矩阵函数以及应用毕业设计

天津科技大学2014届本科生毕业设计1矩阵函数以及应用毕业设计1绪论11矩阵（MATRIX）的发展与历史人们对矩阵（MATRIX）的研究历史非常悠久，在很久以前就已经有人研究过了幻方和拉丁方阵。在过去的很长时间内，矩阵都是人们解决线性问题的最主要方法。成书于汉朝前期的九章算术，在表示线性方程组的过程中使用了将方程中不同系数分开的方法，这种方法在后来的不断演化下最终得到方程的增广矩阵。在计算的过程中经常使用矩阵的初等变换进行消元，具体说就是通过一些计算技巧将前面给出的增广矩阵化为行最简型。但是当时我们能知道的矩阵知识非常的少，虽然过去的标准和现在的矩阵在表示上已经非常的类似了，但这两者都是以线性方程为基本标准。事实上子宫基质的控制中心和开始生活意义的地方是矩阵最开始的意义，所以说矩阵有生命的意义。在数学中，开始出现的是对现在数学都有决定性的行列式，但需要行列式的行和列相等，最终的排成的表都是方的，随着研究的深入人们发现行数等于列数的行列式已经无法满足现实生活中的实际需要了。在这种情况下，矩阵应运而生。现在对于我们来说非常熟悉的矩阵和行列式，它们的概念是非常的不一样的。行列式能按照我们的规则计算出它的结果，而矩阵是将数字按一定顺序排列得到的。在学术研究中恰当地使用矩阵，能用向量空间中的向量表示线性方程组中系数矩阵；因此，一个多元线性方程组的解的情况，以及一系列问题的理论解之间的不同关系，都可以得到彻底解决。矩阵都有自身的行和列，水平的称之为行，竖直的称之为列。这些我们现在能看到的关于矩阵的一切都是由无数数学家的摸索得来的。矩阵（MATRIX）在数学发展历史上有着非常重要的位置，它一直是数学研究的一个主要方面，是数学在研究和应用过程中经常用到的知识。“矩阵”由英国数学家叶（SYLVESTER）第一次使用，他使用的这个数学术语最后将矩阵的列数和早期的行列式分离开来。在数学发展天津科技大学2014届本科生毕业设计2的历史长河中矩阵理论的创立者被一致认为是英国数学家凯莱（CAYLEY），是他最先将矩阵作为一个单独的数学上的概念提出来，并且关于矩阵的很多学术论文和著作都是他最早发表的。事实上最早的矩阵是从对大量行列式的研究中分离出来的，因为和行列式对应的方阵本身就可以做许多的研究和运用，随着对行列式研究的深入，矩阵的许多知识点也日渐完善。从逻辑上讲，概念应先于行列式的矩阵的概念和历史上真正的顺序是恰恰相反的。在19世纪50年代，英国数学家凯莱（CAYLEY）公开展示了自己关于矩阵的最新研究成果矩阵论的研究报告，这项研究成果使我们对矩阵的认识更深入了一步。本文定义了矩阵相等、矩阵的算法、矩阵的转置和基本概念，如矩阵的逆矩阵的加法，给出了系列，互换性和约束力。除此之外，英国数学家凯莱（CAYLEY）也给出了方阵的特征根（特征值），还有其他许多结论。矩阵的发展历史，著名的德国数学家弗洛伯纽斯（FROBENIUS）起着非常重要的作用，他是第一个对矩阵中最小多项式问题作全面介绍的著名数学家。他还介绍了矩阵的秩、不变的因素和主要因素、正交矩阵相似变换等知识，矩阵的其他概念如合同，不变的因素和主要因素理论的逻辑排列的形式等等在他的著作中也有体现。在19世纪50年代，约丹经过潜心研究首先发表了把一般矩阵化为标准型矩阵的方法。到了19世纪90年代，梅茨勒（METZLER）首先提出了矩阵函数的基本概念，最后找到用幂级数形式将表示矩阵的方法，这些对矩阵的发展意义重大。此外，傅立叶（FOURIER）与庞加莱（POINCARE）研究的主要是无穷矩阵方面。到这时，矩阵已经相当完善了。矩阵最大的用途就是在实践中解用常规方法难以求解的方程。另外一个在实际操作中很有意义的作用是代表线性变换，即是像FX、4X之类的关于线性函数的推论。矩阵的特征向量可以揭示一个线性变换的深层次特征。随着两个世纪中无数数学家的无私奉献，矩阵论已经成为了一门完善的数学分支。矩阵在很多方面都有重要应用，例如数学领域里，力学、物理学、工程数学、经济管理方面都有矩阵的出现。天津科技大学2014届本科生毕业设计312本文所做的主要工作矩阵理论包含的内容非常非常多，矩阵函数在矩阵理论中占据非常重要的位置，相比于矩阵函数中的其他知识，矩阵多项式比较容易理解，就是这样容易理解的矩阵多项式是我们对矩阵函数进行研究的理论基础。矩阵函数的定义方式有多种，本文主要是从多项式和幂级数两个方面进行研究的。本文主要论述了矩阵函数以及应用。在文章的第一部分，总结了矩阵函数所必须的基础知识，主要包括代数学多项式理论、行列式与矩阵等方面的一些结论以及数学分析中幂级数的若干法则。文章的第二部分，总结了矩阵函数的概念、性质、推论，介绍了若干重要的矩阵函数。文章的第三部分，归纳了矩阵函数的若干计算方法，包括了HAMILTIOCAYLEY定理、利用相似对角化计算、利用JORDAN标准型法进行计算、利用待定系数法求解等四种计算方法。在这部分的最后对这四种方法进行了比较，在比较中加深对矩阵函数求解的认识。