2018高考数学（理）第一次模拟试卷(含答案

2018高考数学（理）第一次模拟试卷含答案数学理科本试卷共4页，满分150分考试用时120分钟注意事项1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答第卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效3回答第卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效4考试结束，将本试题和答题卡一并交回第卷一、选择题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（2）已知复数，则（A）4（B）6（C）8（D）10（3）已知向量，若，则（A）（B）（C）（D）（4）一个圆柱形水桶，底面圆半径与高都为2（桶底和桶壁厚度不计），装满水后，发现桶中有一个随处悬浮的颗粒，用一个半径为1的半球形水瓢（瓢壁厚度不计）从水桶中舀满水，则该颗粒被捞出的概率为（A）（B）（C）（D）（5）已知，实数满足，则（A）（B）（C）（D）（6）与中国古代数学著作算法统宗中的问题类似，有这样一个问题“四百四十一里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为“有一个人走441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人最后一天行走的路程为（A）35里（B）7里（C）14里（D）28里（7）函数的部分图象大致为（A）（B）（C）（D）（8）已知两条直线与被圆截得的线段长均为，则圆的面积为（A）（B）（C）（D）（9）某几何体三视图如图1示，则此几何体的表面积为（A）（B）（C）（D）（10）已知F1、F2是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，线段的垂直平分线经过点F2，且，则此双曲线C的离心率为（A）（B）（C）（D）（11）某地铁站有A、B、C、D、E五个自动检票口，有4人一同进站，恰好2人通过同一检票口检票进站，另2人各自选择不同的检票口检票进站，则不同的检票进站方式的种数为（A）60（B）180（C）360（D）720（12）已知是函数的极值点，且满足，则符合要求的的个数为（A）（B）（C）（D）第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第23题为选考题，考生根据要求做答二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上（13）图2是一个算法流程图，若输入X的值为，则输出的Y的值是（14）已知实数满足约束条件，则的取值范围为是（15）已知数列满足，设数列的前N项和为，则_（16）已知抛物线的焦点为，抛物线上的动点（不在原点）在轴上的投影为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，当最小时，三角形的面积为三、解答题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）ABC的内角A、B、C的对边分别为A、B、C，已知，（）求角A的值；（）求ABC的面积（18）（本小题满分12分）如图3，在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABC和PAC都是正三角形，E、F分别是AC、BC的中点，且PDAB于D（）证明平面PEF平面PED；（）求二面角的正弦值（19）（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个250元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得图4的条形图记X表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，Y表示1台机器在图4购买易损零件上所需的费用（单位元）,表示购机的同时购买的易损零件数（I）若19，求Y与X的函数解析式；（II）以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件发生的概率（）若要求“需更换的易损零件数不大于”的概率不小于05，求的最小值；（）假设取19或20，分别计算1台机器在购买易损零件上所需费用的数学期望，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件（20）（本小题满分12分）已知A是椭圆上的动点，点，点与点关于原点对称（I）求PAC面积的最大值；（II）若射线、分别与椭圆T交于点、，且，证明为定值（21）（本小题满分12分）已知，函数（I）讨论的单调性；（II）已知当时，函数有两个零点和（），求证请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分（22）（本小题满分10分）选修44坐标系与参数方程在直角坐标系XOY中，直线L1的参数方程为（T为参数），直线L2的参数方程为（M为参数），当K变化时，设L1与L2的交点的轨迹为曲线C（I）以原点为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（II）设曲线C上的点A的极角为，射线OA与直线的交点为B，且，求的值（23）（本小题满分10分）选修45不等式选讲已知函数，A为实数（I）当时，求不等式的解集；（II）求的最小值揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学理科参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一、选择题题序123456789101112答案CDBAABCABDCB解析（9）由三视图知，该几何体是一棱长为2的正方体和一底面半径为、高为1的圆柱的组合体，其表面积（10）不妨设点P在第一象限，依题意有，又由得（11）；（12）法1由是函数的极值点可得，即，故因，当时，成立；当时，；当时，；综上知，满足题意的时，共个【法2由题意知，得；由图象得的解为或，即或，即或，因故无解，由得时，共个】二、填空题题序13141516答案2解析（16）显然，即的最小值为，仅当、共线且点在、之间时取等号，此时，即直线的斜率为（取也可），联立，可得，故三、解答题（17）解（）由已知及，得，2分即，得4分又，即；6分（）由已知及正弦定理得，7分由余弦定理，得，9分解得，10分ABC的面积为12分（18）解（）E、F分别是AC、BC的中点，EF/AB，1分在正三角形PAC中，PEAC，又平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PE平面ABC，3分PEAB，又PDAB，PEPDP，AB平面PED，5分又EF/AB，EF平面PED，又平面PEF，平面PEF平面PED6分（）解法1平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，BEAC，BE平面PAC，7分以点E为坐标原点，EA所在的直线为X轴，EB所在的直线为Y轴，建立空间直角坐标系如图示，则,8分,设为平面PAB的一个法向量，则由得，令，得，即10分设二面角的大小为，则,，即二面角的正弦值为12分】【解法2由（）知EF平面PED，EFED，以点E为坐标原点，ED所在的直线为X轴，EF所在的直线为Y轴，建立空间直角坐标系如图示，AE1，EAD60，AD,又,则,8分平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，BEAC，BE平面PAE，故为平面PAE的法向量，9分设为平面PAD的一个法向量，则由得，令得，故10分设二面角的大小为，则,，即二面角的正弦值为12分】【解法3二面角即二面角CPAB，在平面PAB内过点B作于G，连结GE,平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，BEAC，BE平面PAC，,又，,平面BEG，PAGE，EGB为二面角CPAB的平面角，8分,，11分即二面角的正弦值为12分】（19）解（I）依题意得3分（）（）由条形图知,，故，5分，6分由上可知，需更换的零件数不大于18的概率为046,不大于19的概率为07,故的最小值为197分（）N取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为元和元,则的可能取值为1900,2150,2400且,，故元9分的可能取值为2000,2250且，故（元）11分，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件12分（20）解（）设，依题意得点,1分则2分点A在椭圆上，3分（当且仅当时等号成立）PAC面积的最大值为14分（）证法1当直线AP的斜率存在时，设其方程为，由，消去，得，5分设，由韦达定理，得，而由，得，故，代入、，得两式相除，得，代入，整理得；7分对于射线，同样的方法可得，故是方程的两个根，9分由韦达定理，；10分当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0,1）时，则B、C重合于点（01），D、A重合，由，得这时；11分若点A为椭圆T的下顶点（0,1），同理可得；综上可知为定值，该值为12分【证法2当直线AP的斜率存在时，这时点A不在Y轴上，即X10，设其方程为由，消去，得，5分设，由韦达定理，得，6分又，代入上式得，7分由，得，故，得，8分对于射线，同样的方法可得，9分10分当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0,1）时，则B、C重合于点（01），D、A重合，由，得这时；11分若点A为椭圆T的下顶点（0,1），同理可得；综上可知为定值，该值为12分】（21）解（），若，显然恒成立，在上单调递增；2分若，当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增；4分若，当时，当时，由，得，由，得，故在上单调递减，在上单调递增；6分（）证法1，故，结合的单调性知，的两个零点和满足以及，且，7分，于是，8分令，（）则，9分记，则，在上单调递减，故，即函数在上单调递减，11分又在上单调递减，12分【证法2，故，结合的单调性知，的两个零点和满足以及，且，7分要证明，只需证，即证，8分注意到、，且在上单调递减，故只需证，即证，9分而，记，记，则，故即单调递减，11分故单调递