x届高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）导数的应用

第十三节导数的应用备考方向要明了考什么怎么考1能利用导数研究函数的单调性、极值或最值，并会解决与之有关的不等式问题2会利用导数解决某些简单的实际问题1利用极值或最值求解参数的取值范围，如X年浙江T22等2利用导数研究方程根的分布情况、两曲线交点的个数等，如X年XT20等3利用导数证明不等式，解决有关不等式问题，如X年天津T20等归纳知识整合1生活中的优化问题生活中常遇到求利润最大，用料最省、效率最高等一些实际问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤探究1求实际问题中的最大、最小值，与求一般函数的最值有什么区别提示在实际问题中要注意函数的定义域应使实际问题有意义另外，在求实际问题的最值时，如果区间内只有一个极值点，就是最值点2如何求实际问题中的最值问题提示有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大小值点自测牛刀小试1教材习题改编已知某生产厂家的年利润Y单位万元与年产量X单位万件的函数关系式为YX381X234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为13A13万件BX万件C9万件D7万件解析选CYX381X234，13YX281，令Y0，则X92教材习题改编从边长为10CM16CM的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为AXCM3B72CM3C144CM3D160CM3解析选C设盒子容积为YCM3，盒子的高为XCM则Y102X162XX4X352X2160X00则FR的最大值为F6，最小值为F2答案624函数FXAX3X恰有三个单调区间，则A的取值范围是_解析FXAX3X恰有三个单调区间，即函数FX恰有两个极值点，即FX0有两个不等实根FXAX3X，FX3AX21要使FX0有两个不等实根，则A，可证函数GX在R上至少有两个零点X36综上所述，当A0，此时FX单调递增；当X1时，FX0，X0，所以X10，GX在X2，上单调递增；当XX2时，GX20，GX取最小值GX2因为2MFXX2有唯一实数解，则ERROR即ERROR所以2MLNX2MX2M0又因为M0，所以2LNX2X210设函数HX2LNXX1，当X0时，HX是增函数，所以HX0至多有一解因为H10，所以方程的解为X21，即1，解得MMM24M212利用导数解决恒成立及参数求解问题例2已知函数FXEXAX，其中A01若对一切XR，FX1恒成立，求A的取值集合；2在函数FX的图象上取定两点AX1，FX1，BX2，FX2X1LNA时，FX0，FX单调递增，故当XLNA时，FX取最小值FLNAAALNA于是对一切XR，FX1恒成立，当且仅当AALNA1令GTTTLNT，则GTLNT当00，GT单调递增；当T1时，GT0时，FT0，FT单调递增故当T0时，FTF00，即ETT10从而EX2X1X2X110，EX1X2X1X210，又0，0，EX1X2X1EX2X2X1所以X10因为函数YX在区间X1，X2上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在X0X1，X2，使X00，即FX0K成立若将函数“FXEXAX，A0”改为“FXEAXX，A0”，试解决问题1解若A0，FXEAXX0而FXAEAX1，令FX0得XLN1A1A当XLN时，FX0，FX单调递增故当X1A1A1A1ALN时，FX取最小值FLN1A1A1ALN1A1A1A1A于是对一切XR，FX1恒成立，当且仅当LN11A1A1A令GTTTLNT，则GTLNT当00，GT单调递增；当T1时，GT0；X3,1时，FX0，13FAA3A23A对AM都成立，记GA3FAA3A23A323216E28故实数B的取值范围为6E28，利用导数解决生活中的优化问题例3随着生活水平的不断提高，人们越来越关注身体健康，而电视广告在商品市场中占有非常重要的地位某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在X年通过电视广告进行一系列促销活动经过市场调查和测算，保健品的年销量X单位百万件与年促销费T单位百万元之间满足3X与T2成反比例如果不搞促销活动，保健品的年销量只能是1百万件，X年生产该保健品的固定费用为5百万元，每生产1百万件保健品需再投入40百万元的生产费用若将每件保健品的售价定为“其生产成本的150”与“平均每件促销费的M倍00，当50，GX0；当X1，时，HX0，所以X0,1时，FX0；当X1，时，FX0，GX0，HX单调递增；当XE2，时，HX0，X单调递增，X00，故当X0，时，XEXX10，即1EXX1所以1XXLNX1E20，GX0时，GXGX，XA，B，可以构造函数FXFXGX，如果FX0，则FX在A，B上是增函数，同时若FA0，由增函数的定义可知