高中数学导数知识点归纳总结及例题

导导数数考试内容导数的背影导数的概念多项式函数的导数利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值考试要求（1）了解导数概念的某些实际背景（2）理解导数的几何意义（3）掌握函数，YCC为常数、YXNNN的导数公式，会求多项式函数的导数（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值14导导数数知识要点知识要点1导数（导函数的简称）的定义设0X是函数XFY定义域的一点，如果自变量X在0X处有增量X，则函数值Y也引起相应的增量00F；比值FFY0称为函数F在点0到之间的平均变化率；如果极限XFFXLIMLI000存在，则称函数XFY在点0处可导，并把这个极限叫做FY在处的导数，记作0XF或0|X，即FXFXLILI00注是增量，我们也称为“改变量”，因为X可正，可负，但不为零以知函数FY定义域为A，FY的定义域为B，则A与关系为B2函数XF在点0处连续与点0X处可导的关系导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则函数XFY在点0处连续是XFY在点0处可导的必要不充分条件可以证明，如果F在点0处可导，那么XFY点0处连续事实上，令X0，则X相当于于是LIMLILIM000XFFXFFFXXX0LIMLILI00000XFFXFFFXXX如果FY点0X处连续，那么FY在点处可导，是不成立的例|XF在点处连续，但在点0X处不可导，因为XY|，当0时，1Y；当0时，1XY，故YX0LIM不存在注可导的奇函数函数其导函数为偶函数可导的偶函数函数其导函数为奇函数3导数的几何意义函数XFY在点0处的导数的几何意义就是曲线XFY在点,0XF处的切线的斜率，也就是说，曲线XFY在点P,0XF处的切线的斜率是F，切线方程为00XFY4求导数的四则运算法则VU2121XFXFFYXFXFFYNNCVCV（为常数）02VUU注V,必须是可导函数若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导例如设XXF2SIN，XG2COS，则,XGF在0处均不可导，但它们和GFCO在0处均可导5复合函数的求导法则UFFX或XUXY复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形6函数单调性函数单调性的判定方法设函数XFY在某个区间内可导，如果XF0，则XFY为增函数；如果XF0，则XFY为减函数常数的判定方法；如果函数F在区间I内恒有F0，则F为常数注0XF是F（X）递增的充分条件，但不是必要条件，如32XY在,上并不是都有F，有一个点例外即X0时F（X）0，同样0F是F（X）递减的充分非必要条件一般地，如果F（X）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么F（X）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的7极值的判别方法（极值是在0X附近所有的点，都有XF0F，则0XF是函数F的极大值，极小值同理）当函数XF在点0处连续时，如果在附近的左侧XF0，右侧XF0，那么0XF是极大值；如果在0X附近的左侧F0，右侧F0，那么F是极小值也就是说是极值点的充分条件是X点两侧导数异号，而不是XF0此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）注若点0X是可导函数XF的极值点，则XF0但反过来不一定成立对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零例如函数3XFY，0使XF0，但0不是极值点例如函数|F，在点处不可导，但点X是函数的极小值点8极值与最值的区别极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较注函数的极值点一定有意义9几种常见的函数导数I0C（为常数）XCOSSIN21ARCSINX1NNX（R）XXSINCS2ROSXIIXLNEXAALOG1L1ARCTN2XXXEAAXXLN1COT2XARIII求导的常见方法常用结论X1|LN形如21NAXAXY或21NBXBAAY两边同取自然对数，可转化求代数和形式无理函数或形如XY这类函数，如XY取自然对数之后可变形为XYLNL，对两边求导可得XXLNLN1L导数中的切线问题例题1已知切点，求曲线的切线方程曲线在点处的切线方程为（）321YX，例题2已知斜率，求曲线的切线方程与直线的平行的抛物线的切线方程是（）40XY2YX注意此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选2YXB2YX20XB01B例题3已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法求过曲线上的点的切线方程32YX1，例题4已知过曲线外一点，求切线方程求过点且与曲线相切的直线方程20，1YX练习题已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方3YX016A，YFX程看看几个高考题1（2009全国卷）曲线21XY在点,处的切线方程为2（2010江西卷）设函数2FG，曲线YGX在点1,处的切线方程为21YX，则曲线YX在点,F处切线的斜率为3（2009宁夏海南卷）曲线21XE在点（0,1）处的切线方程为。4（2009浙江）（本题满分15分）已知函数321FXAXXB,ABR（I）若函数FX的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求,的值；5（2009北京）（本小题共14分）设函数30FAB（）若曲线YFX在点2,FX处与直线8Y相切，求,AB的值；1函数的单调性和导数1利用导数的符号来判断函数单调性一般地，设函数在某个区间可导，YFX如果在这个区间内，则为这个区间内的；0YFX如果在这个区间内，则为这个区间内的。FX2利用导数确定函数的单调性的步骤1确定函数FX的定义域；2求出函数的导数；3解不等式FX0，得函数的单调递增区间；解不等式FX0，得函数的单调递减区间【例题讲解】A求证在上是增函数。31YX,0B确定函数FX2X36X27在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数【课堂练习】1确定下列函数的单调区间1YX39X224X2Y3XX3已知函数XFLN，则（）A在,0上递增B在,0上递减C在E1上递增D在E1上递减函数532XF的单调递增区间是_函数图象及其导函数图象1函数在定义域内可导，其图象YFX3,2如图，记的导函数为，则不/YFX等式的解集为_/0FX2函数的定义域为开区间，导函数3,2XF在内的图象如图所示，则函数3,2的单调增区间是_3如图为函数32FXABCXD的图象，FX为函数F的导函数，则不等式0F的解集为_4若函数的图象的顶点在第四象限，则其导2FXBC函数的图象是（）OYX33XFY5函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一YFXFX条直线，则图象的顶点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限62007年广东佛山设是函数的导函数,的图XFFXFY象如右图所示，则的图象最有可能的是（）Y7设函数FX在定义域内可导，YFX的图象如下左图所示，则导函数YFX的图象可能为8（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数YFX的图像如下右图所示，则YFX的图像可能是（）92010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科已知函数FX的导函数2FXABC的图象如右图，则F的图象可能是XOYO12XYXYYO12YO12XO12XABCDO12XYXF10（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度H随时间T变化的可能图象是（）ABCD112008广州二模文、理已知二次函数的图象如图1所示,则其导函数的图XFXF象大致形状是（）12（2009湖南卷文）若函数YFX的导函数在区间,AB上是增函数，则函数YFX在区间,AB上的图象可能是ABCD13（福建卷11）如果函数的图象如右图，那么XFY导函数YFX的图象可能是OTHHTOHTOOTH侧侧侧侧侧侧侧侧侧ABABAOXOXYBAOXYOXYBY14（2008年福建卷12已知函数YFX,YGX的导函数的图象如下图，那么YFX,YGX的图象可能是（）152008珠海一模文、理设是函数的导函数，将和的图XFXFXFYXF像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）ABCD16湖南省株洲市2008届高三第二次质检已知函数XFY的导函数XFY的图像如下，则（）函数有1个极大值点，1个极小值点函数F有2个极大值点，2个极小值点函数X有3个极大值点，1个极小值点函数有1个极大值点，3个极小值点172008珠海质检理函数的定义域为，其导函XF,BA数内的图象如图所示，则函数在区间,BAXF在XF内极小值点的个数是（）,A1B2C3D418【湛江市文】函数的图象大致是21LNXXFXY1XX4OOO23XXXXYYYYOOOOABCD