毕业论文-基于matlab的自适应滤波器的设计与实现

摘要最小二乘RLS法是一种典型的有效的数据处理方法。由著名学者高斯在1795年提出，他认为根据所获得的观测数据来推断未知参数时，未知参数最可能的值是这样一个数据，即它使各项实际观测值和计算值之间的差的平方乘以度量其精度的数值以后的和为最小。这就是著名的最小二乘法。自适应滤波算法根据的最佳准则为最小均方误差准则。自适应算法的目标在于，使滤波器输出与需要信号的误差的平方的统计平均值最小。这个准则根据输入数据的长期统计特性寻求最佳滤波。最小二乘法对不同的数据组导出不同的“最佳”滤波器。因而常说最小二乘法导出的最佳滤波器是“精确”的。递推最小二乘法RLS是最小二乘法的一类快速算法。本文基于MATLAB进行仿真，研究不同输入和信噪比滤波器的性能。通过对比实验，分析收敛性和滤波效果，确定了滤波器正则化系数的选取，信噪比高正则化系数选取小正常数，反之取大正常数。对不同类型滤波器输入信号独立实验，周期型号和非周期信号的滤波器效果都较好，但周期信号的滤波效果更好。但从程序的运行时间上看，其复杂度高，计算量比较大。关键词自适应滤波器，最小二乘法，MATLAB仿真ABSTRACTLEASTSQUARESRLSMETHODISAKINDOFTYPICALEFFECTIVEDATAPROCESSINGMETHODGAUSSPROPOSEDIN1795BYFAMOUSSCHOLARS,HETHINKS,ACCORDINGTOTHEOBSERVEDDATATOINFERUNKNOWNPARAMETERISOBTAINED,THEUNKNOWNPARAMETERSISTHEMOSTPOSSIBLEVALUESTHATADATA,WHICHMAKETHEACTUALOBSERVEDVALUEMULTIPLIEDBYTHESQUAREMEASUREOFTHEDIFFERENCEBETWEENCALCULATEDVALUEANDTHEACCURACYOFNUMERICALANDLATERTOAMINIMUMTHISISTHEFAMOUSLEASTSQUAREMETHODADAPTIVEFILTERINGALGORITHMBASEDONOPTIMUMCRITERIONFORTHEMINIMUMMEANSQUAREERRORCRITERIONADAPTIVEALGORITHMSGOALISTOMAKETHEFILTEROUTPUTANDSIGNALSTATISTICALAVERAGEOFTHESQUAREDERRORISMINIMALTHECRITERIAACCORDINGTOTHELONGTERMSTATISTICALCHARACTERISTICSOFTHEINPUTDATAFOROPTIMALFILTERLEASTSQUARESMETHODFORDIFFERENTDATASETSDERIVEDDIFFERENT“BEST“FILTERTHUSDERIVEDTHEOPTIMUMFILTEROFTENSAYLEASTSQUAREMETHODIS“ACCURATE“RECURSIVELEASTSQUARESRLSISAFASTALGORITHMOFTHELEASTSQUAREMETHODTHISPAPERSTUDIESTHEPERFORMANCEOFTHEFILTERINPUTANDSNRANDSIMULATIONBASEDONMATLABCONVERGENCEANALYSISANDFILTERINGEFFECTBYEXPERIMENT,CONFIRMEDTHEFILTERSELECTIONOFREGULARIZATIONCOEFFICIENT,HIGHSNRREGULARIZATIONCOEFFICIENTSELECTEDNORMALNUMBER,INSTEADTAKEDAZHENGCONSTANTFORDIFFERENTTYPESOFFILTERINPUTSIGNALINDEPENDENTEXPERIMENT,THECYCLEMODELANDAPERIODICSIGNALFILTEREFFECTSAREBETTER,BUTTHEPERIODICSIGNALFILTERINGEFFECTISBETTERBUTLOOKFROMTHEPROGRAMSRUNNINGTIME,ITSCOMPLEXITYISHIGH,THERELATIVELYLARGEAMOUNTOFCALCULATIONKEYWORDSADAPTIVEFILTERING,THELEASTSQUAREMETHOD,EMULATIONVERIFYBYMATLAB目录第一章前言111自适应滤波器简介112选题背景及研究意义113国内外研究发展现状2第二章自适应滤波器的基础理论421滤波器概述4211滤波器简介4212滤波器分类4213数字滤波器概述422自适应滤波器基本理论723自适应滤波器的结构9第三章自适应滤波器递归最小二乘算法1131递归最小二乘算法11311递归最小二乘算法简介11312正则方程11313加权因子和正则化16314递归计算1832递归最小二乘RLS算法的性能分析22第四章基于MATLAB自适应滤波器仿真2341正弦波去噪实验2342滤波器正则化参数的确定28421高信噪比28422低信噪比31423结论3343输入信号不同对滤波效果的影响33431输入信号为周期信号33432输入信号为非周期信号38第五章结论与展望4451结论4452对进一步研究的展望44参考文献45致谢46附录46声明58第一章前言11自适应滤波器简介自适应滤波器属于现代滤波的范畴，它是40年代发展起来的自适应信号处理领域的一个重要应用，自适应信号处理主要是研究结构可变或可调整的系统，可以通过自身与外界的接触来改善自身对信号处理的性能，通常这类系统是时变的非线性系统，可以自动适应信号传输的环境和要求，无须详细的知道信号的结构和实际知识，无须精确设计处理系统本身。