，XA，B时，有FX0，即证明了FXGX变式训练XX高考设FXLNX1AXBA，BR，A，B为常数，曲线YFX与直线YX1X在0,0点相切321求A，B的值；2证明当00时，20时，20时，FX0，313131313131LN13故|MN|MIN1LN3131LN13133若不等式2XLNXX2AX3对X0，恒成立，则实数A的取值范围是A，0B，4C0，D4，解析选B2XLNXX2AX3，则A2LNXX，设HX2LN3XXXX0，则HX当X0,1时，HX0，函数HX单调递增，所以HXMINH14所以AHXMIN44球的直径为D，其内接正四棱柱体积V最大时的高为ADBD2232CDDD3323解析选C设正四棱柱的高为H，底面边长为X，如图是其组合体的轴截面图形，则ABX，BDD，2ADH，AB2AD2BD2，2X2H2D2X2D2H22又VX2HD2HH3，D2H2H212VHD2H21232令VH0，得HD或HD舍去33335已知函数FXX33X，若对于区间3,2上任意的X1，X2都有|FX1FX2|T，则实数T的最小值是A0B10C18D20解析选DFX3X23，令FX0，解得X1，所以1，1为函数FX的极值点因为F318，F12，F12，F22，所以在区间3,2上，FXMAX2，FXMIN18，所以对于区间3,2上任意的X1，X2，|FX1FX2|20，所以T20，从而T的最小值为206X宜昌模拟已知YFX是奇函数，当X0,2时，FXLNXAX，当X2,0时，FX的最小值为1，则A的值等于A12AB1413CD112解析选D由题意知，当X0,2时，FX的最大值为1令FXA0，得X，1X1A当00；1A当X时，FX0恒成立，则实数M的取值范围是_解析因为FXX3X，XR，故FX3X210，则FX在XR上为单调增函数，又因为FXFX故FX也为奇函数，由FMSINF1M0，即FMSINF1MFM1，得MSINM1，即MSIN11，因为0，故当时，01恒成立；当时，M1，则函数FX在0,1上单调递减，故只要F0F11，即只要A2，即10，A1XX当A0时，FX的单调递增区间为0,1，单调递减区间为1，；当AGX；123是否存在实数A，使FX的最小值是3若存在，求出A的值；若不存在，说明理由解1FXXLNX，FX1，1XX1X当00，此时FX单调递增FX的极小值为F112证明FX的极小值为1，即FX在0，E上的最小值为1，FXMIN1又GX，1LNXX200，GX在0，E上单调递增GXMAXGE12在1的条件下，FXGX123假设存在实数A，使FXAXLNXX0，E有最小值3，则FXA1XAX1X当A0时，FX在0，E上单调递减，FXMINFEAE13，A舍去，所以，此4E时FX的最小值不是3；当00，又函数X2AX1X2YX2AX1的判别式A2411A24，当A2,2时，0，则FX0恒成立，即函数FX在区间1，E上是单调递增的函数，故函数FX在区间1，E上的最大值为FEEA，1E故有FEG1，即EA1，解得AE11E1E又A2,2，所以A2，E1；当A0，FX0的两根为X1，X2，AA242AA242此时X1M恒成立，求实数M的取值范围解1函数FX的定义域为，FXXEXEXXEXX1EX，若X0，所以FX0，则1EXM恒成立2设函数FXXA2LNX，AR1若XE为YFX的极值点，求实数A；2求实数A的取值范围，使得对任意的X0,3E，恒有FX4E2成立注E为自然对数的底数解1对FX求导，得FX2XALNXXA2XXA2LNX1AX因为XE是FX的极值点，所以FEEA0，解得AE或A3E经检验符合3AE题意，所以或A3EAE2当00，且H3E2LN3E12LN3E120A3E3E2ELN3E3ELN3E13LN3E又HX在0，内单调递增，所以函数HX在0，内有唯一零点，记此零点为X0，则10；当XX0，A时，FX0，即FX在0，X0内单调递增，在X0，A内单调递减，在A，内单调递增所以要使FX4E2对X1,3E恒成立，只要ERROR恒成立由HX02LNX010，得A2X0LNX0X0AX0将代入得4XLN3X04E2又X01，注意到函数X2LN3X在1，内单调递增，故10，且X1时，FX，求K的取值范围LNXX1KX解1FXAX1XLNXX12BX2由于直线X2Y30的斜率为，且过点1,1，12故ERROR即ERROR解得A1，B12由1知FX，LNXX11X所以FXLNXX1KX11X22LNXK1X21X设HX2LNXX0，则K1X21XHXK1X212XX2设K0，由HX知，当X1时，HX0，可得HX0；11X2当X1，时，HX011X2从而当X0，且X1时，FX0，即FXLNXX1KXLNXX1KX设00，故HX0而H10，故当X时，1，11KHX0，可得HX0，而H10，故当X1，时，HX0，可得HX0，则A与B的夹角为锐角或0；2若AB0，|B|0,00，即1,21，20122053当A与AB共线时，存在实数M，使ABMA，即1，2M1,2，ERROR解得0即当0时，A与AB共线，综上可知，且053X已知ABC为锐角三角形，向量M3COS2A，SINA，N1，