，有利事件数为65，故P（A2）55676753设A3五个人的生日不都在星期日P（A3）1PA11759略见教材习题参考答案10一批产品共N件，其中M件正品从中随机地取出N件（N30如图阴影部分所示22301604P2从（0，1）中随机地取两个数，求（1）两个数之和小于65的概率；（2）两个数之积小于14的概率【解】设两数为X,Y，则03121132,3NNPPNNNN38将线段0，A任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分别为X,YAXY则基本事件集为由0构成的图形，即02022AXAYAXYA正正（甲乙）（甲正乙正）（N1甲反N乙反）12（甲反1乙反）（甲反乙反）由对称性知P（甲正乙正）P（甲反乙反）因此P甲正乙正1246证明“确定的原则”（SURETHING）若P（A|C）PB|C,PA|CPB|C，则P（A）PB【证】由（A|C）PB|C,得,PACPBC即有PACPBC同理由|,PACPBC得,PACPBC故PAPACPACPBCPBCPB47一列火车共有N节车厢，有KN个旅客上火车并随意地选择车厢求每一节车厢内至少有一个旅客的概率【解】设AI第I节车厢是空的，（I1,N）,则121112111NKKIKKIJKIIINPANNPANNPAAN其中I1,I2,IN1是1，2，N中的任N1个显然N节车厢全空的概率是零，于是211211112211111123111C2C11C01NNNKKINIKIJNIJNNKNIIIIIINNNNINISPANNNSPANNSPAANSPASSSS0试证明不论0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则迟早会出现的概率为1【证】在前N次试验中，A至少出现一次的概率为111NN49袋中装有M只正品硬币，N只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）在袋中任取一只，将它投掷R次，已知每次都得到国徽试问这只硬币是正品的概率是多少【解】设A投掷硬币R次都得到国徽B这只硬币为正品由题知,MNPBPBNMN1|,|12RPABPAB则由贝叶斯公式知|PABPBPABPBAPBAPAB121212RRRMMNMNNNMIII50巴拿赫（BANCH）火柴盒问题某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根试求他首次发现一盒空时另一盒恰有R根的概率是多少第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有R根的概率又有多少【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有1212PBPB（1）发现一盒已空，另一盒恰剩R根，说明已取了2NR次，设N次取自B1盒（已空），NR次取自B2盒，第2NR1次拿起B1，发现已空。把取2NR次火柴视作2NR重贝努里试验，则所求概率为12211112CC222NNNRNRRRRPI式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）（2）前2NR1次取火柴，有N1次取自B1盒，NR次取自B2盒，第2NR次取自B1盒，故概率为111212212112CC222NNNRNNRRRP51求N重贝努里试验中A出现奇数次的概率14【解】设在一次试验中A出现的概率为P则由00112220CCCC1NNNNNNNNNQPPQPQPQPQ0011222N0CCC1CNNNNNNNNNQPPQPQPQPQ以上两式相减得所求概率为113331CCNNNNPPQPQ12NQP1122NP若要求在N重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得21122NPP52设A，B是任意两个随机事件，求P（AB）（AB）（AB）（AB）的值【解】因为（AB）（AB）ABAB（AB）（AB）ABAB所求ABABABABABABABAB故所求值为053设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件ABC，PAPBPC0,PA|B1,试比较PAB与PA的大小206研考解因为PABPAPBPABPABPBPABPB所以PABPAPBPBPA17习题二1一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律【解】353524353,4,51301C403C506CXPXPXPX故所求分布律为X345P0103062设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求（1）X的分布律；（2）的分布函数并作图；3133,1,1,12222PXPXPXPX2,13,13,2PXYPXYPXY12322333C060403C060403332212330603C0604C07033123223306C070306C070302436设某机场每天有20架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为02，且设各20飞机降落是相互独立的试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于