可以根据计算过程中遇到的实际情形加以选择，将会给计算带来很大方便。本文的第四部分，通过查阅文献和指导教师交流的方式，在求解线性微分方程过程中有对矩阵函数的应用研究，并介绍了在线性系统的可控性和可观性中矩阵函数的应用。本文的最后部分，通过MATLAB编写能计算常用矩阵函数的程序，将使矩阵函数的计算更方便、迅速。2矩阵函数21研究本论文具备的数学基础为了进一步讨论和便于理解，引入以下研究本论文的相关概念1、线性空间在集合上具有一定的结构或符合一定的要求，那么这个集合就是特定的空间。如果V是非空的集合，P是数域。对V里的元素定义代数类运算，叫作加法；就是给出一种规则，使中任意两个元素X和Y，都能在中找到唯一的一个Z和它匹配，其中Z是X与Y的和，记为天津科技大学2014届本科生毕业设计4ZXY。在数域P与集合V中的元素再定义另外一种运算，叫作数量乘法；就是如果数域P中任何一数K与中的任何一个元素X，在V中都能找到一个元素H和它匹配，H是K和的数量乘积，记为HX。若加法与数乘都同时符合它们的运算法则，那么V就叫作数域上的线性空间。2、级数级数知识是分析科学中一个重要的部分；这个概念经常出现在数学的其他分支。把数列NU的项1U，2，N，逐项相加得到的函数。数项级数简称级数。如12U，缩写为，就是级数的通项，记作NSU是级数的部分和。如果当N时，数列极限NS有，级数就是收敛的，否则就是发散的。研究函数经常会用到级数，它不管在理论上还是实际中都有很多用途，原因主要有一下两个方面一、许多经常用到的非初等函数可以用级数表示，级数还可以表示微分方程的解；二、函数可以用来表示级数，也能用级数去探讨函数的性质。幂级数，是级数中非常重要的一种，被当作基础知识应用在实变型函数、复变型函数和其他许多基本领域中，在这些领域发挥巨大的作用。幂级数是指每一项均对应着级数项序号N的常数倍的XA的N次方（是从0递增的自然数，A是常数）。幂级数与多项式形式非常接近，在许多方面有相似的特征，可以被视为“无限的多项式”。3、正定矩阵在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。它的定义有广义和狭义之分。广义定义设M是N阶方阵，如果有任意非零向量Z，都有0MZ，是Z的转置，称为正定矩阵。例如B为N阶矩阵，E为单位矩阵，A为正实数。AEB在A充分大时，AEB为正定矩阵。（必须为对称阵）狭义定义一个N阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量Z，都有0Z。其中Z表示的转置。4、线性算子线性算子，有数学运算各领域的线性性质（如线性变换，线性代数理论的微分方程，积分方天津科技大学2014届本科生毕业设计5程理论，微分，积分，积分变换）的抽象概括。它是研究线性泛函的一个重要目标。线性算子的用途很广，不但应用在数学的很多分支当中，同时对于量子物理也是重要的数学基础。5、对称矩阵和反对称矩阵对称矩阵的定义是TA（的转置），对称的矩阵元素,IJJIA。反对称矩阵的定义为TA的转置前加负它的首行与首列各元素绝对值相等，符号相反。即,IJJI,因此，在对角线上的元素，,IIA,有,20I，在非偶数域中，有,0IA，即反对称矩阵对角线元素为零，此性质只在非偶数域中成立。6、化零（零化）多项式给定矩阵NAC，如果多项式110MPAA，满足0P,则称P是A的化零多项式，（一般取首项系数为1）。7、矩阵的谱半径设是矩阵，I是其特征值，IAN1，2，N。下面通过数学式子将其表示出来。假如表示的谱半径，即A。也就是说矩阵的谱半径是矩阵的全部特征值求模的MAXA是的特征值最大值；如果特征值是虚数，谱半径就是实部和虚部的平方和求算术平方根。8、表示数域F上矩阵全体的线性空间；NN9、表示复矩阵集；C10、数域F上的纯量多项式；,P11、矩阵的谱矩阵A通过数学运算计算出来的特征值的集合就是一个矩阵的谱，通过数学表达式表示出来也就是表示的谱，即；AA是的特征值12、其中次数最低的零化多项式称为矩阵的最小多项式，记做；M13、文献1给出矩阵级数的定义天津科技大学2014届本科生毕业设计6定义1设是的矩阵序列，其中，无穷和KAMNCKKMNIJAAC称为矩阵级数，记为对正整数，记称23K1K1K1KIISAKS为矩阵级数的部分和，如果矩阵序列收敛，且有极限，即，则称矩阵1KAKSLIK级数收敛，并称为矩阵级数的和，记为。不收敛的矩阵级数称为发1KS1KA1KAS散的定义2设，形如NAC2010KKCICC的矩阵级数称为矩阵幂级数14、相似矩阵设,AB是N阶矩阵，如果存在N阶可逆矩阵P使1BA,则称矩阵与B相似的，记为相似矩阵代表等价的关系。15、可对角化矩阵如果N阶方阵A能与一个对角矩阵相似，就说A可对角化。N阶方阵A可对角化的充要条件是它有个线性无关的特征向量。对角矩阵DIAGONALMATRIX是一个矩阵主对角线之外的所有元素都是0。对角线上的元素可以是0或任何其他值。