SINA，且MN1求A的大小；2当PM，QNP0，Q0，且满足PQ6时，求ABC面积的最大值BC解1MN，3COS2ASIN2A03COS2A1COS2A0，COS2A14又ABC为锐角三角形，COSA，12A32由1可得M，34，32N1，32|P，|QAB214C72SABC|SINAPQ122132又PQ6，且P0，Q0，PQPQ23PQPQ9ABC面积的最大值为9213218932X已知向量A1,2，BCOS，SIN设MATBT为实数1若，求当|M|取最小值时实数T的值；42若AB，问是否存在实数T，使得向量AB和向量M的夹角为，若存在，请求出T4；若不存在，请说明理由解1因为，4所以B，AB，22，22322则|M|ATB25T22TAB，T232T5T322212所以当T时，|M|取到最小值，最小值为322222存在满足题意的实数T，由条件得COS，4ABATB|AB|ATB|又因为|AB|，AB26|ATB|，ATB25T2ABATB5T，则有，且T0，则A与B的夹角为锐角；若A，B的夹角为，则|B|COS表示向量B在向量A方向上的射影的数量其中正确的是_解析由于A20，B20，所以，若A2B20，则AB0，故正确；若AB0，则AB，又A，B，C是三个非零向量，所以ACBC，所以|AC|BC|，正确；A，B共线AB|A|B|，所以错；对于，应有|A|B|AB，所以错；对于，应该是AAA|A|2A，所以错；A2B22|A|B|2AB，故正确；当A与B的夹角为0时，也有AB0，因此错；|B|COS表示向量B在向量A方向上的射影的数量，可取全体实数，而非射影长，故错综上可知正确答案2平面上有四个互异点A、B、C、D，已知20，BCDABC则ABC的形状是A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D无法确定解析选B由20，BCA得0，D所以0A所以|2|20，故|，BAB故ABC是等腰三角形3已知A，B，C的坐标分别为A3,0，B0,3，CCOS，SIN，2，321若|，求角的值；2若1，求的值2SIN2SIN21TAN解1COS3，SIN，ACCOS，SIN3，B2COS32SIN2106COS，2COS2SIN32106SIN由|，可得22，ACBACB即106COS106SIN，得SINCOS又，2，32542由1，ACB得COS3COSSINSIN31，SINCOS23又2SINCOS，2SIN2SIN21TAN2SIN22SINCOS1SINCOS由式两边分别平方，得12SINCOS，492SINCOS592SIN2SIN21TAN594已知平面上一定点C2,0和直线LX8，P为该平面上一动点，作PQL，垂足为Q，且012121求动点P的轨迹方程；2若EF为圆NX2Y121的任一条直径，求的最值PEF解1设PX，Y，则Q8，Y由0，得|2|20，即X22Y2X820，化简得1212PC1414X216Y2121所以点P在椭圆上，其方程为1X216Y2122的最大值为19；EF的最小值为X43第一节平面向量的概念及其线性运算备考方向要明了考什么怎么考1了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义1主要考查平面向量的有关概念及线性运算、共线向量定理的理解和应用，如X年浙江T5，XT3等2考查题型为选择题或填空题归纳知识整合1向量的有关概念名称定义向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度或称模零向量长度为零的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共线向量规定0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量探究1两向量共线与平行是两个不同的概念吗两向量共线是指两向量的方向一致吗提示方向相同或相反的一组非零向量，叫做平行向量，又叫共线向量，是同一个概念显然两向量平行或共线，其方向可能相同，也可能相反2两向量平行与两直线或线段平行有何不同提示平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线或线段平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上2向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算1交换律ABBA2结合律ABCABC减法求A与B的相反向量B的和的运算叫做A与B的差ABAB数乘求实数与向量A的积的运算1|A|A|2当0时，A与A的方向相同；当0时，A与A的方向相反；当0时，A0AAAAAABAB探究30与A0时，A的值是否相等提示相等，且均为04若|AB|AB|，你能给出以A，B为邻边的平行四边形的形状吗提示如图，说明平行四边形的两条对角线长度相等，故四边形是矩形3共线向量定理向量AA0与B共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