01每条跑道只能允许一架飞机降落【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则XB20,02，设机场需配备N条跑道，则有001PXN由于N很大，P很小，NP5，故用泊松近似，有5140E1510000069KKPXK2P保险公司获利不少于1003000020001000010PXPX5100E0986305KKK即保险公司获利不少于100元的概率在98以上P（保险公司获利不少于200）300002000200005PXPX550E0615961KKK即保险公司获利不少于200元的概率约为6215已知随机变量X的密度函数为FXAE|X|,212234C39P3当XA时，F（X）1即分布函数240,0,01,XXFXXAAXA18设随机变量X在2，5上服从均匀分布现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率【解】XU2,5，即1,2530,XFX其他53123D3PXX故所求概率为223331220CC327P19设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布15E某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY1【解】依题意知15XE，即其密度函数为51E,050,XXFXX0该顾客未等到服务而离开的概率为2510110EDE5XPX25,EYB,即其分布律为225525CE1E,0,12,3,4,511011E05167KKKPYKYPY20某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）（1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些【解】（1）若走第一条路，XN（40，102），则4060406020977271010XPXP2C32由某机器生产的螺栓长度（CM）XN（105,062）,规定长度在105012内为合格品,26求一螺栓为不合格品的概率【解】1005012|1005|012006006XPXP1222120045623一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，2），若要求P120X2008，允许最大不超过多少【解】120160160200160120200XPXP3E,00,0XXFXFXX02FX当X0时1DEDE22XXXXFXFXX当X0时00DEDED22XXXXFXFXX1E2X28故其分布函数1E,021E,02XXXFXX2由1220111DDD22BFXXBXXXX得B1即X的密度函数为2,011,120,XXFXXX即1001Z即009Z29故233Z（2）由0003PXZ得10003Z即097Z查表得275Z由/200015PXZ得/2100015Z即/209985Z查表得/2296Z28设随机变量X的分布律为X21013PK1/51/61/51/51/30求YX2的分布律【解】可取的值为0，1，4，91005117111615301425119330PYPXPYPXPXPYPXPYPX故Y的分布律为Y0149PK1/57/301/51/3029设PXK12K,1,2,令1,1,XY当取偶数时当取奇数时求随机变量X的函数Y的分布律【解】1242PYPXPXPXK302421112111/443K21113PYPY30设XN（0，1）（1）求YEX的概率密度；（2）求2X21的概率密度；（3）求Y的概率密度【解】（1）当Y0时，0YFYPYY当Y0时，ELNXYFYPYYPYPXYLNDYXFXX故2/2LND111LNE,0D2YYYXFYFYFYYYYY22211PYX当Y1时0YFYPYY当Y1时21YFYPYYPXY2111222YYYPXPX1/21/2DYXYFXX故D1211D4122YYXXYYFYFYFFYY1/4121E,1212YYY301PY当Y0时0YFYPYY当Y0时|YFYPXYPYXY31DYXYFXX故DDYYXXFYFYFYFYY2/2E,02YY31设随机变量XU（0,1），试求（1）YEX的分布函数及密度函数；（2）Z2LNX的分布函数及密度函数【解】（1）011PX当Z0时，0ZFZPZZ当Z0时，2LNZFZPZZPXZ/2LNE2ZZPXPX/21/2ED1EZZX32即分布函数/20,01E,ZZZFZZ0故Z的密度函数为/21E,020,ZZZFZZ032设随机变量X的密度函数为FX2,0,0,XX由于P（X0）1，故06,则P（X由全概率公式有31|00642IIIPBPAPBA由贝叶斯公式有222|0009PAPBAPAB49设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量YE2X的概率密度FYY39【解】1,120,XXFX1时，ELNXYFYPYYPYPXYLN01ED1YXY即11,10,1YYYFYY故21,10,1YYYFYY4051设随机变量X的密度函数为FXX112X,求Y13X的密度函数FYY【解】3311YFYPYYPXYPXY33211311DARCTG11ARCTG12YYXXXY故263111YYFYY52假设一大型设备在任何长为T的时间内发生故障的次数N（T）服从参数