凸函数的性质研究毕业论文完整版

凸函数性质研究1凸函数性质研究摘要凸函数是分析学中一类重要的函数，最早是由JENSEN提出。它在纯粹数学与应用数学等诸多领域中应用十分广泛，现已成为对策论、数学规划、分形学、最优控制和数理经济学等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强其在实践中的应用，凸函数的性质还在不断研究和完善中。本文将散见于各文献中凸函数的概念进行了系统的归纳和总结，并给出了凸函数常见的判定定理，进而研究了凸函数的常用性质，列举了与凸函数相关的著名不等式；由于凸函数的定义是由不等式给出的，其广泛应用主要体现在不等式的证明中。基于此，本文主要通过对凸函数的概念和性质进行系统的总结和研究，探索出凸函数在一般不等式，JENSEN不等式，HOLDER不等式，CAUCHY不等式，YOUNG不等式，及HADAMARD不等式证明中的应用，并简要阐述了凸函数在其它领域的贡献。关键词凸函数；不等式；导数；单调性凸函数性质研究2STUDYONTHEPROPERTIESOFCONVEXFUNCTIONABSTRACTCONVEXFUNCTIONWHICHWASFIRSTPROPOSEDBYJENSENISAKINDOFIMPORTANTFUNCTIONSINANALYTICSITISWIDELYUSEDINPUREANDAPPLIEDMATHEMATICS,ETCCONVEXFUNCTIONBECOMESTHETHEORETICALBASISANDTHEPOWERFULTOOLOFTHEGAMETHEORY、MATHEMATICALPROGRAMMINGTHEORY、ANALYSIS、MATHEMATICALSCIENCE、ECONOMICSANDOTHERDISCIPLINESINORDERTOHAVEATHEORETICALBREAKTHROUGHWHICHCOULDSTRENGTHENTHEAPPLICATIONINPRACTICE，THEPROPERTIESOFCONVEXFUNCTIONAREBEINGRESEARCHEDINTHISARTICLE,THEWRITERSMAINWORKISSUMMARIZINGTHEVARIOUSCONCEPTSOFCONVEXFUNCTIONSWHICHDEVELOPEDINDIFFERENTMATHEMATICALBOOKSFURTHERMORE,THEWRITERALSOGIVESSOMEDEFINITIONSOFCOMMONTHEOREMSANDALSOENUMERATESTHEFAMOUSINEQUALITIESRELATEDTOCONVEXFUNCTIONBECAUSETHEDEFINITIONOFCONVEXFUNCTIONISGIVENBYINEQUALITIES，ITSAPPLICATIONMAINLYREFLECTSINTHEPROOFOFINEQUALITYTHEWRITERMAINLYSUMMARIZESCONCEPTSANDPROPERTIESOFTHECONVEXFUNCTIONANDEXPLORESITSAPPLICATIONINTHEGENERALINEQUALITYSUCHASJENSENINEQUALITY,HOLDERINEQUALITY,CAUCHYINEQUALITY,YOUNGINEQUALITYANDHADAMARDINEQUALITYATLAST,ITDISCUSSESTHECONTRIBUTIONOFCONVEXFUNCTIONINOTHERFIELDSBRIEFLY凸函数性质研究3目录摘要1第一章绪论411凸函数的产生和发展412凸函数研究的目的和意义4第二章凸函数的定义及判定521凸函数的定义及关系522凸函数的判定定理7第三章凸函数的性质1131凸函数的一般性质1132凸函数的运算性质1233凸函数的微分性质1434凸函数的积分性质1535凸函数的其他性质16第四章凸函数的应用1941利用凸函数证明经典不等式1942凸函数的经典不等式在证明不等式中的应用52143利用凸函数的定义证明一般不等式82244凸函数在积分不等式中的应用2345凸函数在其它领域的应用简述25451凸函数在生产函数中的应用25452凸函数在消费者效用最大化问题中的应用26第五章结论26参考文献27致谢28凸函数性质研究4第一章绪论11凸函数的产生和发展函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的重点研究对象，而凸函数则是其中独特的一类。