得BA探究5当两个非零向量A，B共线时，一定有BA，反之成立吗提示成立自测牛刀小试1下列说法中正确的是A只有方向相同或相反的向量是平行向量B零向量的长度为零C长度相等的两个向量是相等向量D共线向量是在一条直线上的向量解析选B由于零向量与任意向量平行，故选项A错误；长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，故C错误；方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，故D错误2教材习题改编D是ABC的边AB上的中点，则向量等于CDABB1212ACD1212解析选A如图，由于D是AB的中点，所以CBB1212BA3如图，E1，E2为互相垂直的单位向量，则向量AB可表示为A3E2E1B2E14E2CE13E2D3E1E2解析选C连接A，B的终点，并指向A的终点的向量是AB4教材习题改编点C在线段AB上，且，则_，_ACCB52ABC_AB解析如图，ACCB5257A27答案57275教材习题改编化简的结果为_OPQMS解析SOPQ答案S向量的概念例1给出下列命题若|A|B|，则AB；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要ABDC条件；若AB，BC，则AC；AB的充要条件是|A|B|且AB；若AB，BC，则AC其中正确命题的序号是ABCD自主解答不正确，长度相等，但方向不同的向量不是相等向量正确，|且，又A，B，C，D是不共线的四点BDCA，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|AB|，因此，C正确AB，A，B的长度相等且方向相同；又BC，B，C的长度相等且方向相同，A，C的长度相等且方向相同，故AC不正确当AB时，也有|A|B|且AB，故|A|B|且AB不是AB的充要条件，而是必要不充分条件不正确未考虑B0这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是答案A解决平面向量概念辨析题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心方向和长度，如，共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共线只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题1设A0为单位向量，若A为平面内的某个向量，则A|A|A0；若A与A0平行，则A|A|A0；若A与A0平行且|A|1，则AA0上述命题中，假命题的个数是A0B1C2D3解析选D向量是既有大小又有方向的量，A与|A|A0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若A与A0平行，则A与A0的方向有两种情况一是同向，二是反向，反向时A|A|A0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3向量的线性运算例2在ABC中，1若D是AB边上一点，且2，则ADBC13ABAB2313CD13232若O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且20，那么OABCAB2C3D2自主解答1法一由2得2，即ACACD13A，所以23B23法二因为，所CD23B231323B以232因为D是BC边的中点，所以有2，所以22OCDOACOA2200OAA答案1A2A在本例条件下，若|2，则|为何值BCABC解|，AAABC为正三角形|2B3平面向量线性运算的一般规律1用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理2在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解2如图，在OAB中，延长BA到C，使ACBA，在OB上取点D，使DBOB设13OAA，B，用A，B表示向量，OBOCD解22CBBAOB22ABOAD232ABB232AB53共线向量定理的应用例3设两个非零向量A与B不共线，1若AB，2A8B，3AB，求证A、B、D三点共线ABC2试确定实数K，使KAB和AKB共线自主解答1AB，2A8B，3AB，CD2A8B3AB，B2A8B3A3B5AB5AB、共线，又它们有公共点B，AA、B、D三点共线2KAB与AKB共线，存在实数，使KABAKB，即KABAKBKAK1BA、B是不共线的两个非零向量，KK10，K210，K11共线向量定理及其应用1可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值2若A，B不共线，则AB0的充要条件是0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛2证明三点共线的方法若，则A、B、C三点共线3已知A，B不共线，A，B，C，D，E，设TR，如果OBCODE3AC,2BD，ETAB，是否存在实数T使C，D，E三点在一条直线上若存在，求出实数T的值，若不存在，请说明理由解由题设知，DC2B3A，ECT3ATB，C，D，E三点在一条C直线上的充要条件是存在实数K，使得K，即T3ATB3KA2KB，整理得T33KA2KTB因为A，B不共线，所以有ERROR解之得T65故存在实数T使C，D，E三点在一条直线上651个规律向量加法规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从X个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即特别地，一个封闭图形首尾连接而成12A34A1NNA的向量和为零向量2个结论向量的中线公式及三角形的重心1向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP12AB2三角形的重心已知平面内不共线的三点A、B、C，G是ABC的重心，G13C特别地，0P为ABC的重心P3个等价转化与三点共线有关的等价转化A，P，B三点共线01TTABOPABO为平面内异于A，P，B的任一点，TRXYO为平面内异于A，P，B的任一点，XR，YR，XY14个注意点向量线性运算应注意的问题1用平行四边形法则进行向量加法和减法运算时，需将向量平移至共起点；2作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；3在向量共线的重要条件中要注意“A0”，否则可能不存在，也可能有无数个；4要注意向量共线与三点共线的区别与联系创新交汇以平面向量为背景的新定义问题1从近几年新课标省份的高考可以看出，高考以新定义的形式考查向量的概念及线性运算的频率较大，且常与平面几何、解析几何、充要条件等知识交汇，具有考查形式灵活，题材新颖，解法多样等特点2解决此类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题难点的关键所在典例XX高考设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13AR，1214R，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2已知点CC,0，DD,0C，DR调和分割11点A0,0，B1,0，则下面说法正确的是AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上解析根据已知得C,00,01,00,0，即C,01,0，从而得C；D,00,01,00,0，即D,01,0，得D根据2，得2线段AB的方程是Y0，X0,1111C1D若C是线段AB的中点，则C，代入2得，0，此等式不可能成立，故选项A的121C1D1D说法不正确；同理选项B的说法也不正确；若C，D同时在线段AB上，则01，D1，则1，D0上任意一点MX0，Y0到焦点F的距离与点M的横坐标X0有何关系若抛物线方程为X22PYP0，结果如何提示由抛物线定义得|MF|X0；若抛物线方程为X22PYY0，则|MF|Y0P2P22抛物线的标准方程和几何性质Y22PXP0Y22PXP0X22PYP0X22PYP0标准方程P的几何意义焦点F到准线L的距离图形顶点O0,0对称轴Y0X0焦点FP2，0FP2，0F0，P2F0，P2离心率E1准线方程XP2XP2YP2YP2范围X0，YRX0，YRY0，XRY0，XR开口方向向右向左向上向下焦半径其中PX0，Y0|PF|X0P2|PF|X0P2|PF|Y0P2|PF|Y0P2自测牛刀小试1设抛物线的顶点在原点，准线方程为X2，则抛物线的方程是AY28XBY24XCY28XDY24X解析选C由抛物线准线方程为X2知P4，且开口向右，故抛物线方程为Y28X2已知D为抛物线Y2PX2P0的焦点到准线的距离，则PD等于AP2BP212CD1214解析选D抛物线方程可化为X2Y，所以D，则PD12P14P143抛物线的焦点为椭圆1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为_X29Y24_解析由C2945得F，0，5则抛物线方程为Y24X5答案Y24X54若点3,1是抛物线Y22PX的一条弦的中心，且这条弦所在直线的斜率为2，则P_解析设弦两端点P1X1，Y1，P2X2，Y2，则ERROR两式相减得，2，Y1Y2X1X22PY1Y2Y1Y12，P2答案25若抛物线X2AY过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离为_1，14解析由题意可知，点A在抛物线X2AY上，所以1A，解得A4，得X24Y由抛物14线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线的焦点的距离为YA1A41454答案54抛物线