自适应系统的非线性特性主要是由系统对不同的信号环境实现自身参数的调整来确定的。自适应系统的时变特性主要是由其自适应响应或自适应学习过程来确定的，当自适应过程结束和系统不再进行时，有一类自适应系统可成为线性系统，并称为线性自适应系统，因为这类系统便于设计且易于数学处理，所以实际应用广泛。本文研究的自适应滤波器就是这类滤波器。自适应滤波器是相对固定滤波器而言的，固定滤波器属于经典滤波器，它滤波的频率是固定的，自适应滤波器的频率则是自动适应输入信号而变化的，所以其适用范围更广。在没有任何信号和噪声的先验知识的条件下，自适应滤波器利用前一时刻已获得的滤波器参数来自动调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知或随机变化的统计特性，从而实现最优滤波。12选题背景及研究意义伴随着移动通信事业的飞速发展，自适应滤波技术应用的范围也日益扩大。早在20世纪40年代，就对平稳随机信号建立了维纳滤波理论。根据有用信号和干扰噪声的统计特性自相关函数或功率谱，用线性最小均方误差估计准则设计的最佳滤波器，称为维纳滤波器。这种滤波器能最大程度地滤除干扰噪声，提取有用信号。但是，当输入信号的统计特性偏离设计条件，则它就不是最佳的了，这在实际应用中受到了限制。到60年代初，由于空间技术的发展，出现了卡尔曼滤波理论，即利用状态变量模型对非平稳、多输入多输出随机序列作最优估计。现在，卡尔曼滤波器已成功地应用到许多领域，它既可对平稳的和非平稳的随机信号作线性最佳滤波，也可作非线性滤波。实质上，维纳滤波器是卡尔曼滤波器的一个特例。在设计卡尔曼滤波器时，必须知道产生输入过程的系统的状态方程和测量方程，即要求对信号和噪声的统计特性有先验知识，但在实际中，往往难以预知这些统计特性，因此实现不了真正的最佳滤波。WIDROWB等于1967年提出的自适应滤波理论，可使自适应滤波系统的参数自动地调整而达到最佳状况，而且在设计时，只需要很少的或根本不需要任何关于信号与噪声的先验统计知识。这种滤波器的实现差不多像维纳滤波器那样简单，而滤波性能几乎如卡尔曼滤波器一样好。因此，近十几年来，自适应滤波理论和方法得到了迅速发展。自适应滤波是一种最佳滤波方法。它是在维纳滤波，KALMAN滤波等线性滤波基础上发展起来的一种最佳滤波方法。由于它具有更强的适应性和更优的滤波性能。从而在工程实际中，尤其在信息处理技术中得到广泛的应用。自适应滤波的研究对象是具有不确定的系统或信息过程。“不确定”是指所研究的处理信息过程及其环境的数学模型不是完全确定的。其中包含一些未知因数和随机因数。任何一个实际的信息过程都具有不同程度的不确定性，这些不确定性有时表现在过程内部，有时表现在过程外部。从过程内部来讲，描述研究对象即信息动态过程的数学模型的结构和参数是我们事先不知道的。作为外部环境对信息过程的影响，可以等效地用扰动来表示，这些扰动通常是不可测的，它们可能是确定的，也可能是随机的。此外一些测量噪音也是以不同的途径影响信息过程。这些扰动和噪声的统计特性常常是未知的。面对这些客观存在的各种不确定性，如何综合处理信息过程，并使某一些指定的性能指标达到最优或近似最优，这就是自适应滤波所要解决的问题。近十几年来，自适应滤波理论和方法得到了迅速的发展，究其原因是因为自适应滤波器相比于其他一般的滤波器在滤波性能、设计实现的难易程度、对外部环境的复杂程度的适应能力和对系统先验统计知识的依赖程度等方面都显现出强大的优势。自适应滤波器具有很强的自学习、自跟踪能力和算法的简单易实现性，它在噪声量化信号的检测增强，噪声干扰的抵消，通信系统的自适应均衡，图象的自适应增强复原以及未知系统的自适应参数辩识等方面都有广泛的应用。本文仅讨论自适应滤波器在噪声干扰的抵消方面的原理、算法及仿真。13国内外研究发展现状经过数十年的研究，自适应滤波理论得到了极大的发展，成为信号处理理论研究的热点之一，而依据不同的优化准则可以推导出许多截然不同的自适应理论，目前自适应滤波理论主要包括以下几个分支1基于维纳滤波器理论的最小均方算法2基于卡尔曼滤波理论的卡尔曼算法3基于最小二乘法的算法4基于神经网络的算法由于设计简单、性能最佳，自适应滤波器是目前数字滤波器领域是活跃的分支，因而被广泛应用到各种信号处理领域中1广泛用于系统模型识别如系统建模其中自适应滤波器作为估计未知系统特性的模型。