小升初暑假讲义——数学

第一讲正数和负数、有理数分类一、知识要点正数和负数的概念为了满足实际需要，引入了正数和负数的概念，正数和负数表示了一些具有相反意义的量。如果把收入100元表示为100元，那么支出100元再用100元来表示就无法分清是收入还是支出了，所以我们就用100元来表示支出100元。我们把其中一种意义的量规定为正，则另一种与它相反意义的量规定为负。正数就是我们在小学学习的除零以外的所有数，负数就是在正数前面加上“”号的数。知识延伸1根据需要正数前面有时也加上“”正号。例如3、15，2负数前面的“”负号不能省略，否则就变成了正数。例如8不能写成8；3不能误认为带“”号的数就是正数，带“”号的数就是负数。例如3就不是正数，5也不是负数以后会学到；40既不是正数，也不是负数，正数比0大，负数比0小，0的意义已不仅是表示“没有”，它是正数和负数的分界，同时也表示“有”。例如海拔0表示海平面的平均高度。2、具有相反意义的量把0以外的数分为正数和负数，起源于表示两种相反意义的量，后来正数和负数在许多方面被广泛地应用。比如零下80C可以表示为80C，零上80C则可以表示为80C；收入200元可以表示为200元，支出200元则可以表示为200元等。若正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反意义的量。常见的表示相反意义的量有零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、上升和下降等。知识延伸1用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量时，应注意两点它们的意义相反，如向东与向西；它们都是同类量。2具有相反意义的量的正负性是相对的，且是可以互换的。例如规定亏损3万元记为3万元，则5万元就表示为盈利5万元。3、有理数的分类12知识延伸1正整数和0称为非负整数，负整数和0称为非正整数；自然数指正整数和0，也就是非负整数；2当两个数相除时，若能够整除，则商为整数；若不能够整除，便出现了分数，所以第一种分类是按除法的性质分的。当两个数相减时，若够减，则差为正数或0；若不够减，便出现了负数。如264，所以第二种分类是按减法的性质来分的。规律方法小结有理数分类时必须按同一标准分类，不能把两种分类方法混在一起，否则容易出错。二、典型例题例1、下列各数哪些是正数哪些是负数503145,4，宏硕教育内部资料2例2、用正数和负数表示下列具有相反意义的量。1向东走200米和向西走300米；2进口3000箱苹果和出口2000箱苹果；3盈利10000元和亏损30000元；例3、小明的妈妈前年从单位下岗后，投资经营小百货，由于不懂经商之道，到2007年底结帐时，亏损13570元。从2008年初，她调整了适销商品，改善经营策略，到2008年底结帐时，她惊奇的发现，这一年不但补上了2007年亏损的钱，而且还净赚24670元。请你帮助小明的妈妈把2007年和2008年的收入情况用正数和负数表示出来。例4、向东走6米，实际上就是向_走_米。练一练在一条东西方向的道路上，小亮先向东走了8米，记作“8米”，又向西走了10米，此时他的位置可记作_米。例5、对于“0”的说法正确的有_0是正数和负数的分界；00C是一个确定的温度；0为正数；0是自然数。例6、下列说法正确的是A、正整数、正分数、0统称为有理数B、正整数、负整数统称为整数C、正有理数、0、负有理数统称为有理数D、0不是整数练一练下列语句不带“”号的数都是正数；如果A是正数，那么A一定是负数；不带“”号的数都是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数。其中正确的有_例7、把填入相应的集合的圈内。5,4310,27,3142,056,31正数集合正整数集合非负数集合负分数集合练一练把下面各数填在相应集合的大括号里宏硕教育内部资料315，3，1，15，0，02，314135正数集合；负数集合；整数集合；正分数集合；负分数集合；分数集合例8、若一架飞机在高于海平面100米的地方飞行记作100米，那么，一艘潜水艇在海平面以下50米处航行，应记作_。练一练如果水库的水位高于标准水位3M时，记作3M，那么低于标准水位2M时，应记作_M。例9、小王在超市买了一袋洗衣粉，包装上标有“净重8005G”的字样，那么这袋洗衣粉的重量应不多于_G。例10、观察下面一列数，探求其规律,765,43,211写出第7、8、9项的三个数2第2012个数是什么3如果这一列数无限排列下去，与哪两个数越来越接近三、作业1、下列说法正确的是A、3，5，05，0都是负数B、0既是正数又是负数C、0不是非负数D、6既是整数又是正数2、若规定上升为正，则水位上升05M的意义是A、水位上升了05MB、水位下降了05MC、水位没有变化D、水位下降了5M3、一个物体沿着东西两个方向运动，且规定向东记为正，向西记为负1向东运动2米，记作_，向西运动4米，记作_；23米表示向_运动_米；6米表示向_运动_米；3物体原地不动时，记作_米。4、一条鲨鱼所在的高度是200米，鲸在鲨鱼上方50米处，则鲸所在的高度是_米；若此处海底的高度为300米，那么鲨鱼和鲸所在的高度各比海底高_米、_米。