然后引入线性无关的概念。对向量组，如果有一组不全为零的数,然后被称为向量组线性相关如果没有这样的,换句话就是向量等式当且仅当才成立,就称向量组是线性无关的16、可逆矩阵可逆矩阵是线性代数中的一种矩阵，其定义为在线性代数中，给定一个N阶方阵A，若存在一N阶方阵B，使得NAI（或NABI、NI天津科技大学2014届本科生毕业设计7满足任意一个），其中NI为阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B是A的逆矩阵，记作1。22矩阵函数的定义类比于代数中函数的定义，能知道定义域和值域都属于方阵的函数称为矩阵函数。矩阵函数的定义方式有很多种，为了便于进一步的研究，本文主要从经常使用的多项式和幂级数来定义矩阵函数。矩阵函数的多项式表示设是数域F上的一个阶矩阵，简记为，IJNAANNAF是数域F上的一个次多项式，简记为2010NFA，将此多项式中换成，其中换成单位矩阵，则矩阵函数,PII01IFA可以定义为201NFAIAA矩阵函数的幂级数表示设，如果一元函数能够展开为Z的幂级数，R，NACFFZ0KCZ其中0R表示该幂级数的收敛半径当N阶矩阵的谱半径时，把收敛的矩AR阵幂级数的和称为矩阵函数，记为，即。0KCFF0KC23一些矩阵函数的重要性质及推论性质1和可交换，即FAFAF证设纯量多项式，则矩阵多项式为201NFAAFA，于是201NFAIA2NA23101NAA01IA天津科技大学2014届本科生毕业设计8FGAFG性质2函数和（或差）的矩阵函数等于矩阵函数的和（或差），即FF性质3函数积的矩阵函数等于矩阵函数的积，即FGAFG性质4若,则，即若，则BFFB1TA1FTF证由于，故存在可逆矩阵，使得，若是纯量多项式，则ANC1BF,即11FBFFTFAF性质5设，且,函数在上有定义，在NCNBFZAGZB上有定义，则FAGF证设，的最小多项式的次数分别为和，则存在次数不超过的多项式和次数BKL1KZ不超过的多项式，使得1LZ,FAGB由于，因此对任意正整数，有，从而A的多项式与B的多项式AIJIJJI相乘时可交换，即得FGBBAGF性质6设，A的特征值都是正实数，是系数为非负实数的幂级数NCFZ0KCA的和函数，它的收敛半径，则，且R0TRFA0TRFFZ证因为A的特征值都是正实数，且是系数为非负实数的幂级数的和函数，因此FZ0KCA天津科技大学2014届本科生毕业设计9的特征值为，其中是A的特征值，所FA01,2KIIFCN，1,2KIN以1IITRFF若不恒为0，则，从而；FZ01,2KIIFCN0TRFA若恒为0，则，从而。F,IFTRF性质7设，函数在上有定义，则NACZATF证由于与相似，因此，与有相同的谱，也有相同的最小多项式，由在TTFZ上有定义，则在上有定义，且在与的谱上的值相同，因此可取FZFZAT相同的多项式，使得所以,TTAFTTTTFAF性质8设是对称矩阵，函数在上有定义，则是对称矩阵ZAFA性质9设是实对称矩阵，实函数在上有定义，且对A的任一特征值，有F，则是正定矩阵。0FFA证由为实函数，A是实对称矩阵，根据性质8知，是实对称矩阵，又因为ZF的特征值为，其中是A的特征值，所以是F01,2IFN1,2INFA正定矩阵。性质10设是反对称矩阵，函数在上有定义，且为奇函数，则是反AFZF对称矩阵。证由性质7得,又由于为奇函数，所以TFFAFFZFZFTFAF即是反对称矩阵。24常用的矩阵函数天津科技大学2014届本科生毕业设计10在矩阵理论中，有许多不同种类的矩阵函数。经常使用的矩阵函数有矩阵的指数函数和矩阵的三角函数。以下是矩阵函数的基本性质根据上面给出的用幂级数定义的矩阵函数，可以得到0KFAA。根据这个定义，可以得到和数学分析中一些函数相似的矩阵函数，可以通过以前学过的高等数学知识类比现在得到的矩阵函数的性质。如AE，SIN,CO,LI。矩阵指数函数的基本性质AE1若，则BBABE2；1AE3TR证（1）显然满足矩阵加法的交换律，所以我们只需要证明根据现有的矩阵指数函ABE数表达式有2211ABEII223223IABAB13ABE2在（1）中令BA,则得,所以AEI1AE3设A的特征值为，则的特征值为，因此12N，12,NEE，12N12NTRAEEE推论0AAEEI，1AE，AME是整数。这表明矩阵的指数函数矩阵总天津科技大学2014届本科生毕业设计11存在逆阵。如果把矩阵函数FA的变元换成AT，其中T为参数，则相应地有0KKFATAT。在实际中，经常需要求含参数的矩阵指数函数。矩阵三角函数的基本性质1COSINIAE2，12IAIE1S2IAIE3CS,IIN4若，则BCOSCOSSINBBSINIIAA证1因为，将分为偶数和奇数，则有0KIEK122K1000KKKIAKIIAA221001KKKCOSINA2同1证可得IE两式相加得1S2IAI两式相减得INIIE3因为，所以210SIKK210SINKKKAA，又因为，所以210SINKA201COKK22001COSSKKKKA4若，得AB1CS2IABIE天津科技大学2014届本科生毕业设计1212IABIE2IIIBIIAIIBIEEE2IAIIAIBIIBIECOSSIN同理可证INICOSINABAB3矩阵函数的计算矩阵函数的计算问题是矩阵的实际应用的一个关键问题。