考研数学二历年真题答案详解2003—2013

数学二历年考研试题及答案详解（2032013）12013年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析数学二试题解析数学二试题解析数学二试题解析一、选择题18小题每小题4分，共32分【详解】显然当0X时21SIN,21SIN1COS2XXXXXXX，故应该选（C）2【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义【详解】将0X代入方程得10FY，在方程两边求导，得01SINYYXYYXY，代入1,0YX，知100FY202202LIM212LIMFNFNFNFNNN，故应该选（A）【详解】只要注意X是函数XF的跳跃间断点，则应该是XDTTFXF0连续点，但不可导应选（）【详解】EEDXXXXDXDXXF1111LN1，其中101111EETDTXDX当且仅当1A才收敛从而仅当20XF，函数单调递增所以函数在1X处取得最小值11F（2）证明由于11LN1，NS是单调递增的，可知当数列NS有界时，NS收敛，也即LIMNNS是存在的，此时有11LIMLIMLIMLIM0NNNNNNNNNASSSS，也即NA收敛。反之，NA收敛，NS却不一定有界，例如令1NA，显然有NA收敛，但NSN是无界的。故数列NS有界是数列NA收敛的充分非必要条件，选B。（4）【答案】D【解析】由于当,2X时SIN0X。又由于2223232SINSINSINXXXEXDXEXDXEXDX，对232SINXEXDX做变量代换TX得222232222SINSINSINSINTTXXEXDXETDTETDTEXDX，故22232SINSINXXXEXDXEEXDX由于当,2X时22SIN0,0XXXEE，也即310II，可知31II。综上所述有213III，,0FXYY时，必有1122,FXYFXY，故,FXY在点1,0处取得极小值121,0FE（17）【解析】如图设切点坐标为00,LNAXX，斜率为01X，所以设切线方程为0001LNYXXXX，又因为该切线过0,1B，所以20XE，故切线方程为211YXE切线与X轴交点为2,0BE数学二历年考研试题及答案详解（2032013）1（1）22222200111YYAEEYDYEEYYE（2）2222222221221122112221LN38LNLN3842LN382133EEEEEVEEXDXEXXXDXEEXXDXEEE（18）【解析】DRDRRRDXYD0COS10SINCOS40401SINCOS1COS41COS1COSCOS4DD令COSU得，原式14116415UUDU。（19）【解析】1）特征方程为022RR，特征根为2,121RR，齐次微分方程20FXFXFX的通解为XXECECXF221再由2XFXFXE得21222XXXCECEE，可知12,0CC。故XFXE2）曲线方程为220XXTYEEDT，则22012XXTYEEDT，2220221XXTYXXEEDT令0Y得0X。为了说明0X是0Y唯一的解，我们来讨论Y在0X和0X时，222020,210XXTXXEEDT，可知0Y；当0X，所以221SIN01XXXXI，故0FX。而00F，即得21LNCOS1012XXXXX，也即21LNCOS112XXXXX。当10X，所以221SIN01XXXXI，故0FX。而00F，即得，21LNCOS1012XXXXX也即21LNCOS112XXXXX。当0X时，显然有21LNCOS112XXXXX。可知，21LNCOS1,1112XXXXXX，再由数学二历年考研试题及答案详解（2032013）13111122101222NNFAAAAXXAXXXDTTXFAXAXXAXXXDTTXFAXFAAXAXAXXXAXAXAXXXX于是所以得得，当所以结论不正确因为当16解没找到答案，望见谅17解数学二历年考研试题及答案详解（2032013）171,1,1,1211212111221FFFYXZXYGXFXGXYGXFXYXYGXFYXZXGYXYGXFYXYGXFXZXA解22,2,022,2,211,21LN,1LN,1,1,SEC,TAN22222221122110,00222XXXXXXXYYYEYCOYCEDXEEYEEPEPPCCXPPPPDXDPDXDPYPYYYYYDXDXDXDY故所以因为平方解得故带入初始条件得变量分离得于是有则令于是有即求导得两边对19解。单调递减有界，故收敛单调递减即其中即应用中值定理，在NNNNNNNNNNANNNNNNNNNNAAAAAANNNNNNAANNANNNNNNNNNXXF01LL1LNL1L2/3LN2LNL11LN211LN12/1,01,111L1LN111LN112/1211LN111,11111,101111LN1LN1LN1,01LN11111TTTTCCTTDTTTTTTTCTUCTTCDTETEUTUUTUTTTTTTTTTDXYDTTTTTTTTTDXYDTTDXDYTDTTDTT（于是知由于是知由有设从而，（故（由题设18解433243621SS,4362COS12COSSIN12S,COS,SIN,12SS21SS121606022202222112222ABLPLPABABABLPABDTTABTDTTABTDTBDYTBYDYBYAXABBYAXB于是油的质量为则设，则轴上方阴影部分的面积是位于记为下半椭圆面积，则记椭圆所围成的图形。