2通信信道的自适应均衡如高速MODEM采用信道均衡器用它补偿信道失真，MODEM必须通过具有不同频响特性而产生不同失真的信道有效地传送数据，则要求信号均衡器具有可调系数，据信道特性对这些系数进行优化，以使信道失真的某些量度最小化。又如数字通信接收机其中自适应滤波器用于信道识别并提供码间串扰的均衡器。3雷达与声纳的波束形成如自适应天线系统，目前在通信领域研究的一个重要课题就是如何在有限的频谱资源基础上提高通信系统的容量。在第三代移动通信系统TDSCDMA中的一个关键技术就是智能天线技术，它的核心是自适应天线波束形成技术，它结合了自适应技术的优点，利用天线阵列对波束的汇成和指向的控制，产生多个独立波束，可以自适应地调整其方向图消除不希望的干扰以跟踪信号的变化。4消除心电图中的电源干扰一如自适应回波相消器，自适应噪声对消器其中自适应滤波器用于估计并对消预期信号中的噪声分量。噪声中信号的滤波、跟踪、谱线增强以及线性预测等。第二章自适应滤波器的基础理论21滤波器概述211滤波器简介滤波是电子信息处理领域的一种最基本而又极其重要的技术。在有用信号的传输过程中，通常会受到噪声或干扰的污染。利用滤波器技术可以从复杂的信号中提取所需要的信号，同时抑制噪声或者干扰，以便更有效地利用原始信号。滤波实际上是一种选频系统，它对某些频率的信号给以很小的衰弱，让该部分信号顺利通过；对其它不需要的频率信号则给以很大的衰弱，尽可能阻止这些信号通过。在电子系统中滤波器是一种基本的单元电路，使用很多，技术也较为复杂，有时候滤波的优劣直接决定产品的性能，所以很多国家非常重视滤波器的理论研究和产品开发。212滤波器分类滤波器的分类方法很多，总的来说可以分为经典滤波器和现代滤波器两大类。经典滤波器是假定输入信号中有用的成分和希望去掉的成分各占有不同的频带，即关于信号和噪声应具有一定的先验知识，这样当原始信号通过一个线性系统时有效的去掉无用的成分。如果有用信号和噪声的频谱相互叠加，那么经典滤波器就无能为力了。现代滤波器是在没有任何关于信号和噪声的先验知识的条件下，从含有噪声的测量数据或时间序列中估计信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出，那么被估计的信号将比原信号具有更高的信噪比。现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计特性（如自相关函数、功率谱）导出一套最佳的估计算法，然后用硬件或软件予以实现。根据所处理的信号不通，滤波器还通常分为模拟滤波器和数字滤波器，现代滤波器大多是数字滤波器。213数字滤波器概述从输入信号中滤出噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，相应的装置称为滤波器。如果滤波器的输入和输出均为离散信号，称该滤波器为数字滤波器。当滤波器的输出信号为输入端的线性函数时，该滤波器称为线性滤波器，否则就称为非线性滤波器。数字信号处理的一种重要方式就是滤波，数字滤波器就是指具有某种选择性的器件、网络或以计算机硬件支撑的计算机程序。与模拟滤波器不同的是，数字滤波器处理的信号是离散的数字信号。数字滤波器可以用差分方程、单位取样响应以及系统函数等表示。对于研究系统的实现方法，即它的运算结构来说，用框图表示最为直接。设输入信号为XN，输出信号为YN，该数字滤波器可用以下差分方程来表示（2101MINIINYBNXAY1）式中，称为滤波器系数。当时，上式变为IAIBIB（22）10MIINXAY这种滤波器称为全零点滤波器。如果，时，则称为全极点滤波器或递归滤IIB波器。由上式，可知数字滤波器的传递函数为23MIIIZBAZH110其单位冲击响应函数为24ZHNH125IINXHXY如果当N0时，有HN0，这样的滤波器系统称之为因果系统。如果冲激响应函数是有限长的，即26ELSNNHN,0则称此滤波器为有限冲激响应FIRFINITEIMPULSERESPONSE滤波器，否则，称之为无限冲激响应IIRINFINITEIMPULSERESPONSE滤波器。如果HN满足如下条件27CNH0,则称此滤波器是因果的，并且是稳定的。一个给定的输入输出关系，可以用多种不同的数字网络来实现。在不考虑量化影响时，这些不同的实现方法是等效的；但在考虑量化影响时，这些不同的实现方法性能上就有差异。因此，运算结构是很重要的，同一系统函数HZ，运算结构的不同，将会影响系统的精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等许多重要性能。数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应IIR滤波器和有限长冲激响应FIR滤波器。IIR滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应。这种滤波器一般需要用递归模型来实现，因而有时也称之为递归滤波器。FIR滤波器的冲激响应只能延续一定时间，在工程实际中可以采用递归的方式实现，也可以采用非递归的方式实现。数字滤波器的设计方法有多种，如双线性变换法、窗函数设计法等等。随着MATLAB软件尤其是MATLAB的信号处理工作箱的不断完善，不仅数字滤波器的计算机辅助设计有了可能，而且还可以使设计达到最优化。