材料力学答案第三版单辉祖

1第二章轴向拉压应力与材料的力学性能21试画图示各杆的轴力图。题21图解各杆的轴力图如图21所示。图2122试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图A与B所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为Q。题22图A解由图22A1可知，QXQAXF2N轴力图如图22A2所示，2QAF2MAX,N图22AB解由图22B2可知，QAFRQAFXFR1N22R2N2QXQAAXQFXF轴力图如图22B2所示，QAFMAXN,图22B23图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A500MM2，载荷F50KN。试求图示斜截面MM上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。题23图解该拉杆横截面上的正应力为100MPAPA10001M10500N10508263AF斜截面MM的方位角，50故有3MPA34150COSMPA100COS22MPA249100SINMPA502SIN2杆内的最大正应力与最大切应力分别为MPA100MAXMPA502MAX25某材料的应力应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量E、比例极限P、屈服极限S、强度极限B与伸长率，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。题25解由题图可以近似确定所求各量。220GPAPA102200001PA1022096EMPA220P,MPA240SMPA440B,729该材料属于塑性材料。27一圆截面杆，材料的应力应变曲线如题26图所示。若杆径D10MM，杆长L200MM，杆端承受轴向拉力F20KN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。4题26图解255MPAPA10552M0010N102048223AF查上述曲线，知此时的轴向应变为39000390轴向变形为MM780M108700390M20004LL拉力卸去后，有003640E，000260P故残留轴向变形为0052MMM10520002600200M5PLL29图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F32KN，板宽B100MM，板厚15MM，孔径D20MM。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。题29图解根据20M1000M/0200/BD查应力集中因数曲线,得422K根据DBFN，NMAXK得5645MPAPA104560015M00200100N1032422723NMAXDBKFK210图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F36KN，板宽B190MM，B260MM，板厚10MM，孔径D10MM，圆角半径R12MM。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。题210图解1在圆孔处根据111100090MM01001BD查圆孔应力集中因数曲线，得621K故有117MPAPA10171M010001000900N10366282311N1MAX1DBFKK2在圆角处根据150060MM090021BBDD200060MM01202BRDR查圆角应力集中因数曲线，得7412K故有104MPAPA100410010M0060N103674182322N2MAX2BFKK3结论MPA117MAX（在圆孔边缘处）214图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为，试确定载荷F的许用值F。6题214图解先后以节点C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为FF2N1FFFN3N2根据强度条件，要求2AF由此得2AF215图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为。若在节点B和C的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的值（即确定节点A的最佳位置）。题215图解1求各杆轴力设杆AB和BC的轴力分别为N1F和N2F，由节点B的平衡条件求得FFFFCTANSINN2N1，2求重量最轻的值由强度条件得FAFACTANSIN21，7结构的总体积为CTANSIN22CTANCOSSIN2211FLFLLFLALAV由0DDV得01COS32由此得使结构体积最小或重量最轻的值为4454OPT216图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为。若节点A和C间的指定距离为L，为使结构重量最轻，试确定的最佳值。题216图解1求各杆轴力由于结构及受载左右对称，故有FFFSIN2N2N12求的最佳值由强度条件可得FAASIN221结构总体积为FLLFLAVSIN2COS2SIN211由0DDV得0COS2由此得的最佳值为45OPT8217图示杆件，承受轴向载荷F作用。已知许用应力120MPA，许用切应力90MPA，许用挤压应力BS240MPA，试从强度方面考虑，建立杆径D、墩头直径D及其高度H间的合理比值。题217图解根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为42TDFA4BS22BDDFBSDHFC理想的情况下，SBTFFF在上述条件下，由式（A）与（C）以及式（A）与（B），分别得DH4DDBS1于是得141BSDHD由此得133302251DHD218图示摇臂，承受载荷F1与F2作用。已知载荷F150KN，F2354KN，许用切应力100MPA，许用挤压应力BS240MPA。试确定轴销B的直径D。