物理学中的矩阵函数的计算，统计和模拟电路有许多实际的应用，例如，被要求限定入口，行列式的逆矩阵的迹和高阶矩阵值等。13和矩阵函数相关的计算问题将会在本文中进行研究。矩阵函数的计算方法虽然多种多样，但是想通过定义求解矩阵函数的过程很困难。本文主要研究了最有代表性四种方法四种方法是不同的，这涉及到微分方程的求解、JORDAN标准化形式、特征多项式等一些知识。所以，研究如何方便地计算矩阵函数对于解决实际生活中的实际问题具有非常重要的意义。为此，我们介绍下列几种常用的算法。在前一章中通过利用收敛矩阵幂级数的和定义了矩阵函数FA,在具体应用中，需要求出FA所代表的具体矩阵，即求出矩阵函数的具体值。本章介绍了几种求矩阵函数的方法，为了简化运算以下式中出现的矩阵函数均假设为收敛的矩阵幂级数。31利用HAMILTIOCAYLEY定理求矩阵函数定理HAMILTONCAYLEY设AMNF,F是A的特征多项式，则|IN0|1121AAF为了便于后面的理解，这里作一点简单的证明。天津科技大学2014届本科生毕业设计13证设B是的伴随矩阵，则根据伴随矩阵的定义有AINNNIFI|因为矩阵B的元素是的各个代数余子式，都是的多项式，其次数不超过|因此由矩阵的运算性质，B可以写成1N11201NNN其中MNFB，再设，则NNAAF111NNIAIIF1于是11201AIBBAIBNNNN2NN122010比较1和2，得3NNNNIAABIAIB112120用依次从右边乘3的第一式，第二式，第N式，第N1式，得NNIA,1，4NNNNNIABAAB1122121010把4的N1个式子相加，左边变成零，右边就是FA，故FA0为了继续研究的需要，在这里对上文中提到的伴随矩阵的概念作简单的介绍。根据线性代数的知识体系，任何一个方阵的伴随矩阵其实是一个和矩阵逆矩阵相似的概念。假如一个矩阵是可逆的，可以得到它的伴随矩阵和它的逆矩阵之间是一种倍数的关系。但是，天津科技大学2014届本科生毕业设计14伴随矩阵对于不可逆的矩阵也有定义，而且不需要用除法。矩阵A的伴随矩阵可以按下面的方法定义1把矩阵的每一个元素都换成与之匹配的代数余子式；（代数余子式的定义在一个N阶行列式A中,把元所在的第行和第列的全部元素去掉，剩下的所有元素组成的阶行列式叫做元的余子式，记着即，就叫做元的代数余子式）注意前面求得的是一个具体的数而不是一个矩阵。2将（1）中求得的矩阵转置就是A的伴随矩阵，补充（实际求解伴随矩阵即AADJ（A）去除A的行列式D中元素对应的第行和第列得到的新行列式1D代替IJA，这样就不用转置了）例设是N阶可逆矩阵，则，其中G是一个N1次多项式1证设A的特征多项式为，NNNAAI11|通过HAMILIONCAYLEY定理，可以得到ONNNIAA11因为A是可逆矩阵，所以，于是上式可化为0|1AAN，NNNIA121这表明，1211AGIAAAANNN其中，是一个N1次多项式NG设是一个数域，是文字，求多项式环，一个给定的矩阵若它的元素都是关于FF的一个多项式，即的所有元素，这个矩阵就被称作矩阵因为存在于数域中的P元素也是的数，所以在矩阵中也包含了以数为元素组成的矩阵为了与原有的P矩阵区别开来，我们称数域中的数为元素组成的矩阵为数字矩阵在接下来的文章中就P用等表示矩阵,BA天津科技大学2014届本科生毕业设计15上面提到的多项式环中的环其实是一种代数结构。在抽象代数里，代数结构（ALGEBRAICSTRUCTURE）是指至少具备两个的计算（最常用的操作，可以存在无数个计算）的非空集合。一般研究的代数结构有群、环、域、格、模、域代数和向量空间等等。对于非空集合R，如果定义了两种代数运算和（不一定就是代数中加法与乘法的含义），并且满足下面的条件1）集合R在运算下能组成阿贝尔群（ABEL）。2）具有封闭性，就是对于任意的AR,BR，总是有ABR。3）运算符下有分配律和结合律，即对于任意的AR，BR和CR，总有A（BC）ABAC，（BC）ABACA，（AB）CA（BC），我们就把R称作环（RING）。所以满足上述定义的多项式就被称为多项式环。我们清楚，中的元素能进行加或者减或者乘三种计算，并且它们的计算和数的运P算规律是相同的矩阵的加法和乘法的定义中使用的元素的加法和乘法，所以它可以类似地定义矩阵的加法和乘法，和数字矩阵运算的算法规则相同。通过行列式的本质，可以看到只用了元素的加法和乘法，所以，同理也能定义的N矩阵行列式一般来说，矩阵的行列式也是一个多项式，它和数字矩阵的行列式具有同样的性质。定义一个的矩阵称为可逆的，如果有一个的矩阵使NANB,1EB这里是单位矩阵适用1的矩阵它是唯一的被称作的逆矩阵，记作EA1A例已知01,求ATE。