凸函数的概念最早见于JENSEN的著作中。起初，人们并不看好凸函数，但随着上世纪40年代杜克和冯诺伊曼等人对策论和数学规划的研究，凸函数开始引起人们的注意。凸函数的产生给人们带来了一种新的研究函数的工具，其独有的性质引起了人们“认识”它的欲望，从上世纪50年代初到60年代末，不少的数学家相继对凸函数进行了大量的研究，上世纪60年代中期产生了凸分析。从此，凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来了。本世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在数学，经济等领域得到了广泛应用。凸函数的特殊性质决定了其在函数领域的特殊地位。到目前为止，凸函数的研究已经从简单的定义研究发展到对其性质的研究，再到其凸性在各个领域应用的研究。由于人的求知欲是无限的和科技的不断发展，人们对凸函数的研究还在不断进行中。12凸函数研究的目的和意义在众多的数学思想方法中，运用最多的就是函数思想，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证。凸函数是一种性质特殊的函数，也是函数中一种应用比较广泛的函数。除了在数学学科，例如函数论、数学分析、最优理论、泛函分析等中得到广泛应用，在现代优化学、工程测绘学和管理学等多个学科也有着很好的应用和重要的意义。基于凸函数性质的良好性和应用的广泛性，对凸函数的性质与应用进行系统的总结和研究，对其理论进一步深入研究和推广，就显得尤为重要。在现行的高等数学教材中，各个版本对凸函数的定义有所差异。本文在现有的书籍和文献的基础上，总结归纳出凸函数的各种定义，探讨了其常见的判定条件，并给出了证明过程，从而进一步列举了凸函数常用的性质，结合凸函数的概念和性质，总结了凸函数在一般不等式和经典不等式证明中的应用，在本文的最后，简单叙述了凸函数在生产中及经济等其它领域的广泛应用。通过本次课题的研究，将对凸函数的有更加全面、深刻的理解，便于今后更好的运用凸函数解决复杂的问题。凸函数性质研究5第二章凸函数的定义及判定大家都熟悉2FXX的图像，它的特点是曲线2YX上任意两点间的连线总在其弧线的上方，我们把具有这一类特性的曲线函数称为凸函数。4上面的定义是几何描述型的，为了更加规范，我们给出了凸函数的科学定义。21凸函数的定义及关系定义1设FX为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点1X，2X和任意实数01,，总有121211FXXFXFX（11）则称FX为区间I上的（下）凸函数。（11）式中“”变成“,对任何12,XXAB，有1212XXLXFXF。证明由已知条件，可取,ABI，使得,AABB，任取,XYAB，因为F为凸函数，故不等式FAFAFAFXFYFXAAAXYX凸函数性质研究18FBFYFBFBBYBB令MAX,FAFAFBFBLAABB,则不等式等价于2121FXFXLXX，,XYAB由于上述常数L与,AB中的点12,XX无关，因此XF在,BA上满足LIPSCHITZ条件存在0L,使得1212XXLXFXF对任何,21XX都成立。凸函数性质研究19第四章凸函数的应用不等式证明是数学中常见的证明类型，对于一些比较复杂的不等式，证明起来非常困难，繁琐，但利用凸函数的性质和定义来证明便可以非常巧妙、简洁。证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数。41利用凸函数证明经典不等式例4114（平均值不等式）设01,2,IAINL，试证121212111NNNNAAANAAANAAALLL证明先证1212NNNAAAAAANLL设LN0FXXX，有1FXX，210FXX，由凸函数定义，FX为凸函数，令IIXA，11,2,IINNL，由詹森不等式得1212NNFAFAFAAAAFNNLL，即1212LNLNLNLNNNAAAAAANNLL，亦1212LNLNNNAAAAAANNLL，因此1212NNNAAAAAANLL。再证1212111NNNNAAAAAALL令1IA取代1,2,IAINL，有凸函数性质研究201212111111NNNAAAAAANLL，即1212111NNNNAAAAAALL证毕。例412（霍尔德（HOLDER）不等式）设,01,2,IIABINL，试证11111NNNPQPQIIIIIIIABAB，其中1P，1Q，111PQ。