9题218图解1求轴销处的支反力由平衡方程0XF与0YF，分别得KN25COS4521FFFBXKN25SIN452FFBY由此得轴销处的总支反力为KN435KN252522FB2确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）22SDFAFB得M0150M10100104352263FDB由轴销的挤压强度条件BSBBSDFDFB得M014750M1024001001043563BSFDB结论取轴销直径15MMM0150D。219图示木榫接头，承受轴向载荷F50KN作用，试求接头的剪切与挤压应力。题219图解剪应力与挤压应力分别为MPA5M1000M1000N10503MPA512M1000M0400N10503BS10220图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力160MPA，许用切应力120MPA，许用挤压应力BS340MPA，载荷F230KN。试校核接头的强度。题220图解最大拉应力为MPA3153M010002001700N1023023MAX最大挤压与剪切应力则分别为MPA2300010M50020MN102303BSMPA41460020M5N10230423221图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F45KN作用。已知木杆的截面宽度B250MM，沿木纹方向的许用拉应力6MPA，许用挤压应力BS10MPA，许用切应力1MPA。试确定钢板的尺寸与L以及木杆的高度H。题221图解由拉伸强度条件2HBF得0030MM10625001045263BFH（A）由挤压强度条件112BSBSBF得MM9M0090M1010250021045263BSBF（B）由剪切强度条件2BLF得MM90M0900M101250021045263BFL取M0090代入式（A），得48MMM0480M009020300H结论取MM9，MM90L，MM48H。222图示接头，承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径D20MM，许用应力160MPA，许用切应力120MPA，许用挤压应力BS340MPA。板件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。题222图解1考虑板件的拉伸强度由图222所示之轴力图可知，4/3N2N1FFFF，1N11DBFAF432KNN10432N1016001500200200056DBF2432N22DBFAF512KNN10512N101600150040020003423456DBF12图2222考虑铆钉的剪切强度8SFF842SDFAF302KNN10023N101200200225622DF3考虑铆钉的挤压强度44BSBBSBDFDFFFKN408N10084N10340002000154456BSDF结论比较以上四个F值，得KN302F223图A所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受轴向载荷F作用。已知载荷F6KN，带宽B40MM，带厚2MM，铆钉直径D8MM，孔的边距A20MM，钢带材料的许用切应力100MPA，许用挤压应力BS300MPA，许用拉应力160MPA。试校核钢带的强度。题223图解1钢带受力分析13分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。铆钉孔所受挤压力FB等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力FB相同，钢带的受力如图B所示，挤压力则为N10023N106333BFF孔表面的最大挤压应力为MPA125PA10251M0080M0020N1002BS83BBSDF在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图B），切应力为MPA25PA1052M0200M00202N1002273BAF钢带的轴力图如图C所示。由图B与C可以看出，截面11削弱最严重，而截面22的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。截面11与22的正应力分别为MPA383M0020M00802040M03N106223231N11DBFAFMPA893M0020M0080040M0N10632N22DBFAF14第三章轴向拉压变形32一外径D60MM、内径D20MM的空心圆截面杆，杆长L400MM，两端承受轴向拉力F200KN作用。若弹性模量E80GPA，泊松比030。试计算该杆外径的改变量D及体积改变量V。解1计算D由于EAFDDEAF，故有00179MMM10791M020006001080060010200300445229322）DDEFDEAFDDD2计算V变形后该杆的体积为21114222VALDDDDLLALV故有337393MM400M100043021M1080400010200212EFLVVVV34图示螺栓，拧紧时产生L010MM的轴向变形。已知D180MM，D268MM，D370MM；L160MM，L229MM，L38MM；E210GPA，500MPA。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。题34图解1求预紧力F各段轴力数值上均等于F，因此，4233222211332211DLDLDLEFALALALEFL由此得15KN6518N108651N0070008000680029000800060410100102104422239233222211DLDLDLLEF2校核螺栓的强度514MPAPA10145M00680N10651844822322MINMAXDFAF此值虽然超过，但超过的百分数仅为26，在5以内，故仍符合强度要求。35图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为140104与220104。已知杆1与杆2的横截面面积A1A2200MM2，弹性模量E1E2200GPA。