解A的特征多项式为21I,通过HAMILTIOCAYLEY定理有20AI,即2345,I即221,2KKKIA天津科技大学2014届本科生毕业设计16故01ATKET2435TTIACOSINTITAIT32利用相似对角化求矩阵函数设NAC是对角矩阵，那么必有N阶的可逆矩阵P,使112,NPDIAG则有11000121,KKKKKKKNFAPADIGPPFF从而，12,NFATIATT为了便于理解，这里简单介绍一下文中将会用到的可对角化矩阵、可逆矩阵、可交换矩阵和变换矩阵的相关概念。为了告诉概念清晰的对角化矩阵，首先简要说明相似矩阵的概念。设,AB都是N阶矩阵，如果存在N阶可逆矩阵P使1BA,则称矩阵与矩阵B相似，记作矩阵的相似是一种等价关系。如果N阶方阵能与一个对角矩阵相似，称A可以对角化。阶的方阵A能对角化的充要条件是它具备个线性无关的特征向量。可逆矩阵是线性代数中经常用到的一种矩阵，它在线性代数中的定义为给定一个N阶的方阵，如果存在一个N阶方阵B，使得NI（或NABI、NI任意满足一个），其中NI为阶单位矩阵，则称是可逆的，且是A的逆阵，记作1A。如果一个方阵有乘法交换律，那么这个方阵就是可交换矩阵，用数学表达式表示就是B。变换矩阵是线性代数中的一个数学概念。在线性代数中，线性天津科技大学2014届本科生毕业设计17变换能够用矩阵表示。如果T是能将NR映射到M的一个线性变换，并且X是有N个元素的列向量，那么我们就可以将MN的矩阵A，叫作的变换矩阵。任何一种线性变换都能用矩阵表示，并且它更容易计算，就算有很多线性变换只要正确地使用矩阵乘法就能够将它们连接起来。如果线性变换函数的类型是TX，只要通过T对标准基中的任意一个向量作简单变换，最后把结果插到矩阵的列中，所以它是很容易确定的变换矩阵A，即例已知46035,1A求,COSATE解2DET,I所以的特征值为12，31。对应于12的特征向量1,T（）；对应于231线性无关的特征向量,T（0），3,T（），故01P，使得1201A于是210TATTEP22220TTTTTTTEE1COSS0S1COAPP天津科技大学2014届本科生毕业设计182COS12COS120COS1上面介绍的是一般矩阵，一般矩阵可以通过相似对角化的方法求解矩阵函数，对一般矩阵而言相似对角化的过程必须先求出矩阵的特征向量。当然矩阵中还有些比较特殊的矩阵，因为他们的特殊性可以将计算简化。对角矩阵就是这样的一种特殊矩阵，接着就来介绍求对角矩阵函数的方法。（A为一个对角矩阵或者对角矩阵的块）。F1矩阵函数为矩阵幂函数MF若A为对角矩阵，即12NDAD则由矩阵乘法，有1122MMNNFDFFFD若A为分块对角矩阵，即，其中为子块。则12NA1,2IAS1122MMSSFFAFAFA2矩阵函数为矩阵多项式201NFAAIAA因为是几个矩阵指数函数的线性组合，它仍然可以作为（1）中的计算方法。33利用JORDAN标准形法求矩阵函数设矩阵的JORDAN标准形为，即,则必存在可逆矩阵，使NACJAP天津科技大学2014届本科生毕业设计191JPA从而由矩阵函数的性质4可知1FJPFA所以求可以通过以下3个步骤来计算F第一步，先求出的JORDAN标准形，接着求相似的变换矩阵，使得；AJP1AJ第二步，计算FJ，12KFFJFJ其中12200IINIIIINIIIIIIFFFFFJFFF第三步，利用求出1FJPFA1PJ该方法的关键在于如何求JORDAN标准形J，这里简单描述了怎么用初等因子法求JORDAN标准形J文献10中有基本因素不变因子的定理和定义，有如下摘录定义3标准形的主对角线上非零元素的不变因子。12,RDDA称为矩阵定义4把矩阵A的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A的初等因子。求JORDAN标准形的具体方法1、首先求给定矩阵A的特征矩阵；IA天津科技大学2014届本科生毕业设计202、再求矩阵A的初等因子组，其中可能有12,SMM12,S相同的，中也可能有相同的，但总有；12,SM1SIN3、每个初等因子对应着一个JORDAN块，其阶数为，对角线元素为，即IMIJIIIIIIMJ4、这些JORDAN块的组合构成一个JORDAN矩阵J，即12SJJ例设，求21AATE解令求得的JORDAN标准形为TEF12001J再求相似的变换矩阵P设即1123,PAJPJ使则1231230,1A天津科技大学2014届本科生毕业设计21应满足即是两个线性无关的解解123,1223A13,0AIX，同解方程组，令分别取,得特征向量0X123X23,X1,0，于是有则，计算出131,20,01P121P于是11120ATFJEFPFJPF100FPF01010TTTETTTTE12一个重要的结论以独立的矩阵函数和JORDAN块的排列顺序没有任何关系，没有选定具体的变换矩阵P，矩阵函数总能转为计算矩阵多项式。