图中阴影部分为油面与油罐底面椭圆方程为如下图建立坐标系，则XYS2S1数学二历年考研试题及答案详解（2032013）219解2,5252,2,5252,22,0812105252,22,252,520412504125041258121041252,2,2222222222222222222222222BABABABABAABBABABABABBAAUBBUBAABUAAUBUABUAXUUBUAYUUUUXUUUXU或故，舍去由，解得由题意，令（，得将以上各式代入原等式201631COS3131,SIN113113111211SINCOS1SIN204023200232222022102222222TDTITXDXXDXYXYXDYXDXDXDYYXYDRDRRRIXXDD则设由题设知，2102121011,2,2121211,21,0210210211,221,001,00312222223FFFFFFFFFFFFFFFFXXFXF即二式相加，得值定理，有上分别应用拉格朗日中和在，由题意知证设函数2数学二历年考研试题及答案详解（2032013）23为任意常数。其中的通解为所以时，当有解，（变换的增广矩阵施以初等行时，对当舍去。所以时，因为当。或于是的一个非零解，故是个不同的解，则的为设KKXBAXBAABAXBAABABAXBAXBARRAAXBAX,10101321,021230000101012,12221230000101011111020111,1,111,01102,12212123为所求矩阵。故则有令），（的一个单位特征向量为属于特征值），（的一个单位特征向量为属于特征值的特征值为所以的特征多项式由于解得的一个特征向量，于是为），解由题设，（QAQQAAEAAAAATTT,452,213161031622131611021411354,5,2,4522,1,12112104314101211211T数学二历年考研试题及答案详解（2032013）242009年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析数学二试题解析数学二试题解析数学二试题解析一、选择题（1）【答案】C【解析】3SINXXFXX则当X取任何整数时，FX均无意义故FX的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30XX的解1,2,30,1X320032113211131LIMLIMSINCOS32LIMLIMSINCOS32LIMLIMSINCOSXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX故可去间断点为3个，即0,1（2）【答案】A【解析】2SIN,1FXXAXGXXLNBX为等价无穷小，则222200000SINSIN1COSSINLIMLIMLIMLIMLIMLN136XXXXXFXXAXXAXAAXAAXGXXBXXBXBXBX洛洛230SINLIM166XAAXABBAXA36AB故排除,BC另外201COSLIM3XAAXBX存在，蕴含了1COS0AAX0X故1A排除D所以本题选A（3）【答案】D【解析】因DZXDXYDY可得,ZZXYXY数学二历年考研试题及答案详解（2032013）252222221,0,1ZZZZABCXXYYXY又在（0，0）处，0,0ZZXY210ACB故（0，0）为函数,ZFXY的一个极小值点（4）【答案】C【解析】222211,XXDXFXYDYDYFXYDX的积分区域为两部分1,12,2DXYXXY，2,12,4DXYYYXY将其写成一块,12,14DXYYXY故二重积分可以表示为2411,YDYFXYDX，故答案为C（5）【答案】B【解析】由题意可知，FX是一个凸函数，即0FX数学二历年考研试题及答案详解（2032013）26由零点定理知，在1,2上，FX有零点故应选（B）（6）【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由YFX的图形可见，其图像与X轴及Y轴、0XX所围的图形的代数面积为所求函数FX，从而可得出几个方面的特征0,1X时，0FX，且单调递减1,2X时，FX单调递增2,3X时，FX为常函数1,0X时，0FX为线性函数，单调递增由于FX为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D（7）【答案】B【解析】根据CCE若111,CCCC分块矩阵00AB的行列式2012360AABB（）即分块矩阵可逆11110000066000100BAAABBBBAA10023613002BBAA（8）【答案】A【解析】122312312312100,110,1001QE，即数学二历年考研试题及答案详解（2032013）27121212121221121111110010101002110100100210010010110110001002001002TTTTTQPEAPEAPEEPAPEEE二、填空题（9）【答案】2YX【解析】22122LN22TDYTTTTDTT21111TTDXEDT所以2DYDX所以切线方程为2YX（10）【答案】2【解析】001122LIMBKXKXKXBEDXEDXE因为极限存在所以0K，故1XE为2XY的极小值点，此时2EY，又当10,XE时，0YX，故Y在10,E上递减，在1,E上递增而11Y，002022LNLIMLIM11LIM222LN000LIMLIM1XXXXXXXXXXXXXYEEEE，所以2XY在区间01，上的最小值为21EYE14【答案】2数学二历年考研试题及答案详解（2032013）29【解析】因为T相似于200000000，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T得特征值是2,0,而T是一个常数，是矩阵T的对角元素之和，则T202三、解答题（15）【解析】244001LN1TAN1COSLN1TANLIMLIMSINSINXXXXXXXXXX22201LN1TANLIM2SINSINXXXXXX201LN1TAN1LIM2SIN4XXXX（16）【解析】令1XTX得2221,11TDTXDXTT22211LN1LN11LN111111XDXTDXTTDTTTT而2211111114111111LN1LN12441DTDTTTTTTTTCT所以221LN1111LN1LN14121111LN1LN12211111LN1LN1222XTTDXCXTTTXXXXXCXXXXXXXXXXCX（17）【解析】数学二历年考研试题及答案详解（2032013）30123123ZFFYFXZFFXFY1231232111213212223331323331122331323111111ZZDZDXDYXYFFYFDXFFXFDYZFFFXFFFXFYFFFXXYFFFXYFXYFXYF（18）【解析】解微分方程20XYY得其通解212122,YCXCXC其中，为任意常数又因为YYX通过原点时与直线1X及0Y围成平面区域的面积为2，于是可得10C1112232220002233CCYXDXXCXDXXX从而23C于是，所求非负函数2230YXXX又由223YXX可得，在第一象限曲线YFX表示为11313XY（于是D围绕Y轴旋转所得旋转体的体积为15VV，其中552210050113192321393918VXDYYDYYYDY395117518186V数学二历年考研试题及答案详解（2032013）31（19）【解析】由2211XY得2SINCOSR，32SINCOS4COSSIN04DXYDXDYDRRRDR332SINCOS14COSSIN034RD2384COSSINSINCOSSINCOS34D3384COSSINSINCOS34D334438814SINCOSSINCOSSINCOS3344D83（20）【解析】由题意，当0X，30，符合3若30，即1A，则110，且16Y故曲线的拐点为1,613【答案】2LN212【详解】设,YXUVXY，则VZU所以121LNVVZZUZVYUUUXUXVXXY2LN11LNXYVVYUYYUUXYXYX所以1,22LN212ZX14【答案】1【详解】|236A3|2|2|AA326481数学二历年考研试题及答案详解（2032013）38三、解答题15【详解】方法一4300SINSINSINSINSINSINSINLIMLIMXXXXXXXXX22220001SINCOSCOSSINCOS1COSSIN12LIMLIMLIM3336XXXXXXXXXXX方法二331SIN6XXXOX331SINSINSINSINSIN6XXXOX4444400SINSINSINSINSINSIN1LIMLIM66XXXXXXOXXXX16【详解】方法一由20XDXTEDT得2XEDXTDT，积分并由条件0TX得21XET，即2LN1XT所以2222LN11LN11DYDYTTDTTTDXTDXDTT2222221LN12LN121DTTDYDDYTTTDTDXTDXDXDXDTT221LN11TT方法二由20XDXTEDT得2XEDXTDT，积分并由条件0TX得21XET，即2LN1XT所以2222LN11LN11XDYDYTTDTTTEDXTDXDTT所以221XDYEDX17【详解】方法一由于221ARCSINLIM1XXXX，故2120ARCSIN1XXDXX是反常积分令ARCSINXT，有SINXT，0,2T数学二历年考研试题及答案详解（2032013）39221222220000ARCSINSINCOS2COSSINCOS21XXTTTTTDXTDTTTDTDTTX2222200001SIN1SIN2SIN2441644TTTTDTTDT222011COS168164T方法二2120ARCSIN1XXDXX1220ARCSIN2XDX121122220001ARCSINARCSINARCSIN8XXXXDXXXDX令ARCSINXT，有SINXT，0,2T1222200011ARCSINSIN2COS24XXDXTDTTDT222200111COS2COS24164TTTTDT故，原式2116418【详解】曲线1XY将区域分成两个区域1D和23DD，为了便于计算继续对区域分割，最后为MAX,1DXYDXDY123DDDXYDXDYDXDYDXDY1122222111000221XXDXDYDXDYDXYDYO052XD1D3D2数学二历年考研试题及答案详解（2032013）401512LN2LN2419LN2419【详解】旋转体的体积20TVFXDX，侧面积2021TSFXFXDX，由题设条件知22001TTFXDXFXFXDX上式两端对T求导得221FTFTFT，即21YY由分离变量法解得21LN1YYTC，即21TYYCE将01Y代入知1C，故21TYYE，12TTYEE于是所求函数为12XXYFXEE20【详解】I设M与M是