为T的泊松分布（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q（193研考）【解】（1）当TT与NT0等价，有1101ETTFTPTTPTTPNT即1E,00,0TTTFTT53设随机变量X的绝对值不大于1，PX11/8，PX11/4在事件1P|Y2|，即12,0,0,0,43其他YXAYXE求（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P0X其他301,02PXY,0,0,55其他YYE求（1）X与Y的联合分布密度；（2）PYX题6图【解】（1）因X在（0，02）上服从均匀分布，所以X的密度函数为1,002,020,XXFX其他所以,XYFXYXYFXFYI独立551E25E,0020,020,0,YYXY且其他25,D25EDYYXDPYXFXYXYXY如图0202550001D25EDE5DE03679XYXX7设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（X，Y）,0,0,0,1124其他YXYXEE求（X，Y）的联合分布密度【解】4228E,0,0,0,XYXYFXYFXYXY其他8设二维随机变量（X，Y）的概率密度为F（X，Y）482,01,0,0,YXXYX其他求边缘概率密度【解】,DXFXFXYYX20482D24,01,0,YXYXXX其他,DYFYFXYX12Y482D2434,01,0,0,YXXYYYY其他46题8图题9图9设二维随机变量（X，Y）的概率密度为F（X，Y）其他,DYFYFXYX0EDE,0,0,YYXXYY其他题10图10设二维随机变量（X，Y）的概率密度为F（X，Y）,0,1,22YXYCX（1）试确定常数C；（2）求边缘概率密度【解】（1）,D,DDFXYXYFXYXY如图211214DD121XCYC得214C2,DXFXFXYY472124221211,11,D840,0,XXXXXY其他,DYFYFXYX522217D,01,40,0,YYXYXYY其他1设随机变量（X，Y）的概率密度为F（X，Y）,0,0,212/其他YYE（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设含有A的二次方程为A2XAY0，试求A有实根的概率【解】（1）因1,01,0,XXFX其他故/21E01,0,20,YXYXYFXYXYFXFYI独立其他题14图2方程20AXAY有实根的条件是2240XY故X2Y，从而方程有实根的概率为22,DXYPXYFXYXY21/2001DED2121001445XYY15设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为50F（X）,0,1000,10002其他XX求ZX/Y的概率密度【解】如图,Z的分布函数ZXFZPZZPZY1当Z0时，0ZFZ（2）当00,12,3,I于是UMINX,Y0123P028030250174类似上述过程，有WXY012345678P002060130190240190120520雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布（1）求PY0YX；（2）设MMAXX，求PM0题20图【解】因（X，Y）的联合概率密度为22221,0,XYRFXYR其他（1）0,0|PYYXPYYX0,D,DYXYXFXYFXY542/40542/401DD1DDRRRR3/831/2420MAX,01MAX,0PMPXYPXY01310,01,D44XYPXYFXY21设平面区域D由曲线Y1/X及直线Y0，X1,XE2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在X2处的值为多少题21图【解】区域D的面积为22EE011DLN2SXX（X,Y）的联合密度函数为211,1E,0,20,XYFXYX0的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为P（01,03,30,0,3YFYYY因为X，Y相互独立，所以1,03,03,90,0,0,3,3XYFXYXYXY推得1MAX,19PXY26设二维随机变量（X，Y）的概率分布为101XY57101A00201B02001C其中A,B,C为常数，且X的数学期望EX02,PY0|X005，记ZXY求（1）A,B,C的值；（2）Z的概率分布；（3）PXZ解1由概率分布的性质知，ABC061即ABC04由02EX，可得01AC再由0,0010005005PXYABPYXAB,得03AB解以上关于A，B，C的三个方程得02,01,01ABC2Z的可能取值为2，1，0，1，2，21,102PZPXY，11,00,101PZPXYPXY，01,10,01,103PZPXYPXYPXY，11,00,103PZPXYPXY，21,101PZPXY，即Z的概率分布为Z21012P020103030130010201010204PXZPYB58习题四1设随机变量X的分布律为X1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X3）【解】11111110282842EX22222211115108844EX312323234EXEX2已知10