数字滤波器设计的基本步骤如下1确定指标在设计一个滤波器之前，必须首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标。在很多实际应用中，数字滤波器常常被用来实现选频操作。因此，指标的形式一般在频域中给出幅度和相位响应。幅度指标主要以两种方式给出。第一种是绝对指标。它提供对幅度响应函数的要求，一般应用于FIR滤波器的设计。第二种指标是相对指标。它以分贝值的形式给出要求。在工程实际中，这种指标最受欢迎。对于相位响应指标形式，通常希望系统在通频带中具有线性相位。运用线性相位响应指标进行滤波器设计具有如下优点只包含实数算法，不涉及复数运算；不存在延迟失真，只有固定数量的延迟；长度为N的滤波器阶数为N1，计算量为N/2数量级。2逼近确定了技术指标后，就可以建立一个目标的数字滤波器模型。通常采用理想的数字滤波器模型。之后，利用数字滤波器的设计方法，设计出一个实际滤波器模型来逼近给定的目标。3性能分析和计算机仿真数字滤波器的实现，大体上有如下几种方法1在通用的微型机上用软件来实现。软件可以由使用者自己编写或使用现成的。自IEEEDSPCOMM于1979年推出第一个信号处理软件包以来，国外的研究机构、公司也陆续推出不同语言不同用途的信号处理软件包。这种实现方法速度较慢，多用于教学与科研。2用单片机来实现。目前单片机的发展速度很快，功能也很强依靠单片机的硬件环境和信号处理软件可用于工程实际，如数字控制、医疗仪器等。3利用专门用于信号处理的DSP片来实现。DSP芯片较之单片机有着更为突出的优点，如内部带有乘法器、累加器，采用流水线工作方式及并行结构，多总线，速度快，配有适于信号处理的指令等，DSP芯片的问世及飞速发展，为信号处理技术应用于工程实际提供了可能。22自适应滤波器基本理论所谓的自适应滤波，就是利用前一时刻以获得的滤波器参数的结果，自动的调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。自适应滤波器实质上就是一种能调节其自身传输特性以达到最优的维纳滤波器。自适应滤波器不需要关于输入信号的先验知识，计算量小，特别适用于实时处理。由于无法预先知道信号和噪声的特性或者它们是随时间变化的，仅仅用FIR和IIR两种具有固定滤波系数的滤波器无法实现最优滤波。在这种情况下，必须设计自适应滤波器，以跟踪信号和噪声的变化。自适应滤波器的特性变化是由自适应算法通过调整滤波器系数来实现的。一般而言，自适应滤波器由两部分组成，一是滤波器结构，二是调整滤波器系数的自适应算法。滤波器是参数可变的。自适应算法则用来控制数字滤波器参数的变化。自适应滤波器实际上是一种能够自动调整本身参数的特殊维纳滤波器，在设计时不需要预先知道关十输入信号和噪声的统计特性，它能够在工作过程中逐步了解或估计出所需的统计特性，并以此为依据自动调整自身的参数，以达到最佳滤波效果。图21自适应滤波器的一般形式自适应滤波器的特性变化是由自适应算法通过调整可编程滤波器系数来实现的。一般而言，自适应滤波器由可编程滤波器滤波部分和自适应算法控制部分两部分组成。可编程滤波器即参数可调的滤波器，自适应算法对其参数进行控制以实现最佳滤波工作。可编程滤波器可以是FIR横式滤波器、IIR横式滤波器以及格型滤波器。图21给出了自适应滤波器的一般结构，其中输入信号XN通过可编程滤波器后产生输出信号或响应YN，将其与标准信号DN进行比较，形成误差信号EN，并以此通过某种自适应算法对滤波器参数进行调整，最终使得EN的均方值最小。根据滤波器的输出端信号与输入端信号之间的函数关系，自适应滤波器可以分为线性自适应滤波器和非线性自适应滤波器。由十线性自适应滤波器和相应的算法具有结构简单、计算复杂性低的优点，分析和实现容易，而广泛应用十自适应信号处理系统中非线性自适应滤波器具有更强的信号处理能力，在神经网络和模糊神经网络有着明显的优势，具有通过监督学习逼近未知非线性输入输出映射的能力。但由十非线性自适应滤波器的计算较复杂，硬件参考可调滤波器自适应算法输入信号标准信号误差信号Y（K）实现比较困难，实际用得最多的仍然是线性自适应滤波器。线性自适应滤波器的结构可以是FIR型结构，也可以是IIR型结构。尽管IIR结构的滤波器能够以很小的复杂度来实现和FIR滤波器相同的功能，但IIR型滤波器在自适应处理过程中，极点移出单位圆之外时，就会使滤波器产生不稳定。所以在实际应用中一般都采用FIR型结构，主要是因为FIR结构的自适应技术实现更容易，其权系数的修正就就是滤波器性能的调整，同时FIR结构的滤波器是绝对稳定的，目_具有更好的鲁棒性，这也更适合实时嵌入式应用。通常一个稳定的IIR滤波器总是可以用足够多阶的FIR滤波器来近似代替，用FIR型结构作为自适应滤波器的结构具有广泛的应用空间。一个自适应的FIR滤波器的结构，可以是横截型结构，对称的横截型结构以及格型结构。其中横截型结构是大多数应用情况下所采用的最主要的自适应滤波器结构，它可应用所有FIR滤波器，具有形式简单，易十实现等特点，并可以用流水线提高性能对称的横截型结构可满足符合对称性条件的FIR滤波器，具有权系数少，计算量小的特点，并可以用流水线提高性能，但收到对称性条件的约束格型结构具有收敛速度快，稳定性好，对系数量化精度要求不高的特点，但计算量大，不容易实时实现，只能部分实现流水线。