试确定载荷F及其方位角之值。题35图解1求各杆轴力16KNN1061N102001004102004649111N1AEF8KNN108N102001002102003649222N2AEF2确定F及之值由节点A的平衡方程0XF和0YF得0SIN30SINSIN30N1N2FFF0COSCOS30COS30N2N1FFF化简后，成为FFFSIN2N2N1A及16FFFCOS23N2N1B联立求解方程A与B，得19250108163108163TAN33N2N1N2N1FFFF由此得9108910KN221N10212N8910SIN2108162SIN43N2N1FFF36图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为，长度为L，左、右端的宽度分别为B1与B2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。题36图解对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为XXBEFXXEAFLLLDD00A由图可知，若自左向右取坐标X，则该截面的宽度为XLBBBXB121代入式A，于是得12120121LND1BBBBEFLXXLBBBEFLL37图示杆件，长为L，横截面面积为A，材料密度为，弹性模量为E，试求自重下杆端截面B的位移。17题37图解自截面B向上取坐标Y，Y处的轴力为GAYFN该处微段DY的轴向变形为YEGYYEAGAYYDDD于是得截面B的位移为EGLYYEGLCY2D2038图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为F，且FKY2，式中，K为常数。已知地桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为L。试求地桩的缩短量。题38图解1轴力分析摩擦力的合力为3DD302KLYKYYFFLLY根据地桩的轴向平衡，FKL33由此得33LFK（A）截面Y处的轴力为3DD3020NKYYKYYFFYY2地桩缩短量计算截面Y处微段DY的缩短量为18EAYFDDN积分得EAKLYYEAKEAYFLL12D3D4030N将式A代入上式，于是得EAFL439图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为K，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。题39图解载荷F作用后，刚性梁AB倾斜如图见图39。设钢丝绳中的轴力为NF，其总伸长为L。图39以刚性梁为研究对象，由平衡方程0AM得2NNBAFBAFAF由此得FFN由图39可以看出，2BAY221BABAALYY可见，LYB根据K的定义，有19YKLKFN于是得KFKFYN310图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂位移。题310图（A）解利用截面法，求得各杆的轴力分别为（拉力）N2N1FFF（压力）2N4FF0N3F于是得各杆的变形分别为21伸长EAFLLL2224伸长EAFLEALFL03L如图3101所示，根据变形L1与L4确定节点B的新位置B,然后，过该点作长为LL2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A,此即结构变形后节点A的新位置。于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为0AXEAFLEAFLEAFLEAFLLLLAY21222224120图310（B）解显然，杆1与杆2的轴力分别为（拉力）N1FF0N2F于是由图3102可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为EAFLLAX1EAFLLAY1311图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积分别为A1320MM2与A22580MM2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点B的铅垂位移最小，应取何值（即确定节点A的最佳位置）。题311图解1求各杆轴力由图311A得FFFFCTANSINN2N1，21图3112求变形和位移由图311B得2222N221211N11CTANSIN22EAFLEALFLEAFLEALFL，及CTANSINSIN22TANSIN221221AAEFLLLBY3求的最佳值由0D/DBY，得0CSCCTAN2SIN2SINSIN2COSSINCOS22222221AA由此得0COS31COS22231AA将21AA与的已知数据代入并化简，得0031254COS0937512COS23解此三次方程，舍去增根，得5649670COS由此得的最佳值为655OPT312图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为L，横截面面积均为A，材料的应力应变关系为NB，其中N与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。22题312图解两杆的轴力均为COS2NFF轴向变形则均为BLAFLBLLNNCOS2于是得节点C的铅垂位移为1COS2COSNNNNCYBALFL313图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F20KN，各杆的横截面面积均为A100MM2，弹性模量E200GPA，梁长L1000MM。试计算该点的水平与铅垂位移。题313图解1求各杆轴力由0XF，得0N2F由0YF，得KN102N3N1FFF2求各杆变形2302L34693N11050MMM1050M101001020000011010LEALFL3求中点C的位移由图313易知，图313MM500MM50011LLYX，314图A所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节点B与C间的相对位移B/C。