证明（1）当1N时，仍令LN0FXXX，取1PXA，2QXB，11P，21Q，则121，且LNLNLNPQPQABABPQPQ，即PQABABPQ。（2）当1N时，在上不等式中，令11KNPPIIAAA，111,2,KNQQIIBBKNBL，有11111111PQKKKKNNPQNNPQPQIIIIIIIIABABPQABAB，化简得11111NNNPQPQIIIIIIIABAB。例413（柯西（CAUCHY）不等式）若,IIABR，试证222111NNNIIIIIIIABAB，等号成立，当且仅当IA与IB成比例凸函数性质研究21证明设2FXX，XR，则20FX，1,2,IN，由凸函数的判定定理知2FXX在R上是凸函数，再由JENSEN不等式得2211NNIIIIIIXX,令221IINIIBB，IIIAXB，且210NIIB，代入上式得2222221111NNIIIINNIIIIIIIIBABABBBB，即222111NNNIIIIIIIABAB例414（YOUNG不等式试证XYXY，其中,YX均为正数，且1。证明令LN0FXXX，则210FXX，故XF为凸函数。则有LNLNLNLNFXYFXFYXYXY，即LNLNXYXY，由XEY的单调性得LNLNYXYXEE，所以XYXY。42凸函数的经典不等式在证明不等式中的应用5例421试证不等式3ABCABCABC（ABC）成立，其中,ABC均为正数。证明设LN0FXXXX,则LN1FXX，10FXX，所以FX为凸函数，由JENSEN不等式有凸函数性质研究22133ABCFFAFBFC,即1LNLNLNLN333ABCABCAABBCC，从而3ABCABCABCABC（），又因33ABCABC,所以有3ABCABCABC（ABC）。例422设0IA，01,2,IBIN，试证111222222111NNNIIIIIIIABAB。证明由CAUCHY不等式，得22211112NNNNIIIIIIIIIIABAABB1122222211112NNNNIIIIIIIIAABB211222211NNIIIIAB即111222222111NNNIIIIIIIABAB43利用凸函数的定义证明一般不等式8不等式是数学学科中一个重要的组成部分，不等式最关键的就是对它的证明，而有些不等式用常规的证明方法显的十分麻烦和困难，如借助凸函数的定义去证明便十分便捷，如下几例。例431对,ABR，有212ABABEEE。证明设XFXE，则0XFXFXE，由定义知FX在R上是凸函数，取12，则凸函数性质研究231111122222ABFABFFAFB，即212ABABEEE。例432试证对任意的非负实数,XY，有YXYXARCTANARCTAN2ARCTAN2。证明令ARCTANFTT,0,1T，则22201TFTT,因此FT在0,上是凸函数，由函数凸性的判定定理1可知对任意的非负实数,XY，有22YXFYFXF，从而2ARCTAN2ARCTANARCTANYXYX所以YXYXARCTANARCTAN2ARCTAN2证毕。由此可见，应用JENSEN不等式或凸函数的性质和定义来证明不等式时，辅助函数的选取至关重要，通常要对证明的不等式进行分析，从而选取合适的凸函数以达到证明的需求。44凸函数在积分不等式中的应用例441设F为I上的连续凸函数，则对任意12,XXI，且12XX，恒有21121221122XXFXFXXXFFTDTXX。上不等式称为HADAMARD不等式。证明令121,0,1TXXX，有2111210211XXFTDTFXXXDXX，同样，令221TXXX，则有凸函数性质研究242112210211XXFTDTFXXXDXX，从而21111212210021112XXFTDTFXXXDFXXXDXX，因为121XXX和221XXX关于122XX对称，且FX为凸函数，所以21122112XXXXFTDTFXX，又因FX为凸函数，进而21121021121011222100121111222XXFTDTFXXDXXFXFXDFXFXFXFX例442设,FRAB，且MFXM，,XAB，X是,MM上连续凸函数，求证11BBAAFXDXFXDXBABA证明将区间,ABN等分，分点为012NAXXXXBL，因X是凸函数，知111NNFXFXFXFXNNLL，即1111NNIIIIBABAFXFXBANBAN，由于,FRABCMM，知,FRABO。当N时对上式两端取极限得凸函数性质研究2511BBAAFXDXFXDXBABA。45凸函数在其它领域的应用简述451凸函数在生产函数中的应用通过大学阶段的课程学习，我们知道经济学中的许多重要决策，比如投资就和数学有关，由此可以看到数学与经济学紧密相关。