23自适应滤波器的结构自适应滤波器的结构与算法有着密切的联系，因为自适应滤波器既要估计滤波器能实现期望信号的输出，又要估计滤波参数朝有利于目标方向的调整，并保证滤波器的稳定工作。同时，结构的选取不仅会影响到计算复杂度即每次迭代的算术操作数，还会对达到期望性能标准所需的迭代次数自适应收敛的时间产生影响。另外，不同的结构还有特定的应用场合，需要根据实际环境来选择相应的结构和算法。自适应滤波器根据其冲击响应的形式一般分为有限冲击响应自适应滤波器FIR、自适应格型滤波器和无限冲击响应自适应滤波器（IIR三种结构。本文采用自适应滤波器设计中最常用的FIR横向型结构。利用抽头延迟线做成的横向滤波结构的自适应滤波器，通称为自适应横向滤波器或自适应FIR滤波器。它是研究所有自适应滤波算法的基本结构，由于其结构简单、成本较低，也是工程领域最常用的一种自适应滤波器。自适应横向滤波器的结构图如图22所示，为可调节抽头权系数,10NWNN表示在N时刻的系数值。它利用正规直接形式实现全零点传输函数，而不采用反馈调节。权系数的调节过程是首先自动调节滤波器系数的自适应训练步骤，然后利用滤波系数加权延迟抽头上的信号来产生输出信号，将输出信号与期望信号进行对比，所得的误差值通过一定的自适应控制算法再用来调整权值，以保证滤波器处在最佳状态，其抽头加权系数集正好等于它的冲激响应，达到实现滤波的目的。_1IU2IU1MIUNYND1MW1W20IE图22自适应滤波器第三章自适应滤波器递归最小二乘算法31递归最小二乘算法311递归最小二乘算法简介用最小二乘法解决线性滤波问题，这种方法不需要对滤波器输入信号的统计特性进行假设。为了说明最小二乘法的基本思想，假定有一组实数，它们分别取自,21NU时刻。要求构造一条曲线，这条曲线能够以某种最优方式拟合这些数据点。现用NT,21表示这条曲线与时间的函数关系。根据最小二乘法，“最优”拟合是使与，IFITFU之差的平方和最小。,最小二乘法可以看成维纳滤波理论的另一种表示方法。本质上，维纳滤波是从集平均导出的，其结果是一种统计意义上最优的、在各种现实运行环境下获得的滤波器；并假定该滤波器是广义平稳的。另一方面，最小二乘法是确定性的。具体来说，由于它涉及使用时间平均，故其滤波器结果取决于计算所用的样本数。在计算过程中，最小二乘法是一种批处理方法，因为最小二乘滤波器用来处理一批数据。这种滤波器通过一个数据块接一个数据块的重复计算来适应非平稳数据。递归最小二乘估计算法是以最小误差平方和为优化目标，它是在在最小二乘基础上推导出来的。我们先看最小二乘算法的推导。312正则方程采用如图22所示的线性横向滤波器作为模型。通过组成抽头与相应的抽头权值之间的内积，并用作为期1,1,MIUIU110,MWID望响应，我们将误差定义为期望响应和滤波器输出之间的差值，即E31IYDIE其中3210KIUWIYMK将式（32）代入（31）式可得3310KIUWIDEMK在最小二乘法中，横向滤波器抽头权值的选择应该使得误差平方和构成的代价函数最小。该代价函数定义为342102,IIMEW其中和定义了取值范围，我们在这一范围使误差最小化，式中的和也可以看成误差1I2能量。总的来说，我们要解决的问题就是将式（33）代入式（34），然后得到代价函数,0MW在的间隔保持不变。最小化结果得到的滤波器叫做线性最小二乘滤波21I器。和取值取决于数据开窗的情况。1I2横向滤波器模型所用的抽头权值共有M个，由输入数构成的矩阵可以,21NU有不同的形式。这里我们用到协方差法数据开窗。协方差法这种方法对时间段1,N之外的数据不做假设。因此，由定义的极限范围和可以将输入数据用矩阵表示为I1NI2351211MNUUM将式（34）改写为36NIMIEW10,设第K个抽头权值用实部和虚部表示为37KKJBAW将式（37）代入式（33），可得3810MKKIUJBAIDE代价函数对抽头权值实部虚部的导数39KKKBJA得310NMIKIEKU2为了使得代价函数关于横向滤波器抽头权值最小，要求同时满足下列条件3110K1,2用表示按照式（311）使代价函数最小时求出的估计误差的特殊值。从式MINEIE（310）容易看出，式（311）表示的条件等效于下列方程组3120MINNMIEKU1,MK式（312）为正交性原理的瞬时描述。在最小二乘的条件下，最小误差时间序列与横MINE向滤波器第K个抽头上的输入序列正交，K为横向滤波器长度。IU正交性原理建立了一组抽头输入与最小误差之间的关系。令式（33）中的抽头权值为最小二乘意义下的最优权值，可得31310TMINIUWIDEMT将式（313）代入式（312），整理后得到M个联立方程组314NMIMTNITIDKUTTUW101,0M式（314）中两个以I为下标的和式表示求时间平均，知识没考虑比例因子。