5、在商品的买卖过程中，利润的计算公式是利润销售收入成本。王红利用这个公式算出妈妈经营的小店某一天的利润为20元，则20元的利润表示的意义是_。宏硕教育内部资料46、如果节约16吨水记作16吨,那么浪费6吨水记作吨7、2005年10月9日上午10点,国务院新闻办公室举行新闻发布会,国家测绘局局长陈邦柱公布了珠穆朗玛峰新高程为884443米,它表示珠穆朗玛峰,在中国地形图上,吐鲁番盆地处标有一155米,它表示海平面的平均高度一般用数表示8、写出1和1之间的任意一个负数1除外。9、某产品成本提高30，实际表示。10、A点海拔30米，B点比A点高10米，那么B点海拔。11、某食品包装上标有“净含量385克5克”，则这包食品的合格净含量范围是_克390克。12、小明把50C说成“零下负5摄氏度”，这种说法对吗如果不对，应该怎样说你认为零下负5摄氏度实际是多少13、某项科学研究以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如915记为1，1045记为1，以此类推，上午745应记为A3B3C215D74514、观察下面的一列数，探求规律请接着写出后面的3个数，说出第2006个数是多少11，1，1，11，1，,第2006个数是。21，2，3，4，5，6，,第2006个数是。31，,第2006个数是。41564第3小题中的数，如果无限继续写下去，那么会越来越接近某个数，这个数是。15、有一次同学聚会，他们的座位号是小王的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，小李的座位号与下列一组数中的正整数的个数相等6，,0,200,522,001,67，,10,300,24317314731试问小王、小李坐的各是第几号位置2若这次同学聚会的人数是小王的座位号的2倍与小李的座位号的4倍的和，请问这次聚会到了多少名同学16、课桌的高度比标准高度高2CM记作2CM，那么比标准高度低3CM记作什么现有5张宏硕教育内部资料5课桌，小明测量了它们的高度，记录如下LCM，0CM，LCM，3CM，15CM，若规定课桌的高度与标准高度相差最多不能超过2CM，问上述5张课桌中有几张合格17、黑板上有10个有理数，小明说“其中有6个正数”，小红说“其中有6个整数”，小华说“其中正分数的个数与负分数的个数相等”，小林说“负数的个数不超过3个”请你根据四位同学的叙述判断这10个有理数中共有几个负整数宏硕教育内部资料6第二讲数轴相反数一、知识要点1、数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴的画法1画一条水平的直线；2在直线上适当的选取一点为原点；3通常规定直线上从原点向右为正方向，用箭头表示出来箭头标在画出部分的最右端；4根据需要选取适当的长度为单位长度，从原点向右、向左每隔一个单位长度取一点，依次标为1，2，3，；1，2，3，知识延伸画数轴要注意以下三点1三要素缺一不可；2数轴是一条直线，不要画成线段或射线；3单位长度要一致。规律方法小结1数轴是一条直线，可以向两方无限延伸，画出的部分两端不要描点，以免画成射线或线段；2原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，一般取向右为正方向，箭头标在画出部分的最右端。2、数轴上的点与有理数之间的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数。如数轴上表示的点表示的数就不是有理数。正数可以用原点右边的点表示，反过来原点右边的点都表示正数；负数可以用原点左边的点表示，反过来原点左边的点都表示负数。0用原点表示，反过来原点表示0。3、相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。相反数的几何意义在数轴上位于原点两旁并且到原点的距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。A与A互为相反数，A的相反数是A，A的相反数是A。知识延伸1相反数总是成对出现的，只能两个数互为相反数，对一个数而言是谈不上互为相反数的。例如说2是相反数是错误的。2“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除符号不同外，其他完全相同，并不是符号不同的两个数就是互为相反数。例如3与2符号不同，但它们不是互为相反数。规律方法小结1当A0时，A0。以上说明A不一定是正数，A也不一定是负数；2多重符号的化简方法一个数前面是“”号，可以把“”号去掉；一个正数前面有偶数个“”号，可以把“”号都去掉；一个正数前面有奇数个“”号，则化简符号后只有一个“”号。二、典型例题例1、下列各图中，符合数轴定义的是AB1011CD0112宏硕教育内部资料7101练一练下列语句数轴上的点只能表示整数；数轴是一条线段；数轴上的一个点只能表示一个数；数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；数轴上的点所表示的数都是有理数。