个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为X012345P5905100C05831410905100C03402310905100C00703210905100C00074110905100C05105100C0故058300340100702000730405EX0501,520IIIDXXEXP22200501058310501034050501004323设随机变量X的分布律为101PP1P2P3且已知E（X）01,EX209,求P1，P2，P3【解】因1231PP,又123310101EXPPPPPII,5922221231310109EXPPPPIII由联立解得12304,01,05PPP4袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）N，问从袋中任取1球为白球的概率是多少【解】记A从袋中任取1球为白球，则0|NKPAPAXKPXKI全概率公式0011NNKKKPXKPXKNEXNNI5设随机变量X的概率密度为F（X）其他求E（XY）【解】方法一先求X与Y的均值1022D,3EXXXI55500EDEDED516ZYYZZEYYYZ令由X与Y的独立性，得2643EXYEXEYI方法二利用随机变量函数的均值公式因X与Y独立，故联合密度为52E,01,5,0,YXYXXYFXYFXFYI其他于是11525500522EDDED643YYEXYXYXXYXXYYII10设随机变量X，Y的概率密度分别为FX（X）0,0,0,22XXXEFY（Y）0,0,0,44YYYE求（1）E（XY）（2）E（2X3Y2）【解】222000D2EDEEDXXXXXXFXXXXI201ED2X61401D4EDY4YYEYYFYYYI2224201D4ED48YYEYYFYYYI从而1113244EXYEXEY22211523232388EXYEXEY1设随机变量X的概率密度为F（X）0,0,0,414XXXE为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换若售出一台设备，工厂获利10元，而调换一台则损失20元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值10元和20元/41/411001EDE4XPYPXX1/420011EPYPX10201012512102012105112251221105PXUUPUXUUPXUUUUUUUU故2/D125121211010E,D2XETUUXU令这里得2212/10/25E21EUU两边取对数有2211LN2512LN211022UU解得125111LN11LN1191091282212U毫米由此可得，当U109毫米时，平均利润最大25设随机变量X的概率密度为FX,0,0,2COS21其他XX对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于/3的次数，求Y2的数学期望（202研考）【解】令1,31,2,3,40,3IXYIX则414,IIYYBP因为133PPXPX及/3011COSD3222XPX,69所以111,42,242IIEYDYEY22114122DYEYEY,从而22215EYDYEY26两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间TI1,2服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启试求两台记录仪无故障工作的总时间T1T2的概率密度FTT，数学期望E（T）及方差D（T）【解】由题意知5E,0,0,0TITFTT,U,1,11,1若若Y1,11,1U,若若试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（XY）【解】（1）为求和的联合概率分布，就要计算（，）的4个可能取值1,1,1,1,1及1,的概率PX1,Y1PU1,U1112DD11444XXPPX1,Y1PU1,U1P0,1,11,111D11144XPU故得X与Y的联合概率分布为1,1,1,1,1110424XY2因22DXYEXYEXY,而XY及（XY）2的概率分布相应为202111424XY,2041122XY从而11220,44EXY211042,22EXY所以222DXYEXYEXY7231设随机变量X的概率密度为FXXE21，（1000387103870348,102012VP即有PV10503485有一批建筑房屋用的木柱，其中80的长度不小于3M现从这批木柱中随机地取出10根，问其中至少有30根短于3M的概率是多少78【解】设10根中有X根短于3M，则XB（10，02）从而30100023013011000208PXPX1125125089442XB10,7，100175100077517511000703IIPXPX51110901379217用LAPLCE中心极限定理近似计算从一批废品率为05的产品中，任取10件，其中有20件废品的概率【解】令10件中废品数X，则P05,N10,XB10,05，EX50，D475故120501302068956895475475PX61304510689568958设有30个电子器件它们的使用寿命T1，T30服从参数01单位（小