这可解释如下1式（314）左边的时间平均（对I）表示线性横向滤波器中抽头输入的时间平均自相关函数，可以写为315NMITIUKKT,1,0MKT2式（314）右边的时间平均（对I）表示抽头输入与期望响应之间的时间平均互相关函数，可以写成316NMIIDKUKZ10MK相应地，可将瞬时方程组（314）改写成31710,MTTKZW1,0M方程组（317）是线性最小二乘滤波正则方程的展开式。将式（317）表示的方程组改写为矩阵形式。首先引入定义1输入的时间平均自相关矩阵为1,1,IUIU3181,1,0,00MM，2抽头输入与期望之间的时间平均互相关向量,1,IUIUID为319TMZZZ1,103最小二乘滤波器的抽头向量为320TMWW110,按照这些矩阵定义，将M个联立方程组（314）简单地改写为321Z式（321）是线性最小二乘滤波器的正则方程的矩阵形式。假定是非奇异矩阵，因此逆矩阵存在，可由式（321）解得线性最小二乘滤波器的抽头权向量为322ZW1式（322）是一个很重要的结论它是矩阵的维纳霍夫方程在线性最小二乘条件下的解。式（322）表明线性最小二乘滤波器的抽头权向量由滤波器抽头输入的时间平均相关矩阵W的逆矩阵与抽头输入和期望响应之间时间平均互相关向量Z的乘积唯一确定。313加权因子和正则化另外，习惯上还在的定义中引入加权因子。于是可以写出N32321,NIIE即324IUNWIDYIEH其中是时刻的抽头输入向量，定义为IU325TMIUIUIU1,1,式中是时刻的抽头权值响应，定义为NW326TMNWNW,110式（323）的加权因子满足关系01。一般来说，加权因子其目的在于IN）（,确保滤波器能够忘记“过去的”数据以确保算法适用于非平稳的环境，能跟踪观测数据的统计变化。最小二乘法是一个病态求逆过程。在该问题中，给定构成抽头输入向量的输入数据和相应的期望响应，要求出估计出多重回归模型的位置参数向量，该向量与NUND和有关。D最小二乘的病态特性源于一下原因1输入数据中的信息不足以唯一地构建输入输出之间的映射关系。2在输入数据中不可避免地存在着噪声或不确定的精确性，这为构建输入输出映射关系增加了不确定性。为使估计问题变为非病态，需要某种与输入输出有关的先验信息。这意味着必须扩展代价函数公式，使其能考虑先验信息。为了满足这一要求，我们代价函数扩展为两部分之和327,21NWIENI（假设使用了预加窗。）代价函数的两个分量如下1误差加权平方和3282121,IUNWIDIENHNII它与输入数据有关。这个分量反映出期望响应与滤波器实际响应之间的指数加权误差，且与抽头输入向量之间的关系可用公式表示为IYIU329IUNWIYH2正则化项3302NNHN式中是一个正实数，称为正则化参数。将这一项包含在代价函数中，一遍通过平滑作用来稳定递归最小二乘问题的解。将式（327）展开并进行整理，我们发现，在代价函数中增加正则化项，相当于将抽头输入向量的时间平均相关矩阵表示为2NWIUM331IIUNNHIIN1式中是单位矩。容易发现，增加正则化项还有这样的作用它使得相关矩阵IM在从开始的整个计算过程中非奇异。将式（331）修正为相关矩阵的过程叫对角N0加载。横向滤波器抽头输入与期望响应之间的时间平均互相关向量为1MNZ3321IDUNZIIN它将不受正则化的影响，依然假定使用预加窗法。递归最小二乘问题的正则方程可用矩阵形式写为333NZW314递归计算将对应于的项与式（331）右边的求和项分开，可写出NI33411NUIIUHNHNII根据定义，式（334）右括号内的表达式等于相关矩阵。于是，可使得用于更新抽头输入相关矩阵的递归公式3351NUNH其中是相关矩阵的过去值，矩阵乘积在更新过程中起着修正的作用。1N式（335）的递归过程与初始条件无关。类似的，可用式（332）导出抽头输入与期望响应之间互相关向量的更新公式3361NDUNZ为了按式（331）计算抽头权向量的最小二乘估计，必须确定相关矩阵的逆。然而N在实际中，我们通常尽量避免这样做，因为这种运算非常耗时，特别是当抽头数很大时。M为此，我们先引入一个著名的结果矩阵求逆引理。设和是两个正定矩，他们之间的关系为ABM337H1CDBA其中，是正定矩，是矩阵。根据矩阵求逆引理，可将的矩阵表示为DNCNA338BCDBAH11假定相关矩阵是非奇异的，因而它可逆。我们对式（335）所表示的递归方程应用矩阵求逆引理，首先做如下设定3391DNCBA1U然后将这些定义代入求逆引理，可得计算相关矩阵的递归方程如下34011211NUNNH为了方便计算，令3411NP和34211NUPNKH用上面的定义，可将式（340）改写为34311NPUKNPH矩阵叫做逆相关矩阵，向量叫做增益向量。式（343）是RLSMNM算法的RICCATI方程。整理式（342），可得（3111NUPNKUNPKH44）即34511NUPNKPNKH从式（343）可以看出，式（345）右边最后一行括号里的表达式等于。因此，我们可将式（345）简化为346NUPK这一结论，连同，可以用来定义增益向量1NP3471NUK换句话说，增益向量可定义为经相关矩阵逆矩阵变换的抽头输入向量。NNU313抽头向量的时间更新下面导出更新抽头权向量最小二乘估计的递归公式。