题314图解1内力与变形分析利用截面法，求得各杆的轴力分别为（拉力）24N3N2N1NFFFFF（压力）5NFF于是得各杆得变形分别为24321伸长EAFLLLLL24225缩短EAFLEALFL2位移分析如图B所示，过D与G分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于E与H，然后，在DE与GH延长线取线段L3与L2，并在其端点M与N分别作垂线，得交点C，即为节点C的新位置。可以看出，EAFLEAFLEAFLLLICCICB2222222222235/315如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。题315图A解各杆编号示如图315A，各杆轴力依次为FFFFFF212222N3N2N1，该桁架的应变能为412224122221212222312NEALFLFLFEAEALFVIII图315依据能量守恒定律，VF225最后得EAFLEALFF41224122222B解各杆编号示如图B列表计算如下IIFNILIILF2N1FLLF220L03FLLF24FLLF25F2L2LF222LF2223于是，5122N22232IIIEALFEALFV依据能量守恒定律，VF2可得223EAFL316图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求节点B与C间的相对位移B/C。题316图解依据题意，列表计算如下IIFNILIILF2N12/2FL22/LF22/2FL22/LF2632/2FL22/LF42/2FL22/LF5FL2LF22LF222由表中结果可得EALFEALFVIII22222512N依据VW得EAFLCB22/317图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为，长度为L，左、右端的宽度分别为B1与B2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。题317图解对于变截面拉压板件，应变能的表达式为XXBEFXXEAFVLLD2D202N02NA由图可知，若自左向右取坐标X，则该截面的宽度为XLBBBXB121将上式代入式（A）,并考虑到FFN,于是得1212212120LN2D21BBBBELFXXLBBBFEVL设板的轴向变形为L，则根据能量守恒定律可知，VLF2或12122LN22BBBBELFLF27由此得1212LNBBBBEFLL319图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷Q作用。各杆各截面的的拉压刚度均为EA，试求支反力与最大轴力。题319图A解杆的受力如图319A1所示，平衡方程为0,0BXAXXFFFFF一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图319AAC，CD与DB段的轴力分别为2,3N2N1NFFFFFFFFAXAXAX由于杆的总长不变，故补充方程为02EAAFFEAAFFEAAFLAXAXAX得0FFAX由此得FFAXFFFFAXBX2杆的轴力图如319A2所示，最大轴力为28FFMAXN,B解杆的受力如图319B1所示，平衡方程为0,0BXAXXFFQAF一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图319BAC与CB段的轴力分别为,2N1NQXFFFFAXAX由于杆的总长不变，故补充方程为0D10XQXFEAEAAFLAAXAX得02212QAAFEAAX由此得4QAFAX43QAFQAFAXBX杆的轴力图如319B2所示，最大轴力为43MAXNQAF320图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，载荷F20KN，许用拉应力T160MPA,许用压应力C110MPA，试确定各杆的横截面面积。29题320图解容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故FN2为拉力，FN1为压力，且大小相同，即N1N2FF以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程02,0N1N2AFAFAFM由上述二方程，解得FFFN1N2根据强度条件，2463CN11M108181PA10110N1020FA2463TN22M10251PA10160N1020FA取221MM182AA321图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴力。题321图A解此为一度静不定桁架。设ABF,N以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆AB为研究对象，由0YF，得FFFABBC,N,NA后取节点A为研究对象，由0XF和0YF依次得到30AGADFF,N,NB及ABADFF,N,NCOS452C在节点A处有变形协调关系（节点A铅垂向下）ADADABBCLLLL2COS45D物理关系为AGADADABABBCBCLEALFLEALFLEALFL2,N,N,N，E将式E代入式D，化简后得ADABBCFFF,N,N,N2D联解方程CA，和D，得FFBC22,N（拉），FFAB222,N（压），FFFAGADN212,N,（拉）B解此为一度静不定问题。考虑小轮A的平衡，由0YF，得0SIN451NFF由此得FF21N在F作用下，小轮A沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，02L，故有02NFN1F的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。322图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为140MPA，260MPA，3120MPA，弹性模量分别为E1160GPA，E2100GPA，E3200GPA。