的定义及应用例1设P是抛物线Y24X上的一个动点1求点P到点A1,1的距离与点P到直线X1的距离之和的最小值；2若B3,2，求|PB|PF|的最小值自主解答1如图，易知抛物线的焦点为F1,0，准线是X1由抛物线的定义知点P到直线X1的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A1,1的距离与点P到F1,0的距离之和最小显然，连接AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为52如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4即|PB|PF|的最小值为4若将本例2中的B点坐标改为3,4，求|PB|PF|的最小值解由题意可知点3,4在抛物线的外部|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离|PB|PF|BF|242221645抛物线定义中的“转化”法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径11若点P到直线Y1的距离比它到点0,3的距离小2，则点P的轨迹方程是_2过抛物线Y24X的焦点作直线L交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于_解析1由题意可知点P到直线Y3的距离等于它到点0,3的距离，故点P的轨迹是以点0,3为焦点，以Y3为准线的抛物线，且P6，所以其标准方程为X2XY2抛物线的准线方程为X1，则AB中点到准线的距离为314由抛物线的定义得|AB|8答案1X2XY28抛物线的标准方程与性质例21抛物线Y224AXA0上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为AY28XBY2XXCY216XDY220X2设抛物线Y22PXP0的焦点为F，点A0,2若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_自主解答1由题意知，36A5，A，则抛物线方程为Y28X132抛物线的焦点F的坐标为，线段FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得P2，0P4，112P，P4解得P，故点B的坐标为，故点B到该抛物线准线的距离为224，12422324答案1A2324求抛物线的标准方程的方法及注意事项1方法求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有P，所以，只需一个条件确定P值即可；2注意事项因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2已知直线L过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，L与C交于A，B两点，|AB|X，P为C的准线上一点，则ABP的面积为A18B24C36D48解析选C设抛物线方程为Y22PX，则焦点坐标为，将X代入Y22PX可得Y2P2，|AB|X，即P2，0P22PX，得P6点P在准线上，到AB的距离为P6，所以PAB的面积为6X3612直线与抛物线的位置关系例3已知过抛物线Y22PXP0的焦点，斜率为2的直线交抛物线于AX1，Y1，BX2，Y2X10与抛物线CY28X相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，求K的值解设AX1，Y1，BX2，Y2，由ERROR得K2X24K28X4K20，所以X1X24，8K2X1X24又由抛物线的定义可知|FA|X12，|FB|X22，所以X122X22，即X12X21，代入X1X24得2X21X24，解得X21X22舍去，将X21，X14代入X1X14得K2，由已知K0，所以K8K2892234个结论直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线Y22PXP0，过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，设AX1，Y1，BX2，Y2，则有以下结论1|AB|X1X2P或|AB|为AB所在直线的倾斜角；2PSIN22X1X2；P243Y1Y2P2；4过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2P3个注意点抛物线问题的三个注意点1求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求P的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置或开口方向判断是哪一种标准方程2注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题3直