为此，用式（331）、式（336）NW和式（341）来表示抽头权向量N次迭代的最小二乘估计34811NDUPZPZNW将式（348）右边第一项中用式（343）代替，可得N349111NDUPNWUKNWNDPZZPHH最后，应用等于增益向量，可使得更新抽头权向量的递归方程为P35011NKNWNDNKNH其中35111NUNDNUDNHT是一个先验误差。内积表示基于时刻抽头权向量最小二乘估计旧值得期1WH望响应的估值。ND313RLS算法小结算法初始化352IPW10对每一时刻，计算,21N3531NUPNKH354WD355KN35611NPUPNH32递归最小二乘RLS算法的性能分析RLS递推最小二乘法算法的关键是用二乘方的时间平均的最小化锯带最小均方准则，并按时间进行迭代计算。对于非平稳信号的自适应处理，最合适的方法是采用最小二乘自适应滤波器。它使误差的总能量最小。RLS算法的优点是收敛速度快，其收敛性能与输入信号的频谱特性无关，但其缺点是计算复杂度很高，对于N阶的滤波器，RLS算法引入了数加权遗忘因子。该遗忘因子的引入，使RLS算法能够对非平稳信号进行跟踪。粗略的说，的倒数可以用来衡量算法的记忆能力；而的特殊情况，则对应于无限记忆。本文11后续实验部分默认。1由于设计简单、性能最佳，其中RLS滤波器具有稳定的自适应行为而且算法简单，收敛性能良好。第四章基于MATLAB自适应滤波器仿真MATLAB是由美国MATHWORKS公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、FORTRAN）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。MATLAB和MATHEMATICA、MAPLE、MATHCAD并称为四大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。本节中我们利用MATLAB仿真软件，仿真系统框图如下图所示。_NXRE可调滤波器自适应算法高斯噪声NB原始输入信号噪声信号期望信号NEY输出信号误差信号DNXNB图41仿真框图41正弦波去噪实验原始信号为单一正弦波，加入方差为08的随机高斯噪声，滤波器输入信号XRTTB为，输出信号为。TXTY以下为相关程序CLEARCLCRANDNSEED,0RANDSEED,0N1000N200K12B08RANDN1,NXZEROS1,NFORI1NXR1,ISINK2PII/NX1,IXR1,IBIENDDELTA00001P1/DELTAEYENKZEROSN,NWZEROSN,NEZEROS1,NYZEROS1,NFORIN1NKI,PXIN1I/1XIN1IPXIN1IE1,IXRIWI1,XIN1IWI,WI1,E1,IKI,PPKI,XIN1IPY1,IWI,XIN1IENDFIGURE1SUBPLOT2,1,1PLOT0NN,XR1,NN,RYLABEL幅值XLABEL时间TITLE原始输入信号XR时域图GRIDONSUBPLOT2,1,2PLOTABSFFTXRGRIDYLABEL幅值XLABEL时间TITLE原始输入信号XR频域图FIGURE2SUBPLOT2,1,1PLOT0NN,X1,NNTITLE滤波器输入信号X时域图YLABEL幅值XLABEL时间GRIDSUBPLOT2,1,2PLOTABSFFTXGRIDYLABEL幅值XLABEL时间TITLE滤波器输入信号X频域图FIGURE3PLOT0NN,E1,NNHOLDONPLOT0NN,Y1,NN,RHOLDONGRIDONTITLE误差信号ET和输出信号YTGTEXTEK,GTEXTYKFIGURE4SUBPLOT2,1,1PLOTABSFFTEYLABEL幅值XLABEL时间GRIDYLABEL幅值XLABEL时间TITLE误差信号E频域图SUBPLOT2,1,2PLOTABSFFTYGRIDYLABEL幅值XLABEL时间TITLE滤波器输出信号Y频域图运行以上程序，得到图42到45。图42原始输入信号时域及频域图图43滤波器输入信号时域及频域图图44误差信号及输出信号时域图图45滤波器输误差信号和输出信号频域图图42为原始输入信号，为单一频率正弦波，幅值为1，图43为原始信号叠加方TXR差为08的随机高斯噪声，得到滤波器输入信号，从频谱图可以看出，包含原始信号有TX很多频率。图44中红色部分为经过RLS滤波器后的输出信号，蓝色部分为误差信TYTE号。可以看出误差信号较小。图45为输出信号和误差信号的频域图，可以看出输出信号频率较集中。由上可知，滤波效果较好。42滤波器正则化参数的确定RLS算法有两个特殊的可变参数抽头输入数据的信噪比，这个量由运行的条件决定；正则化参数。以下做了对比实验，在输入为正弦波，控制加性高斯噪声的均值，相同均值的随机的噪声都保持不变。来实现不同信噪比，分析正则化参数的在最佳选择。421高信噪比原始输入信号是幅值为1的正弦波，噪声方差为01。