连续函数FX在,AB上的最大值与最小值，即MFXM,XAB由定积分性质，有BAMBAFXDXMBA，即BAFXDXMMBA由连续函数介值定理，至少存在一点,AB，使得BAFXDXFBA即BAFXDXFBAI由I的结论可知至少存在一点2,3，使3232XDX又由322XDX，知23112，12LN10LN2UU，而LNFN发散，则可排除（A）；取21FXX，460FXX，1214UU，而21FNN收敛，则可排除（B）；取2FXX，20FX，124UU对任意1,X，因为0FX，所以10FXFC，对任意21,，121FXFFXX故选（D）【评注】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算7【分析】本题考查二元函数可微的充分条件利用可微的判定条件及可微与连续，偏导的关系【详解】本题也可用排除法，（A）是函数在0,连续的定义；（B）是函数在0,处偏导数存在的条件；（D）说明一阶偏导数0,0,0,0XYFF存在，但不能推导出两个一阶偏导函数,XYFYFXY在点0,处连续，所以（A）（B）（D）均不能保证,FXY在点0,处可微故应选（C）事实上，由22,0,0,0LIM0XYFXYFXY可得22200,00,0,00,0LIMLIM00XXFXFFXFXXXX，即0,00,XF同理有0,00YF从而0,0,00,00,0LIMXYFXYFFXFY数学二历年考研试题及答案详解（2032013）482200,0,0,0,0LIMLIMFXYFFXYFXY根据可微的判定条件可知函数,FXY在点0,处可微，故应选C【评注】二元函数连续或偏导数存在均不能推出可微，只有当一阶偏导数连续时，才可微8,【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分【详解】由题设可知，,SIN12XXY，则01,ARCSINYYX，故应选（B）【评注】本题为基础题型画图更易看出9【分析】本题考查由线性无关的向量组123,构造的另一向量组123,的线性相关性一般令123123,A，若0A，则123,线性相关；若0A，则123,线性无关但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项【详解】由1223310可知应选（A）或者因为122331123101,110011，而1011100011，所以122331,线性相关，故选（A）【评注】本题也可用赋值法求解，如取TTT1231,0,0,10,0,1，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项10【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A的特征值，并考虑到实对称矩阵A必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案【详解】由22111213112EA可得123,0，所以A的特征值为3,0；而B的特征值为1,0所以与B不相似，但是A与的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A与B合同，故选（B）【评注】若矩阵A与B相似，则A与B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值数学二历年考研试题及答案详解（2032013）49所以通过计算A与B的特征值可立即排除（A）（C）1【分析】本题为00未定式极限的求解，利用洛必达法则即可【详解】232001COSARCTANSINLIMLIM3XXXXXXX2201COS1LIM3XXXX202COSSIN1111LIM6366XXXXXX【评注】本题利用了洛必达法则本题还可用泰勒级数展开计算因为333311ARCTAN,SIN6XXXOXXXXOX，所以30ARCTANSIN1LIM6XXXX12【分析】本题考查参数方程的导数及导数的几何意义【详解】因为44DCOS2DSIN2COSIN22TTYTXTTT，所以曲线在对应于4T的点的切线斜率为222，故曲线在对应于4T的点的法线斜率为222【评注】本题为基础题型13【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式【详解】212,2323YYXX，则11223NNNNYXX，故11203NNNNY【评注】本题为基础题型14【分析】本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通解，利用二阶常系数非齐次微分方程解的结构求解，即先求出对应齐次方程的通解Y，然后求出非齐次微分方程的一个特解Y，则其通解为YYY【详解】对应齐次方程的特征方程为数学二历年考研试题及答案详解（2032013）50212430,3，则对应齐次方程的通解为312EEXXYCC设原方程的特解为2EXYA，代入原方程可得22224E8E3E2E2XXXXAAAA，所以原方程的特解为22EXY，故原方程的通解为3212EE2EXXXYCC，其中12,C为任意常数【评注】本题为基础题型15【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可【详解】利用求导公式可得1221ZYFFXXY，122ZXFFYXY，所以122ZZYXXYFFXY【