若载荷F160KN，A1A22A3，试确定各杆的横截面面积。31题322图解此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图322A和B。图322由图A可得平衡方程N21N230FFFX，AFFFFYN3N2210，B由图B得变形协调方程为321SIN30CTAN30LLLC根据胡克定律，有331N3333N33321N2222N22311N1111N11332AELFAELFLAELFAELFLAELFAELFL，D将式D代入式C，化简后得补充方程为N3N2N183215FFFC联解方程A，B和C，并代入数据，得KN622N1F压，KN126N2F（拉），KN9146N3F（拉）根据强度要求，计算各杆横截面面积如下2242631N11MM565M10655M104010622FA2242632N22MM435M10354M106010126FA322232633N33MM1224M102241M10120109146FA根据题意要求，最后取2321MM24502AAA323图A所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为L100MM，A100MM2，E200GPA。设由千分表测得C点的铅垂位移YMM，试确定载荷F与各杆轴力。题323图解1求解静不定在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图B所示。显然，本问题具有一度静不定。由平衡方程0AM，得02N2N1FFFA由变形图中可以看出，变形协调条件为212LLB根据胡克定律，EALFLEALFLN22N11,C将上述关系式代入式（B），得补充方程为N2N12FF联立求解平衡方程（A）与上述补充方程，得52,54N2N1FFFFD2由位移Y确定载荷F与各杆轴力变形后，C点位移至CCCAC（图B），且直线AC与AB具有相同的角位移，因此，33C点的总位移为112LLABACCC又由于Y2由此得YL1将式（C）与（D）的第一式代入上式，于是得N108751M101004M100750M10100PA10200545433269LEAFY并从而得N1057,N10513N24N1FF324图示钢杆，横截面面积A2500MM2，弹性模量E210GPA，轴向载荷F200KN。试在下列两种情况下确定杆端的支反力。A间隙06MM；B间隙03MM。题324图解当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为MM570M102500PA10210M51N102002693EAFAF当间隙06MM时，由于F，仅在杆C端存在支反力，其值则为KN200FFCX当间隙03MM时，由于F，杆两端将存在支反力，杆的受力如图324所示。图324杆的平衡方程为340CXBXFFF补充方程为EAAFEAFABX2由此得KN547M512M102500PA10210M000302N10200222693AEAFFBX而C端的支反力则为KN5152KN547KN200BXCXFFF325图示两端固定的等截面杆AB，杆长为L。在非均匀加热的条件下，距A端X处的温度增量为22/LXTTB，式中的BT为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与L。试求杆件横截面上的应力。题325图解1求温度增高引起的杆件伸长此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在X处的杆微段XD就会因温升而有一个微伸长XLXTXTLBLLDDD22T全杆伸长为3D022TLTXLXTLBLLBL2求约束反力设固定端的约束反力为F，杆件因F作用而引起的缩短量为EAFLEALFLFN由变形协调条件TLLF35可得33BLBLTEALTLEAF3求杆件横截面上的应力3NBLTEAFAF326图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为。如使杆端B与节点G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。题326图解此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号15。由强制装配容易判断，杆13受拉，杆4和5受压。装配后节点G和C的受力图分别示如图326A和B。图326根据平衡条件，由图A可得N3N2N1FFFA由图B可得N4N4N3N5N43COS302FFFFF，B变形协调关系为参看原题图341COS30COS60LLLC依据胡克定律，有EALFLIIIN51ID将式D代入式C，得补充方程36EALFEALFEALFN3N4N13322E联立求解补充方程E、平衡方程A与B，最后得LEAFLEAF23233,23329N4N3即LEAFFFGEGDBC23329,N,N,N（拉）LEAFFCECD23233N,N,（压）327图A所示钢螺栓，其外套一长度为L的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为AB与AT，弹性模量分别为EB与ET，螺栓的螺距为P。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。题327图解首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽L处旋转1/5圈，即旋进P/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。设螺栓所受拉力为FNB，伸长为LB，套管所受压力为FNT，缩短为LT，则由图B与C可知，平衡方程为0NTNBFFA而变形协调方程则为TBLL利用胡克定律，得补充方程为TTNTBBNBEALFEALFB最后，联立求解平衡方程（A）与补充方程（B），得螺栓与套管所受之力即预紧力为KEALFFF1BBNTNBN0式中，37TTBBEAEAK328图示组合杆，由直径为30MM的钢杆套以外径为50MM、内径为30MM的铜管组成，二者由两个直径为10MM的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为ES200GPA与EC100GPA，线膨胀系数分别为SL1251061与CL161061。