34利用待定系数法求矩阵函数（化零多项式法）从上面的介绍可以知道求矩阵函数通过求矩阵JORDAN标准形式的方法是非常复杂的，它要求JORDAN标准形式及变换矩阵，这个过程很繁琐。下面我们介绍根据化零多项式求解矩阵函数的一种方法，希望能达到降低计算量的目的。要达到目的这里需要介绍一个非常有用的定理。定理N阶方阵A的最小多项式等于它的特征矩阵的第N个（也就是最后一个）不变因子ND。初等因子，不变因子的概念见引用文献10中的定义3，定义4，这里不再介绍。天津科技大学2014届本科生毕业设计22设N阶方阵A的不变因子反向依次为11,NDD，由他们给出的初等因子分别为121,SRRMMMM其中1SIN。因为1,IIDN，所以,RS必定出现在1,R中；如果IJRI，则IJM。因此，矩阵A的最小多项式是12SMM，它的最小多项式就是它的零化多项式，也就是120SAIAII按照矩阵函数的定义，只要求出多项式，有G10,2,13LLIIISIFDSM令其中M是A的一个极小多项式的次数，从上述条件201GAA可以得到方程组求出，从而得到，最终得到1,MG2101FAIA这是待定系数法的使用（多项式法）求解矩阵函数的相关理论知识，这里有具体的例子说明了如何使用这种方法。例设矩阵,求0123AATE解由于特征多项式，易算出不是A的零化多项式，21I21故A的最小多项式为，于是设为2次多项式，即MG，由于，且是单根，是二重根，故有201GAATFE122天津科技大学2014届本科生毕业设计231122FGF即20124TTEA解得201286939TTTTTTTTTAEEAE从而得201222863134594845ATTTTTTTTTTTTTEFGAIAEEEE35四种方法的比较为了将问题说明清楚，这里将几个基本概念回顾一下。首先了解初等变换的概念。初等变换（ELEMENTARYTRANSFORMATION）是高代中的数学名词，同时也代表着一种运算。初等变换主要包括三种情况线性方程组里的初等变换、行列式中的初等变换和矩阵的初等变换。三个方面的初等变换大同小异。由于本文是矩阵函数及其应用的研究，因此本文主要对矩阵的初等变换进行阐述，对另外两种初等变换不作详细介绍。矩阵的初等变换包含有矩阵的初等行变换与它的初等列变换。下面给出的三种初等变换都称作矩阵初等行变换1、将两行对调；2、某一行的所有元素乘上一个非零实数；3、将某一行所有的元素乘以非零常数K加到另一行分别与之对应的元素上去。如果把前面定义中的“行”换成“列”，得到的就是矩阵的初等列变换的天津科技大学2014届本科生毕业设计24定义。如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，那么矩阵A与B是等效的。另外分块矩阵也能定义初等变换。四种方法中的第二种计算方法难度最大，在求的JORDAN表示式F时，要求矩阵的JORDAN标准形式，在求JORDAN标准型的过程中还要涉及矩阵的初等变换，计算很麻烦，最后还要算交换矩阵P，计算量非常大，矩阵的阶数变大也会增加很多计A算量；同时也是最实用的，因为这种方法的优点是计算步骤非常清晰，容易理解。第一，第三和第四种方法中使用的数学原理和方法比较多，明显地比第二种方法计算量少，它们的计算过程相对简单，但要明白为什么要这么做，还需要清楚地理解里面运用的一些定理和方法。4矩阵函数的应用矩阵函数理论对于矩阵理论意义重大。因为矩阵函数，人们对矩阵的研究由以前的计算进入到现在的分析领域。同时也可以解决不仅数学领域而且工程技术等其它许多领域的众多计算难题。本文在这里简单介绍矩阵函数的一些实际应用，主要以在现代控制理论中的应用为例进行阐述。现代科学技术有许多不同的领域，其中包括的自动控制技术在各个方面的作用越来越明显。随着科学技术越来越成熟，自动控制理论进入了一个新的过渡阶段，从过去传统的控制理论到现在的控制理论。优化控制系统主要讨论了变参数的多变量的高性能，多变量系统的精度高，主要工具就是矩阵理论。因此，现代控制理论中的矩阵理论和矩阵函数的知识具有重要作用。同样地，为了更好地研究本问题，对本问题中涉及到的控制学中概念做一些简单介绍。首先简单介绍一下线性系统和线性系统的发展历史。上个世纪50年代左右，最开始出现的线性系统理论经过一段时间的应用和改善，已经发展成了一套完整的理论，在许多工程技术领域中都有线性系统理的使用。通过矩阵函数定义的解决线性控制中的问题是使用镶嵌技术获得期望矩阵的传递函数。14最开始出现的线性系统理论是以拉天津科技大学2014届本科生毕业设计25普拉斯变换作为最基本的数学知识，它的最根本的数学模型就是前面提到的传递函数，最基本的研究和综合方式是通过频率响应的方法。这种方法对单输入输出类型的线性定常系统的剖析效果很好。然而，这种理论也具备非常突出的不足之处，最明显的不足之处是不能很好地处理多输入和多输出的系统，而且很难表示出一个系统的真正的内部特征。