实验组190实验组2程序如下实验组1RANDNSEED,0RANDSEED,0N5000N200K12B01RANDN1,NXZEROS1,NFORI1NXR1,ISINK2PII/NX1,IXR1,IBIENDDELTA09P1/DELTAEYENKZEROSN,NWZEROSN,NEZEROS1,NYZEROS1,NTRZEROS1,NFORIN1NKI,PXIN1I/1XIN1IPXIN1IE1,IXRIWI1,XIN1IWI,WI1,E1,IKI,PPKI,XIN1IPY1,IWI,XIN1IENDFIGURE1SUBPLOT2,1,1PLOT0NN,E1,NNHOLDONPLOT0NN,Y1,NN,RHOLDONGRIDONTITLE误差信号ET和输出信号YTYLABEL幅值XLABEL时间SUBPLOT2,1,2PLOT0NN,WNN,1,HOLDONPLOT0NN,WNN,2,R,HOLDOFFGRIDTITLE抽头权值W的变化YLABEL幅值XLABEL时间运行以上程序，得到图46。运行结果图46误差信号输出信号和抽头权值W变化图实验组2程序与实验组1大部分相同，改变DELTA00001运行得到图47。图47误差信号输出信号和抽头权值W变化图当信噪比较高时，实验组1抽头系数在4000开始收敛，实验组2抽头系数在500开始收敛。两组误差信号都很小。不难看出，实验组2收敛速度更快。422低信噪比原始输入信号是幅值为1的正弦波，噪声方差为08。实验组190实验组2实验程序与高信噪比时大部分一样，变动的语句B08RANDN1,N。其它部分这里就不再重复。运行得到图48，图49图48误差信号输出信号和抽头权值W变化图图49误差信号输出信号和抽头权值W变化图当信噪比较低时，实验组1抽头系数在1800开始收敛，误差信号较小。实验组2抽头系数在500开始收敛，但是误差信号波动较大。综合考虑。实验组1的全局性能较好。423结论综合上述两组对比实验，当抽头输入噪声电平低（即输入信噪比较高）时，RLS算法的正则化系数取较小的正常数收敛速度更快，滤波效果也较好。当抽头输入噪声电平高（即输入信噪比较低）时，RLS算法的正则化系数取较大的正常数收敛速度较快，滤波效果也较好，全局性能更好。43输入信号不同对滤波效果的影响431输入信号为周期信号原始信号输入为周期三角波，噪声方差为2。CLEARCLCRANDNSEED,0RANDSEED,0N1000N200K12B2RANDN1,NFORI1NXR1,ISINK2PII/NX1,IXR1,IBIENDT000010999XR10SAWTOOTH2PI5T,05XZEROS1,NFORJ1NX1,JXR1,JBJENDDELTA0001P1/DELTAEYENKZEROSN,NWZEROSN,NEZEROS1,NYZEROS1,NFORIN1NKI,PXIN1I/1XIN1IPXIN1IE1,IXRIWI1,XIN1IWI,WI1,E1,IKI,PPKI,XIN1IPY1,IWI,XIN1IENDFIGURE1SUBPLOT2,1,1PLOT0NN,XR1,NN,RYLABEL幅值XLABEL时间TITLE原始输入信号XR时域图GRIDONSUBPLOT2,1,2PLOTABSFFTXRGRIDYLABEL幅值XLABEL频率TITLE原始输入信号XR频域图FIGURE2SUBPLOT2,1,1PLOT0NN,X1,NNTITLE滤波器输入信号X时域图YLABEL幅值XLABEL时间GRIDSUBPLOT2,1,2PLOTABSFFTXGRIDYLABEL幅值XLABEL频率TITLE滤波器输入信号X频域图FIGURE3PLOT0NN,E1,NNHOLDONPLOT0NN,Y1,NN,RHOLDONGRIDONTITLE误差信号ET和输出信号YTYLABEL幅值XLABEL时间GTEXTEK,GTEXTYKFIGURE4SUBPLOT2,1,1PLOTABSFFTEGRIDYLABEL幅值XLABEL频率TITLE误差信号E频域图SUBPLOT2,1,2PLOTABSFFTYGRIDYLABEL幅值XLABEL频率TITLE滤波器输出信号Y频域图运行得到图410到图413。图410原始信号时域和频域图图411滤波器输误差信号和输出信号频域图图412滤波器输误差信号和输出信号频域图图413滤波器输误差信号和输出信号频域图如图从时域观察，原始信号峰值为10，噪声峰值为2。滤波之后误差信号值接近于0。从频域上看，接近原始信号频谱。滤波效果较好。432输入信号为非周期信号本实验原始输入信号为纯背景音频信号，格式为WAV,将其放在MATLAB文件，存为“2WAV”。所加噪声方差为2。实验程序如下CLEARCLCRANDNSEED,0RANDSEED,0N1000N200K12B2RANDN1,N纯背景音乐的音频信号F500C16Y,F,CWAVREAD2WAVY1YF101F12,WAVWRITEY1,F,16,TEST_NEW3WAVWAVPLAYY1,FY2ZEROSN,1FORJ1NY2J,1100Y1J,1ENDXRY2噪声叠加XZEROS1,NFORJ1NX1,JXR1,JBJENDRLS算法DELTA0001P1/DELTAEYENKZEROSN,NWZEROSN,NEZEROS1,NYZEROS1,NTRZEROS1,NFORIN1NKI,PXIN1I/1XIN1IPXIN1IE1,IXRIWI1,XIN1IWI,WI1,E1,I