题328图解设温度升高T时钢杆和铜管自由伸长量分别为TS和TC，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为CTCSTSLL或写成TSTCCSLL这里，伸长量SL和缩短量CL均设为正值。引入物理关系，得TLAELFAELFLLSCCCNCSSNS将静力平衡条件FFFNCNS代入上式，得TAEAEAEAEFLLSCCCSSCCSS注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为22CCSSSCCCSSSAEAEATAEAEAFAFLL由此得593MPAPA10935M030005001010003001020001002N401051216030005001010003001020072229292622929329图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在下列两38种情况下，画变形图，建立补充方程。1若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为；2若杆1的温度升高T，材料的热膨胀系数为L。题329图1解如图3291A所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于D，即DD。当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至D，同时，杆1的下端点则铅垂位移至C。过C作直线CE垂直于杆1的轴线，显然1LCE，即代表杆1的弹性变形，同时，2LDD，即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3291B所示。图3291可以看出，CCDD2即变形协调条件为1222LL而补充方程则为0412EALFEALF或0412LEAFF2解如图3292A所示，当杆1未与刚性杆BD连接时，由于其温度升高，下端点位于C，即TLCCL2。当杆1与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至C，而杆2的下端点D则铅垂位移至D。过C作直线CE垂直于直线C，显然，1LCE即代表杆139的弹性变形，同时，2LDD，代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3292B所示。图3292可以看出，CCDD2故变形协调条件为12222LTLLL而补充方程则为EALFTLEALFL222212或04412TEAFFL330图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A，E与，试确定该桁架的许用载荷F。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度L变为L。试问当为何值时许用载荷最大，其值FMAX为何。题330图解此为一度静不定问题。节点C处的受力及变形示如图330A和B。40图330由图A得平衡方程为FFFFFN3N1N2N1COS302，A由图B得变形协调条件为COS3031LLB依据胡克定律,有EALFLIIIN321,IC将式C代入式B，化简后得补充方程为N1N334FFB将方程B与方程A联解，得N1N3N2N133443343FFFFFF，3344N3MAXAFAF由此得4334,4334AFAF为了提高F值，可将杆3做长，由图B得变形协调条件为COS3013LL式中，13LL与均为受载后的伸长，依题意，有了后，应使三根杆同时达到，即LELE34由此得ELEL3134此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有AAAF31COS302MAX41第四章扭转45一受扭薄壁圆管，外径D42MM，内径D40MM，扭力偶矩M500NM，切变模量G75GPA。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。解该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为MM122MM52022210DDDDR，于是，该圆管横截面上的扭转切应力为1894MPAPA108941M0010002052N500282220RT依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为MPA4189该圆管表面纵线的倾斜角为RAD10253RAD1075104189396G47试证明，在线弹性范围内，且当R0/10时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误差不超过453。解薄壁圆管的扭转切应力公式为RT202设R/0，按上述公式计算的扭转切应力为322022TRTA按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为RDRD0022，极惯性矩为422232322200404044PRRRRDDI由此得141224223022000PMAXTRRRTRITB比较式A与式B，得122141214222332MAXTT当100R时，95480110210211042MAX42可见，当10/0R时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算的最大误差不超过453。48图A所示受扭圆截面轴，材料的曲线如图B所示，并可用MC/1表示，式中的C与M为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分布图。