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点创新交汇圆锥曲线中的实际应用题1随着新课程改革的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问题已经进入教材，并且越来越受重视，在一些考试中越来越多的体现2解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，抓住问题实质，利用数形结合，根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题典例XX高考下图是抛物线形拱桥，当水面在L时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米解析以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为X22PYP0，由题意知抛物线过点2，2，代入方程得P1，则抛物线的方程为X22Y，当水面下降1米时，为Y3，代入抛物线方程得X，所以此时水面宽为2米66答案26名师点评1本题有以下创新点1命题形式的创新以实际应用题的形式考查圆锥曲线的性质2命题内容的创新本题不是直接考查抛物线的性质，而是巧设背景，以实际应用问题为载体来考查抛物线考查学生的应用意识2解决本题的关键点解题的关键是建立坐标系求出抛物线的方程3在解决以圆锥曲线为背景的创新交汇问题时，应注意以下两点1注意解实际应用问题的四个解题步骤，同时对有关圆锥曲线的基本知识必须要熟练掌握，以便能及时提取运用2注意观察实际生活中一些形状与圆锥曲线的形状接近的事物，如截面为抛物线形的拱桥、探照灯，截面为双曲线形的烟筒，斜截圆柱得椭圆形状的截面等变式训练海事救援船对一艘失事船进行定位以失事船的当前位置为原点，以正北方向为Y轴正方向建立平面直角坐标系以1海里为单位长度，则救援船恰好在失事船正南方向X海里A处，如图所示现假设失事船的移动路径可视为抛物线YX2；定位后救援船即刻沿1249直线匀速前往救援；救援船出发T小时后，失事船所在位置的横坐标为7T1当T05时，写出失事船所在位置P的纵坐标若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；2问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船解1T05时，P的横坐标XP7T，代入抛物线方程YX2，得P的纵坐标YP3721249由|AP|，得救援船速度的大小为海里/时94929492设救援船的时速为V海里，经过T小时追上失事船，此时位置为7T,XT2由VT，7T212T2122整理得V2144337T21T2因为T22，当且仅当T1时等号成立1T2所以V21442337252，即V25因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分1抛物线X22A1Y的准线方程是Y1，则实数AAB5232CD1232解析选D把抛物线方程化为X22Y，则PA，故抛物线的准线方程是Y，则12A12P212A21，解得A12A2322已知抛物线Y24X，若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，则OAB的面积是A1B2C4D6解析选B焦点坐标是1,0，A1,2，B1，2，|AB|4，故OAB的面积S|AB|OF|41212123直线YX1截抛物线Y22PX所得弦长为2，此抛物线方程为6AY22XBY26XCY22X或Y26XD以上都不对解析选C由ERROR得X222PX10X1X22P2，X1X21则26112X1X224X1X222P224解得P1或P3，故抛物线方程为Y22X或Y26X4已知点M1,0，直线LX1，点B是L上的动点，过点B垂直于Y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是A抛物线B椭圆C双曲线的一支D直线解析选A由点P在BM的垂直平分线上，故|PB|PM|又PBL，因而点P到直线L的距离等于点P到点M的距离，所以点P的轨迹是抛物线5X湛江模拟以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆X2Y22X6Y90圆心的抛物线方程是AY3X2或Y3X2BY3X2CY29X或Y3X2DY3X2或Y29X解析选D圆的标准方程为X12Y321，故圆心坐标为1，3，设抛物线方程为Y22P1X或X22P2Y，则322P1或16P2，得2P19或2P2，故抛物线方程为Y29X或X2Y，1313则Y29X或Y3X26X衡水模拟设斜率为2的直线L过抛物线Y2AXA0的焦点F，且和Y轴交于点A，若OAFO为坐标原点的面积为4，则抛物线的方程为AY24XBY28XCY24XDY28X解析选B由题可知抛物线焦点坐标为，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为Y