直线与双曲线关系的研究论文

关于直线与双曲线位置关系的教学思考研究一、问题缘由由于双曲线不像圆与椭圆，是由封闭曲线形成的平面图形，也不像抛物线是单支曲线，故直线与双曲线位置关系比直线与上述曲线关系要复杂，笔者在教学过程中，碰到很多学生在这个问题上出错。直线与双曲线的位置关系，如何用相对简易的方法来判定呢如何使学生能轻松的完全掌握透呢又如何通过该问题提升学生的思维层次呢这便是笔者教学研究的重点问题。2、问题切入初三数学平面几何中圆切线定义是不适用于双曲线的，这里撇开高数对于曲线切线的定义不谈，直线与双曲线的位置关系，在直观上，相切于一点与相交于一点，也很容易理解，为方便叙述与区分，以及深入研究问题，达到完全掌握透的效果，如图所示，其中对于直线与双曲线相交的三种不同情形依次定义为半交、同交、异交。下面按照原理逻辑的深浅层次给出一般法判定的四个充要条件。相离相切相交（半交）相交（同交）相交（异交）1、判定直线与双曲线位置关系充要条件1已知双曲线方程为（0，0），21XYABAB若直线斜率不存在，设直线方程为。若直线斜率存在，设为，此时联立XK直线与双曲线方程，记作，若，则，当0时，设根为20MPNM24PMN，则，。12,X12X12X（1）相离或。故以命题的角度须注意理解2KB0,MPN相离；相离。20XA2KBA（2）相切或。2A，即直线方程，显然相切。AX22404PPMN2MXN，即方程只有一个根，这就表示直线与双曲线只有一个交点，但须注意，有一20PMX个交点并不一定就是相切，还有可能相交（半交），故须说明满足相切且不满足相交0（半交）。从后面半交的充要条件易知半交时，而相切时的前提条件是，故很容易区分0MM相切与半交。（3）相交（半交）且。P半交实际上是渐近线平移后所得的直线与双曲线交于一点（当然平移单位是不为0的常量）。易知斜率存在，联立与方程得YKX21XYAB，即，若，22220BAKXABU20MK2BKA则直线与渐近线重合，是前面相离的一种情形，故，而20P，易知，在第一象项半交于右支；KBKB0X0Y当，0，或，在第二象项半交于左支；BAA00（4）相交（同交）或，。2MN直线斜率不存在时，直线方程，即或，直线与双曲线有两个交点，即这两个交点在双曲线的同一支0012X0上（或在轴同一侧，或轴的同半轴上），直观上称之为同交，此时一定有。YX2KBA（5）相交（异交），直线与双曲线有两个交点，0，0），21XYABAB若直线斜率不存在，设直线方程为；若直线斜率存在，设为，XYKX当时，直线的横截距记为。相离或相切统称为不相交。0KK（1）不相交或且或且或且。2A2KBA2（4）异交且2KB6）若直线斜率存在，与双曲线相切的必要条件是且相交。2依据充要条件3，可得下述结论设，最大值记为。FX221YMXPNABFXMAXF（1）0直线与双曲线相交。MXF（4）若为的一次函数，直线与双曲线半交。0P（5）若为的二次函数，时，直线与双曲线异交，直线与双曲线同交。FX22YABMAXF0充要条件3及其结论本质上就是运用函数与不等式思想来处理直线与双曲线位置关系问题，运用其解题时也不易漏解、错解。不过由于解题时，很多时候我们碰到的直线方程是一般式，那么，不妨思考有没有直线方程一般式判定直线与双曲线位置关系的方法0AXBYC或定式呢依据充要条件2，易变形推导下面判定直线与双曲线位置关系的第四个充要条件。4、判定直线与双曲线位置关系充要条件4已知双曲线C方程（，），21XYABA0B一直线L方程为。若，斜率，纵截距，若，横截0AXBYCBAKBCBA距，易知，不可能同时为。相离或相切统称为不相交。C（1）若，则相离；相切；且不相交；220BB22BB02AC、半交；、且同交；220ABBCAAA、0，0），设切点P（），由双曲线切线推论易知21XYABAB0,YX切线L方程为，将之整理成一般式，即，021XYAB2200BXAYB20ABX，。若，即斜率不存在，易知切线，20BYC0B2AB，若易知且，AAB2,AC22AB42400XY，又，即，。综上就说220XY201XYAB220XAYB22AB42C明若直线L，则是直线L与双曲线相切的必要条件。依ABC22AB据充要条件4，（1）（2）（3）下的以及（4）（5）显然都不满足，220AABB而（3）中易知是相离，显然也不满足，故而整个问题的关键是（3）20AB中且是不相交，如何说明这其中的相离不满足，22AB0AC22C易知此时的相离可以看作是此时的相切平移得来的，实际除了直线与渐进线重合外，所有的相离与同交都是相切平移得到的，故而不妨设切线方程为，则L0AXBY，设切线平移后直线方程为，假设相离，也满足22AABBL1L1XYC1L，则，即或，易知时，与重合，不满足假设，1C21C故。设上任意一点（）带入双曲线方程1L,XY得，依据充要条件条件3及22222211XAAABBAACFXXABBBB其结论易知，即必可配方为；，故用替换MX0FFX2FMN1C中，即为上任意点（）带入双曲线方程所得FXC1L,Y，22221AABBAACGXXBB观察两式结构易知，除一次项系数互为相反数外，二次项