题48图解所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到XDDA根据题设，轴横截面上距圆心为处的切应力为MXC/1DDB由静力学可知，AMMMATAXCADDDD/1/1C取径向宽度为D的环形微面积作为AD，即AD2DD将式D代入式C，得2/0/12/1DDD2DMMMTXC由此得MMMDCTX/13/12M21M3DDE将式E代入式B，并注意到TM，最后得扭转切应力公式为MMMDMMM1/3/12132横截面上的切应力的径向分布图示如图48。43图4849在图A所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC切出单元体ABCDEF（图B）。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。题49图解单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图49A所示。图49根据图A，不难算出截面DAOO1上分布内力的合力为2MAX42211DTLLDFX同理，得截面1OCFO上分布内力的合力为242DTLFX方向示如图C。设21XXFF与作用线到X轴线的距离为1ZE，容易求出32321DDEZ根据图B，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为DTITFDZ38DD2COS02/0P2同理，左端面上的合力为DTFZ381方向亦示如图C。设2ZF作用线到水平直径DF的距离为YE（见图B），由4402/032P4DD2COS2TITEFDYZ得DDTDTEY2950323834同理，1ZF作用线到水平直径AC的距离也同此值。根据图B，还可算出半个右端面EDO1上竖向分布内力的合力为2/02/0P34DD2SIN3DTITFDY设3YF作用线到竖向半径EO1的距离为2ZE（见图B），由2/02/032P8DDCOS23DZYTITEF得DDTDTEZ29503234382同理，可算出另半个右端面FEO1以及左端面OCBAOB、上的竖向分布内力的合力为DTFFFYYY34214方向均示如图C。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为2ZE。由图C可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。022220121224TTEFEFEFEFMYZZYYZZYX，0383820112DTLDTLEFLFMZXZY，03434034DTLDTLLFLFMYYZ，既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。上述讨论中，所有的T在数值上均等于M。411如图所示，圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体，并在截面A承受扭力偶矩M作用。圆轴的直径D56MM，许用切应力180MPA，套管的外径D80MM，壁厚6MM，许用切应力240MPA。试求扭力偶矩M的许用值。45题411图解由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于M。1由圆轴AB求M的许用值16131P11MAX1DMWM由此得M的许用值为M276KNMN10276MN161080056016363131DM2由套管CD求M的许用值106MM37MMMM2680200RDR，此管不是薄壁圆管。85080688026801162432P22MAX2DMWM由此得M的许用值为M1922KNMN109221MN1610400851080016136432432DM可见，扭力偶矩M的许用值为M1922KN2MM413图示阶梯形轴，由AB与BC两段等截面圆轴组成，并承受集度为M的均匀分布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定AB与BC段的长度L1与L2以及直径D1与D2。已知轴总长为L，许用切应力为。题413图46解1轴的强度条件在截面A处的扭矩最大，其值为MLTMAX1由该截面的扭转强度条件1631P1MAX1MAX1DMLWT得3161MLDABC段上的最大扭矩在截面B处，其值为2MAX2MLT由该截面的扭转强度条件得3M1622LD2最轻重量设计轴的总体积为161644423/2223/2222221LMLLLMLLDLLDV根据极值条件0DD2LV得03516M163/222/32/3LML由此得LLL4650533/22B从而得LLLLL53505313/221C131/23/121/3277501653M16DMLLDD该轴取式AD所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。414一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F1KN作用。设弹簧的平均直径D40MM，弹簧丝的直径D7MM，许用切应力480MPA，试校核弹簧的强度。解由于4710715740DDM故需考虑曲率的影响，此时，372MPAPA10723M371540070N2715404001000183424882333MAXMDMFD）结论MAX，该弹簧满足强度要求。420图示圆锥形薄壁轴AB，两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为，横截面A与B的平均直径分别为DA与DB，轴长为L，切变模量为G。试证明截面A和B间的扭转角为22/2BABABADDDDGML（题420图证明自左端A向右取坐标X，轴在X处的平均半径为21210CXDXLDDDXRAABA式中，LDDCAB截面X的极惯性矩为3330P42122CXDCXDRIAA依据3P4DDCXDGMGIXTXA得截面A和B间的扭转角为22220203/D2112|C2CD4BABAABABLALAABADGDDMLDDDDGMLCXDGMCXDCXDGM48421图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。题421图A解此为静不定轴，但有对称条件可以利用。设A与B端的支反力偶矩分别为BAMM和，它们的转向与扭力偶矩M相反。由于左右对称，故知BAMM由0XM可得MMMMABA