在做决策时，经济学家需要用到数学知识所计算出来的结果，为他们的分析提供强有力的依据和支持。我们通过下面的例子，探讨凸函数在生产函数中的应用。生产函数在经济学中的定义是在既定的工程技术知识水平下，给定的投资所能够得到的最大的产出。换句话来说，它描述的就是在目前技术下，某产品的最大产出量与其所需要素的投入量之间的关系。生产函数一般可分为两类一种可变投入生产函数，多种可变投入生产函数。前者通常研究短期生产，而后者一般考察长期生产。生产函数Q可以表示为,QFLKNE式中变量L表示产量，K表示投入劳动，N表示资本，E表示土地和企业家。通常情况下，我们可以将其简化为,QFLK在经济增长中我们遇到的生产函数涉及面很广泛，现在我们考察凸生产函数模型。令总产量为TPQ，平均产量为AP，边际产量（在其他投入量保持不变的情况下，由于新增一个单位的投入而由此多生产出来的产量或者产出）为MP，假设,QFLK为连续的。故可得LQAPL,KQAPKLDQMPDL，KDQMPDK假如生产函数在某一个区间上是凸函数，那么由凸函数的性质可知在该区间上其二阶微分20DQ，即边际产量的微分0DMP。根据凸函数性质可知，可导凸函数的导函数为单调递增，由此我们可以知道当生产函数为凸函数的时候，边际产量是递增的，即社会总产量的增长率为递增，这时经济处于增长状态。相反，如果生产函数为凹函数，那么边际产量的微分0DMP，即随着资本和劳动的投入，总产量会减少。综上，我们可以得出这样的一个结论在给定的技术条件下，如果生产函数凸函数性质研究26为凸函数，那么经济处于增长的状态，这时我们应该加大资本和劳动的投入从而获取更大的产出9。452凸函数在消费者效用最大化问题中的应用效用在经济学中是指消费者在消费的时候所感受到的满意度。如何使消费者效用最大化，是经济学中一个重要的研究内容。假设现在有N种商品，IX表示第I种商品的数量，那么消费能以购买的商品组合为12,INXXXXX,这也被称做消费组合。令U表示消费者满意度，那么效用函数就能表示为12,INUUXXXX。对于上述的效用函数，我们还可以利用满意度大小对其进行赋值。将满意度比较大的消费组合赋予较大的值，将满意度比较小的消费组合赋予较小的值，将满意度相等的消费组合赋予相同的值。因为消费者对商品满意度的值很难确定，所以实际生活中，效用函数通常用来反映某消费者对商品额满意度的顺序。当然，消费者在实现效用最大化的同时还会受到预算的约束。预算集是预算的一个集合，它表示在一定的商品价格和消费者收入的条件下，消费者能买到商品的消费组合。将M表示消费者的收入，PP1,P2,PN表示商品价格的集合，那么预算集就可以表示为BP,MXX|XPTM。故消费者效用最大化问题就可以看作在预算集中选择最优的消费组合,令效用函数U最大。通过对凸函数性质的运用，我们就可以准确地选择出合适的消费组合，从而使消费者效用达到最大化。第五章结论凸函数是一类具有特殊性质的辅助函数，凸函数的许多性质在数学的诸多领域如数学规划、泛函分析、黎曼几何、复分析乃至经济学等中应用甚广。随着科技日新月异的发展和网络的快速普及，人们对于凸函数的理解越来越系统，研究也越来越全面，特别是有关凸函数的应用方面，许多数学家和爱好者都对其进行了广泛的研究，这些研究成果都为我们更好的认识凸函数做出了巨大的贡献。本文主要是对前人的研究进行整理、归纳和总结，当然也有自己的一些观点。在这次课题的研究中，我们认识到凸函数的定义及性质是整个研究的基石，无论是研究其浅显的概念，还是广泛的应用，我们都应该从它的定义和性质入手。凸函数的性质有很多，我们在研究它的应用时应该做到“对症下药”，只有正确的运用凸函数的各个性质，我们的研究才能达到事半功倍的效果。凸函数性质研究27参考文献1常庚哲，史济怀数学分析教程上册北京高等教育出版,200352崔尚斌数学分析教程上册北京科学出版社,20133叶淼林数学分析上册合肥中国科学技术大学出版社,201214杜其奎数学分析精读讲义北京科学出版社,20125华东师范大学数学系编数学分析第四版上册北京高等教育出版社,201076吴传生主编数学分析（上、下册）习题精读合肥中国科技大学出版社,200497彭立中，谭小江数学分析第1册北京高等教育出版社,200578梅加强数学分析北京高等教育出版社,201179陈秋涵凸函数在微观经济学中的应用科技通报第30卷，第5期，2014510RUDINWPRINCIPLESOFMATHEMATICALANALYSIS3EDMCGRAWHILL