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性16【分析】先将3A求出，然后利用定义判断其秩【详解】3010000010010000010001000000000000AARA【评注】本题考查矩阵的运算和秩，为基础题型17【分析】对含变上限积分的函数方程，一般先对X求导，再积分即可【详解】100COSSINDDSINCOSFXXTTFTTTTTT两边对X求导得1SINSINCOSXXXFFXFXXX数学二历年考研试题及答案详解（2032013）51COSSINCOSSINSINCOSSINCOSXXXXXXFXFXXXXX，（0X）两边积分得LN|SINCOS|FXXXC（1）将0X代入题中方程可得00100COSSINDD0SINCOSFTTFTTTTTT因为FX是区间0,4上单调、可导的函数，则1FX的值域为0,4，单调非负，所以00F代入（1）式可得0C，故LN|SINCOS|FXXX【评注】利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一18【分析】VA的可通过广义积分进行计算，再按一般方法求VA的最值即可【详解】（）00DDLNXXAAAVAXXA2200220DLNLNLNLNXXXAAAAXAAAAAAA（）令224312LNLN2LN10LNLNAAAAAAVAAA，得EA当EA时，0VA，VA单调增加；当1EA22SINCOS10SINCOSDDR2LN1223【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得A【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组123123212312300401XXXXXAXXXAXXXXA其系数矩阵2211011101200110140031012110101AAAAAAA数学二历年考研试题及答案详解（2032013）521110111001100110003200011001100120AAAAAAAAAA显然，当1,2AA时无公共解当1A时，可求得公共解为T1,0,1K,K为任意常数；当2A时，可求得公共解为T0,1【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构（24）【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质【详解】（I）535353111111111114442BAAE，则1是矩阵B的属于2的特征向量同理可得532222241B，53333341B所以B的全部特征值为2，1，1设B的属于1的特征向量为T2123,XX，显然B为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T120即1230XXX，解方程组可得B的属于1的特征向量TT212,0,10,10KK，其中12,K为不全为零的任意常数由前可知B的属于2的特征向量为T31,1K，其中3K不为零（I）令101011101P，由（）可得1100010002PBP，则01110110B数学二历年考研试题及答案详解（2032013）56【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为AXX的形式请记住以下结论（1）设是方阵A的特征值，则21,KAAABEAFAA分别有特征值21,AKABF可逆），且对应的特征向量是相同的（2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的2006年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析数学二试题解析数学二试题解析数学二试题解析一、填空题（1）15Y4SIN11LIMLIM2COS55XXXXYX（2）1322001LIMLIM33XXSMXFXX（3）12022220011111101212122XDXDXXXX（4）XYCXE0X（5）E当X0时，Y1，又把方程每一项对X求导，YYYEXE00111XXYYYYYEYXEEYEXE62解由BAB2E化得BAE2E,两边取行列式,得数学二历年考研试题及答案详解（2032013）57|B|AE|2E|4,计算出|AE|2,因此|B2二、选择题（7）A由0FXFX可知严格单调增加0FXFX可知是凹的即知（8）B（9）C1GXHXGXE，1112GEG1LN21（10）D将函数21XXXYCECE代入答案中验证即可（1）C（12）D,01,02,0XXXYYYFFXYXYFYYFFXYXYXY令今000000,0,YYYFXYXYXY代入1得00000000,YXXYFXYYFYXY今00000000,0,0,0XYXYFYFXYYFXY则故选D13A本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解若1,2,S线性相关,则存在不全为0的数C1,2,CS使得C11C22CSS0,用A左乘等式两边,得C1A1C2A2CSAS0,于是A1,A2,AS线性相关数学二历年考研试题及答案详解（2032013）58如果用秩来解,则更加简单明了只要熟悉两个基本性质,它们是11,2,S线性无关R1,2,SS2RABRB矩阵A1,A2,ASA1,2,S,因此RA1,A2,ASR1,2,S由此马