其中正确的有_例2、在数轴上画出表示下列各数的点5031453,4，例3、分别写出下列各数的相反数3160542，例4、下列说法正确的是A3是相反数；B与是相反数；2174C的相反数是；D05的相反数是。53521练一练若一个数的相反数是最大的负整数，那么这个数是。的相反数是；的相反数是；是的相反数。M1M1M例5、化简下列各数11233854526732练一练化简下列各数的符号1。514,13,12,5例6、A，B是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示把A，A，B，B按照从小到大的顺序排列A、BAABB、ABABC、BAABD、BBAA练一练数轴上点A和B分别表示有理数A和B，若A和B互为相反数，A、B两点间的距离是4，且点A在B的左边，求A和B两个数。例7、下列说法正确的是宏硕教育内部资料8A、一个数的相反数一定是正数；B、一个数的相反数一定是负数；C、一个数的相反数可能是正数、负数或0；D数轴上原点两旁的点表示的数互为相反数例8、数轴上表示互为相反数的两点之间的距离是8，这两个数是。A、0和8B、0和8C、4和4D、8和8练一练画一条数轴，并在数轴上表示下列数以及它们的相反数5,321,0例9、马小虎在做作业时，不慎将两滴墨水滴在数轴上，如下图根据图中标出的数值可判断墨迹盖住的整数共有_个例10、如图，点A表示4，任何相邻两点之间的距离都是1个单位长度1在数轴上标出原点0，并指出B点所表示的数；2有一点C不是B点到原点的距离等于B点到原点的距离，那么点C表示什么数三、作业1、任何一个有理数都可以用_上的点表示；2、化简下列各数125323483、检修组乘汽车,沿公路检修线路,约定向东为正,向西为负,某天自A地出发,到收工时,到五个检修停靠点，点行走记录为单位千米6、8、4、4、2、回答下列问题1以点为原点，在数轴上画出五次的检修停靠点，点2收工时在A地的哪边距A地多少千米3若每千米耗油01升,问从A地出发到收工时,共耗油多少升4、如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是宏硕教育内部资料95、小强的妈妈和小强上街买文具和书籍，两个人走散了，已知文具店、书店、服装店和玩具店都依次坐落在某东西走向的商业街上，文具店在书店西20M处，服装店位于书店东30M处，玩具店位于服装店东100M处。妈妈说“小强，你在哪里”小强说“我在玩具店，你呢”妈妈回答说“我在文具店给你买文具呢”根据他们的对话，请你利用数轴表示小强和他妈妈的位置。6、若A5与A1互为相反数，则A是多少呢7、如图所示，数轴上A，B两点分别表示数3和2，点C是A，B两点之间的中点，求点C所表示的数。8、数轴上A对应的数是一1，一只小虫从A点出发，沿着数轴以每秒钟4个单位长度的速度行至B点，立即沿原路返回A点，共用9秒钟；1小虫的爬行的路程是多少个单位长度2B点对应的数是多少9、如果是负数，那么0；如果是负数，那么BABABABA0。10、一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位长度后，得到它的相反数的对应点，你能求出这个数吗11、已知数轴上点A、B分别表示数A和它的相反数；点A在B的左边，点A与原点的距离是3个单位长度，试求若将点A沿数轴向右移5个单位长度后得到点C，则点C表示的数的相反数是多少宏硕教育内部资料1012、如图，在数轴上有三个点A、B、C1将点B向左移动3个单位，三个点所表示的数哪个最小是多少2将点A向右移动4个单位，三个点所表示的数哪个最小是多少3将点C向左移动6个单位，这时点B表示的数比点C表示的数大多少4怎样移动A、B、C中的两个点，才使三个点表示的数相同有几种移动方法宏硕教育内部资料11第三讲绝对值及有理数大小比较一、知识要点1、绝对值绝对值的几何意义一般的，数轴上表示数A的点与原点的距离叫做数A的绝对值，记作|A|。知识延伸绝对值等于它本身的数是正数和0，易漏掉0；绝对值等于它的相反数的数是负数和0，易漏掉0。规律方法小结10既可以看作是0本身，也可以看作是0的相反数。数A的绝对值0A2无论是绝对值的几何意义，还是绝对值的代数意义，都揭示了绝对值的一个重要性质非负性，既|A|0。2、有理数的大小比较比较有理数的大小的方法有两种1利用数轴直观比较有理数的大小；数轴上，右边的数总比左边的数大。2利用绝对值的知识比较有理数的大小；正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。知识延伸在数轴上比较有理数的大小比较直观，一目了然，但比较麻烦，而利用绝对值比较有理数的大小比较方便，一般都采用。规律方法小结1有理数在小学学过的数的基础上多了负数；2数轴所有的有理数在数轴上都能找到表示它的点；3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。互为相反数的两个数在数轴上位于原点两侧，并且到原点的距离相等。0的相反数还是0；4绝对值在数轴上看就是表示一个数的点到原点的距离。对于一个具体的数，则抛开它的符号，只看后面的“数”即绝对值。0的绝对值是0；5归类法把事物按某些特性进行归类，进行归类时要注意两点不重复，即同一事物不能归到两个类别中。如把有理数分为整数和正数两类，其中正整数就归到了两个类别中，