在20世纪60年代左右，关于线性系统的理论经历了从最开始的古典阶段到现代阶段的重要时期，其中最具代表性的事是卡尔曼第一次完整地在系统和控制的理论中引进了状态空间的方法。状态的空间方法的一个最主要的特征是通过描述状态的内部空间的方法代替以前的使用传递函数的方法描述外部的输入和输出系统，并且通过在时间区域内对整个系统进行探讨和整合。状态的空间方法既能在输入输出类的系统中使用，也能在线性的系统等几种系统中运用。基于状态的空间方法，卡尔曼将系统的可控制性与可观测性这两个最能揭示系统结构特征的重要的概念又向前推进了一部，在实践应用中已经可以充分说明它们两个是线性系统的理论中的最常用到的概念。在前面介绍的可控制性和可观测性，对于线性系统的进一步研究和整合在根本的指导规则方面都产生了重大影响。这种影响集中体现在用“内在研究”替代了传统的“外在研究”，并将探讨和整合的过程需要的基础理论变的更加严格起来。从60年代中期到现在，不仅在研究内容和研究方法，对于线性系统，有很多新的突破。产生了新的探讨线性的系统的特征和它的结构的方法，这种方法主要是以几何方法解决实际问题，同时产生了基于抽象代数的主要用于线性系统的代数新理论，也出现了基于扩展的经典频率的方法开发而来的多变量频域理论。就在此时，由于计算机技术的飞速发展和完善，对于线性系统中的研究和整合中出现的的计算难题，以及使用计算机对线性的体系进行辅助性的剖析和辅助性的设计，也都得到了广泛和充分的研究。为了使研究的问题更透彻，接下来重点介绍一下能控性和能观测性。可控制性和可观性是现在的控制理论中最基础的概念，它是卡尔曼于60年代率先提出，它的基础是线性系统的理论分析和设计。能控制性其实指的是一种可能性，它是指控制作用对被控制系统的状态TU天津科技大学2014届本科生毕业设计26进行控制的这种可能性；能观性描述的其实是一种可能性，它是通过系统输出反推TXTY系统状态的可能。可控制性描述的是状态的控制力，可观测性描述的是状态的观测力，T这两条性质给出了两个最基本的控制系统存在的问题。下面就给出线性系统的可控制性与可观测性的定义。能控性定义一般地，对于线性定常系统（11）其中，X、U分别是N、R维向量；A、B是常值矩阵，常值矩阵满足矩阵运算如果给定系统的初始状态0T，在10T的有限时间区间0T，1T，可以发现控制U使X，系统的状态在时刻是可以控制的；假如系统对于任何一个初始状态都可以控制，那么就称这个系统的状态完全可以控制的，简称系统是状态能控的或者系统是可控的。对于能控性的定义，说明几点1初始状态是状态空间中任意的非零有限点，控制目标是状态空间坐标原点原0TX点能控性。2如果在0T，1内，能找到控制UT使系统从状态空间原点推向预先指定的状态1XT，则称为状态能达性；因为任何连续系统的状态转移形成的都是非奇异的矩阵，所以能说某种程度上系统能达性就是系统的能控性。在这里简单介绍一下非奇异矩阵。如果N阶矩阵A的行列式不为零，即0A，那么被称为非奇异矩阵，否则就是奇异的。3若0T，系统状态方程的解为0XTTATE0XDBUETAT1如果系统是能控的，能找到控制U，使得1XT0ATEETAT10天津科技大学2014届本科生毕业设计271ATE0XDBUETAT10（12）TT0满足初始状态类型0X，必须是可控的状态。4当系统有不依附于的确定性干扰时，系统状态方程可以表示为TUTFTFBUAX0T因为是一个确定性的干扰，它不会改变系统的可控性。TF能观测性定义一般地，对于线性定常系统如果在10T的有限时间区间0T，1内，通过观测YT,能唯一地确定系统的初始状态，称系统状态在T是能观测的；如果对任意的初始状态，可以观察到，就说系统是完全0TX可观测的，称为系统的状态可以观察或系统可观察。对于能观测性的定义，说明几点1已知系统在有限时间区间0T，1内的输出YT，观测的目标是为了确定初始状态0TX2系统对于在0T，1内的输出YT能唯一地确定任意指定的状态1XT,表示系统状态可以被检测到；因为连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，所以系统能检测性与能观测性是等价的。3能观测性表示的是输出YT反映状态XT的能力,与控制作用没有直接的关系，所以在分析能观测性时，不妨设0U，只需从齐次状态方程和输出方程出发进行分析。那么线性定常系统就变为天津科技大学2014届本科生毕业设计28（4）若系统存在确定性干扰信号，即TFTFBUAXCY因为与、独立，因此在系统的可观测性研究是不考虑的影响。0XTUFTF二、能控性与能观测性的判定线性的系统最基本的结构特征是能控性与能观测性，它们表示的是系统的输入输出与系统内在状态量之间的联系。直观地说，可控性问题是系统的内部状态变量的研究完全可以用问题的输入控制。如果可以改变和掌管系统的每一个运动状态，并且通过任何一个开始的点都可以到达原来的状态空间原点，那么就称这个系统是完全可控制的。可观测性是系统输入与输出的充分反映系统问题的状态。