上可判断答案应该为A14B用初等矩阵在乘法中的作用得出BPA,110CB010BP1PA1001三、解答题（15）解泰勒公式233126XXXEXOX代入已知等式得2332311126XXXOXBXCXAXOX整理得23311111226BBXCBXCOXAXOX比较两边同次幂函数得B1ACB201026BC式得120233BB则代入得13A代入得16C数学二历年考研试题及答案详解（2032013）59（16）解原式22ARCSINARCSINXXXXETDEETDTET令21ARCSINARCSIN1TDTTDTTTT2222ARCSINARCSIN121211TTDTTUDUTUTTUUTT令2ARCSIN1TDUTUARCSIN11LN21TUCTU22ARCSINARCSIN111LN211XXXXXXEEEDXCEEE（17）解用极坐标系2201DXYDXDYXY11222002LN1LN2122RIDDRRR（18）证（1）212SIN,01,2XXXN时则单调增加（严格）BAFBFA由则得证（20）证（I）22222222ZXZYFXYFXYXYXYXY22222223222222ZXYFXYFXYXXYXY22222223222222ZYXFXYFXYYXYXY数学二历年考研试题及答案详解（2032013）612222222222000FXYZZFXYXYXYFUFUU代入方程得成立（I）令,DPPDPDUCFUPCPDUUPUU则2211,1,LN|,10,0LN|FCFUUCFCFUU由（21）解（I）4222,42,12DXDYDYTTTDTDTDXTT2223111002DYDDYDXTDXDXDTTTTDT处0LT曲线在处是凸（I）切线方程为2011YXT，设2001XT，20004YTT，则22232000000002412,422TTTTTTTT得200000020,12001TTTTTT点为（2，3），切线方程为1YX（I）设L的方程XGY则301SGYYDY224024241TTYYXY解出T得由于（2，3）在L上，由232241YXXYGY得可知数学二历年考研试题及答案详解（2032013）6230941SYYYDY330010244YDYYD3332200021044421443YYYDYY86422133332解设1,2,3是方程组的个线性无关的解,则21,31是AX0的两个线性无关的解于是AX0的基础解系中解的个数不少于2,即4RA2,从而RA2又因为A的行向量是两两线性无关的,所以RA2两个不等式说明RA2对方程组的增广矩阵作初等行变换1111111111A|4351101153,A13B10042A4AB542A由RA2,得出A2,B3代入后继续作初等行变换102420115300000得同解方程组X12X34X4，X23X35X4，求出一个特解2,3,0T和AX0的基础解系2,1,0T,4,5,01T得到方程组的通解2,3,0TC12,1,0TC24,5,01T,C1,2任意23设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量11,21T,20,1,T都是齐次线性方程组AX0的解求A的特征值和特征向量求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得QTAQ解条件说明A1,1T3,3T,即01,1T是A的特征向量,特征值为3又1,2都是AX0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0由于1,2线性无关,特征值0的重数大于1数学二历年考研试题及答案详解（2032013）63于是A的特征值为3,0属于3的特征向量C0,C0属于0的特征向量C11C22,C1,2不都为0将0单位化,得033,33,33T对1,2作施密特正交化,的10,22,22T,236,66,66T作Q0,12,则Q是正交矩阵,并且300QTAQ1AQ0000002005年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析数学二试题解析数学二试题解析数学二试题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分把答案填在题中横线上）（1）DX【分析】本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导【详解】方法一XYSIN1SIN1LNXXE，于是SIN1COSSIN1LNSIN1LNXXXXEYXX，从而XDYDXDXY方法二两边取对数，SIN1LNLNXXY，对X求导，得XXXXYSIN1COSSIN1LN1，于是SIN1COSSIN1LNSIN1XXXXXYX，故XDYDXDXY（2）23XY【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可数学二历年考研试题及答案详解（2032013）64【详解】因为A,11LIMLIM23XXXXFXX231LIMLIM2323XXXAXXFBXX，于是所求斜渐近线方程为23XY（3）4【分析】作三角代换求积分即可【详解】令TXSIN，则102212XXXDX202COSSINCOSSINDTTTTT4ARCTANCOSCOS1COS20202TTTD（4）91LN31XXXY【分析】直接套用一阶线性微分方程XQYXPY的通解公式CDXEXQEYXPDXXP，再由初始条件确定任意常数即可【详解】原方程等价为XYXYLN2，于是通解为LN1LN2222CXDXXXCDXEXEYDXXDXX2191LN31XCXXX，由911Y得C0，故所求解为91LN31XXXY（5）43【分析】题设相当于已知1LIM0XXX，由此确定K即可数学二历年考研试题及答案详解（2032013）65【详解】由题设，200COSARCSIN1LIMLIMKXXXXXXXXCOSARCSIN1COS1ARCSINLIM20XXXKXXXXXK21143COS1ARCSINLIM20KXXXXX，得43K（6）2【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可【详解】由题设，有93,42,321321321B94132111,321，于是有22194132111AB二、选择题（7）C【分析】先求出FX的表达式，再讨论其可导情形【详解】当1X时，11LIM3133XXXXFNNN即1,11,1,1,330,于是由介值定理知，存在,1,0使得0F，即1F（I）在,0和1,上对FX分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点1,0，使得00FFF，11FFF于是11111FFFF（20）【分析】根据全微分和初始条件可先确定FX,Y的表达式而FX,Y在椭圆域上的最大值和最小值,可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值【详解】由题设，知XXF2，YYF2，于是,2YCXYXF，且YYC2，从而CYYC2，再由F1,2，得C2,故2,22YXYXF令0,0YFXF得可能极值点为X0,Y0且20,22XFA，00,2YXFB，20,22YFC，042ACB，所以点0,不是极值点，从而也非最值点再考虑其在边界曲线1422YX上的情形令拉格朗日函数为14,22YXYXFYXF，数学二历年考研试题及答案详解（2032013）71解,014,02122,012222YXFYYYYFFXXXFFYX得可能极值点4,2,0YX；4,2,0YX；1,0,1YX；1,0,1YX代入FX,Y得,22,0F30,1F，可见ZFX,Y在区域14,22YXYXD内的最大值为3，最小值为2（21）【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可【详解】记,1,221DYXYXYXD，,1,222DYXYXYXD，于是DYXD1221122DDXDYYX2122DDXDYYX202101RDRRDDDXDYYX1221122DDXDYYX82010221021011RDRRDDYYXDX314（2）【分析】向量组321,可由向量组321,线性表示，相当与方程组3,2,1,332211IXXXI均有解，问题转化为,321R3,2,1,321IRI是否均成立这通过初等变换化解体形讨论即可而向量组321,不能由向量组321,线性表示，相当于至少有一个向量3,2,1JJ不能由321,表示，即至少有一方程组3,2,1,332211JXXXJ，无解数学二历年考研试题及答案详解（2032013）72【详解】对矩阵,321321A作初等行变换，有,321321A11411111221AAAAAAAAAAAAAAA110324001022011221AAAAAAA113040001022011221，当A2时，A330600030000211221,显然2不能由321,线性表示，因此2A；当A4时，A390000030660411221，然32,均不能由321,线性表示，因此4A而当2A且4A时，秩3,321R，此时向量组321,可由向量组321,线性表示又AAAAAAAB41111122111,321321AAAAAAAAA324011022011022111224360200220110221112AAAAAAAAA，由题设向量组321,不能由向量组321,线性表示，必有01A或022AA，即A1数学二历年考研试题及答案详解（2032013）73或2A综上所述，满足题设条件的A只能是A1（23）【分析】ABO,相当于告之B的每一列均为AX0的解，关键问题是AX0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵的秩【详解】由ABO知，B的每一列均为AX0的解，且3BRAR（1）若K9,则RB2,于是RA1,显然RA1,故RA1可见此时AX0的基础解系所含解向量的个数为3RA2,矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故AX0的通解为2121,63321KKKKX为任意常数2若K9，则RB1,从而21AR1）若RA2,则AX0的通解为11,321KKX为任意常数2）若RA1,则AX0的同解方程组为0321CXBXAX,不妨设0A,则其通解为2121,100KACKABKX为任意常数2004年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析数学二试题解析数学二试题解析数学二试题解析一填空题（1）0【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点对不同的X,先用求极限的方法得出FX的表达式,再讨论FX的间断点【详解】显然当0X