如果任何形式的状态变量的输出系统都充分体现了运动，所代表的系统状态可观，则称为观察。系统的状态方程为系统可控性探讨的是控制系统的输入量对状态量的作用。可控制性的判别规则最常用的有三种1、通过判定矩阵来判断能控性。可控性矩阵QKBABA2BAN1B满秩。如果B的秩为R，可控性矩阵QKBABA2BANRB。为了继续研究的需要，在这里简单地介绍一下满秩的概念，首先介绍一下矩阵的秩的概念。矩阵的秩用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵,则矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩,记为RA。满秩矩阵（NONSINGULARMATRIX）设A是N阶矩阵,天津科技大学2014届本科生毕业设计29如果RAN,称为满秩矩阵。满秩矩阵这个概念非常重要，它能判断矩阵是否可逆，非奇异矩阵是满秩矩阵。2、利用对角约当规范型来判断。此状态可确定哪个状态不可控。3、利用传递函数来判断。状态输入型的传递函数（SIA）1B无零极点相消现象，它是完全可控的。这个判定准则不能够单独使用。为了便于理解和后续研究，在这里介绍一个非常重要的概念，传递函数。传递函数（TRANSFERFUNCTION）是将两个拉氏变换作除法。是在最开始的系统中输出变量的拉氏变换和输入变量的拉氏变换的商。写作GSYUS，前面的YS、U分别代表输出量与输入量的拉氏变换。传递函数是描绘线性系统动态特点的常用工具，最初产生的控制理论经常使用的研究方式是响应频率法和根轨迹方法，它们都以传递函数为知识基础。系统的律的微分方程是对应的。所以可以先将整体分为几个部分，先求出每个部分自己的传递函数，再通过一定的逻辑性将这些传递函数组合起来就是我们要求的整体的传递函数。可以使用它们探讨系统的动态特征、稳定性，或按照要求将控制系统整合起来，设计满意的控制器。根据传递函数的知识探讨和整合控制的系统方法就是频域法。它不仅是最开始出现的控制的基本理论，而且在以单变量的频域法为基础的现代控制理论的成长进程中，它一直不断完善才有了现在的多变量的频域控制理论，为多变量控制系统研究的有力工具。一个纯虚复数当它的虚部是角频率时在传递函数中被称作频率响应。拉氏变换在工程中经常被应用。拉普拉斯变换是线性变换，它能使一个有引数实数T（0）的函数变换成引数为复数S的函数。在许多情况下，一个实变量函数在实数域中运算难度很大，但是对于一个拉普拉斯实变函数的变换，它能在复数领域内进行各种各样的数学操作，最后对前面求得的计算结果作一次拉氏反变换，就能最终求出它在实数领域的结果，这种方法在运算上和直接求解相比，方便很多。拉普拉斯变换方法计算出结果的线性微分方程是非常明显的，因为它可以将微分方程化为代数方程，所以计算很简单。在最开始的控制理论中，探讨和整合控制系统，都天津科技大学2014届本科生毕业设计30是以拉氏变换为基础上。引进拉普拉斯变换最明显长处，是采用了传递函数来描述系统的特征，取代了以前的常系数微分方程。其特点是直观和简单的图形方法来确定控制系统，运行过程控制系统的分析，为控制体系进行调试提供了可能。拉普拉斯变换是通过0T的连续时间函数XT再通过关系式0STXSXED式中T为自然对数底E的指数变换为复变量S的函数XS。这就是时间函数T用“复频域”表示的方法。它的功能是主要是转换，它是以使计算简单为目的的，主要是真实变量和复杂的变量间变换功能。对于复参数S，函数STFE于（，）的积分，称为函数FT的（双边）拉普拉斯变换，简称拉氏变换。如果是在0,积分，称为单侧拉普拉斯变换，用FS表示，它是一个复变函数。设一个系统的输入函数为XT，输出函数为YT，则T的拉氏变换YS与XT的拉氏变换XS的商WSYXS称为这个系统的传递函数。传递函数是由系统的性质决定的，是独立的输入量。了解了传递函数的概念后，就能够已知输入量求得到输出量，也可以根据输出量的要求得出输入量。不难看出有关传递函数的理论在现代的控制理论扮演着重要的角色。能观测性考察的是系统的输出量Y对状态量X的观察能力。与能控性对应，能观测性也有三种判断规则1、利用能观测性的判定矩阵来判断。满秩。1NGCAQ2、利用对角约当规范型来判断。为了加深对对角约当规范型的理解，这里首先详细介绍一下约当阵。约当阵的数学定义矩阵具有N个特征值，它的前M个特征值是相同的，后NM个特征值是不相同的，我们知道前M个相同的特征值对应一个独立的特征向量1P，但是后面NM个不一样的特征值表示的特征向量也是不一样的。记为PM1，PM2，等等。令P1天津科技大学2014届本科生毕业设计312PPM1PM2PN,有1JPA，1表示P的逆矩阵，J为约当阵。约当阵最明显的特征是方阵A的对角线上所有元素都是矩阵的特征值，对角线上侧还有许多1。此外,约当阵都包含约当块，有几个特征向量就有几个约当块，因为每一个特征向量都有对应的约当块。当方阵A是能对角化的矩阵时，这时约当阵就是对角化矩阵。在现代的控制论中，线性系统的状态