北师大版初中数学各册章节知识点总结

北师大版初中数学七年级上册各章标题第一章丰富图形世界第二章有理数第三章字母表示数第四章平面图形及位置关系第五章一元一次方程第六章生活中的数据第七种可能性北师大版初中数学七年级下册各章标题第一章整式的运算第二章平行线与相交线第三章生活中的数据第四章概率第五章三角形第六章变量之间的关系第七章生活中的轴对称北师大版初中数学八年级上册各章标题第一章勾股定理第二章实数第三章图形的平移与旋转第四章四边形性质探索第五章位置的确定第六章一次函数第七章二元一次方程组第八章数据的代表北师大版初中数学八年级下册各章标题第一章一元一次不等式和一元一次不等式组第二章分解因式第三章分式第四章相似图形第五章数据的收集与处理第六章证明北师大版初中数学九年级上册各章标题第一章证明（二）第二章一元二次方程第三章证明（三）第四章视图与投影第五章反比例函数第六章频率与概率北师大版初中数学九年级下册各章标题第一章直角三角形边的关系第二章二次函数第三章圆第四章统计与概率北师大版初中数学七年级上册各章知识点第一章丰富图形世界1、生活中常见的几何体圆柱、正方体、长方体、球2、常见几何体的分类球体、柱体（圆柱、棱柱、正方体、长方体）、锥体（圆锥、棱锥）3、平面图形折成立体图形应注意侧面的个数与底面图形的边数相等。4、圆柱的侧面展开图是一个长方形；表面全部展开是两个和一个；圆锥的表面全部展开图是一个和一个；正方体表面展开图是一个和两个小正方形，；长方形的展开图是一个大和两个。5、特殊立体图形的截面图形1长方体、正方形的截面是三角形、四边形（长方形、正方形、梯形、平行四边形）、五边形、。2圆柱的截面是、圆3圆锥的截面是三角形、。4球的截面是6、我们经常把从看到的图形叫做主视图，从看到的图叫做左视图，从看到的图叫做俯视图。7、常见立体图形的俯视图几何体长方体正方体圆锥圆柱球主视图正方形长方形俯视图长方形圆圆左视图长方形正方形8、点动成，线动成，面动成。第二章有理数1、正数与负数在以前学过的0以外的数前面加上负号“”的数叫负数。与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数（根据需要，有时在正数前面也加上“”）。2、有理数1正整数、0、负整数统称，正分数和负分数统称。整数和分数统称。0既不是数，也不是数。2通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。数轴三要素原点、单位长度。在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做。3只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例2的相反数是；2的相反数是；0的相反数是4数轴上表示数A的点与原点的距离叫做数A的绝对值,记作|A|。一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。两个负数，绝对值大的反而小。3、有理数的加减法1有理数加法法则同号两数相加，取相同的，并把绝对值相加。绝对值不相等的异号两数相加，取符号，并用减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加和为0。一个数同0相加，仍得这个数。2有理数减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数。4、有理数的乘除法1有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。2乘积是1的两个数互为倒数。例的倒数是；绝对值是；相反数是。3有理数除法法则1除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。有理数除法法则2两数相除，同号得，异号得，并把相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。4求N个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂（POWER）。在A的N次方中，A叫做底数BASENUMBER，N叫做指数（EXPONENT）。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。1的奇次方是；1的偶次方是。第三章、字母表示数1、用运算符号把数和表示数的字母连接而成的字母叫做代数式。2、求代数式值要注意字母的取值必须确保代数式有意义；字母的取值要确保它本身所表示的数量有意义。3、代数式的系数应包括这一项前的符号；如果代数式的某一项只含有字母因数，它的系数就是1或1，而不是0。4、同类项所含的相同；相同字母的也相同。注意同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；几个常数项也是同类项。5、合并同类项法则在合并同类项时，把同类项的系数相加，不变。6、去括号法则1）括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里的2括号前市“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里第四章平面图形及位置关系1、直线、射线、线段1直线、射线、线段的区别直线端点射线个端点线段有个端点。2线段公理两点的所有连线中，线段（两点之间，线段最短）。连接两点间的线段的长度，叫做。3线段的比较方法叠和法和度量法。4线段的中点如果M是AB的中点，那么；反之，如果点M在线段AB上，并且有（ABBM），那么点M是AB的中点。例C是线段AB的中点，可得AC，或者2ACAB，ACAB，BCAB。2、角的度量与表示11度；1分；1周角度；1平角度周角2角的三种表示方法用三个大写英文字母表示或用一个大写英文字母表示如ABC，A；用希腊字母表示（如）；用数字表示（如1，23、角的比较与运算1角按大小分可分为锐角、直角、钝角、平角、周角。2角平分线把一个角分成两个相等的角，角平分线是一条射线。如果射线OC是C,ACB,BCA；ABC,ACB,BCA同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理三角形的三个内角的和等于1800。2、三角形按内角的大小可分为三类（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RT”表示“直角三角形”,其中直角C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。注直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余。（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。四、三角形的三条重要线段1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。2、三角形的角平分线（1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。3、三角形的中线（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。4、三角形的高线（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。区别相同中线平分对边三条中线交于三角形内部（1）都是线段（2）都从顶点画出（3）所在直线相交于一点角平分线平分内角三条角平分线交于三角表内部高线垂直于对边（或其延长线）锐角三角形三条高线都在三角形内部直角三角形其中两条恰好是直角边钝角三角形其中两条在三角表外部五、全等图形1、两个能够重合的图形称为全等图形。2、全等图形的性质全等图形的形状和大小都相同。3、全等图形的面积或周长均相等。4、判断两个图形是否全等时，形状相同与大小相等两者缺一不可。5、全等图形在平移、旋转、折叠过程中仍然全等。6、全等图形中的对应角和对应线段都分别相等。六、全等分割1、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。2、对一个图形全等分割（1）首先要观察分析该图形，发现图形的构成特点；（2）其次要大胆尝试，敢于动手，必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成。七、全等三角形1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“”连接，读作“全等于”。2、用“”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3、全等三角形的性质全等三角形的对应边、对应角相等。这是今后证明边、角相等的重要依据。4、两个全等三角形，准确判定对应边、对应角，即找准对应顶点是关键。八、全等三角形的判定1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。5、注意以下内容（1）三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组边对应相等。（2）三边对应相等，两边及夹角对应相等，一边及任意两角对应相等，这样的两个三角形全等。（3）两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等。6、熟练运用以下内容（1）熟练运用三角形判定条件，是解决此类题的关键。（2）已知“SS”，可考虑A第三边，即“SSS”；B夹角，即“SAS”。（3）已知“SA”，可考虑A另一角，即“AAS”或“ASA”；B夹角的另一边，即“SAS”。（4）已知“AA”，可考虑A任意一边，即“AAS”或“ASA”。7、三角形的稳定性根据三角形全等的判定方法（SSS）可知，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。九、作三角形1、作图题的一般步骤（1）已知，即将条件具体化；（2）求作，即具体叙述所作图形应满足的条件；（3）分析，即寻找作图方法的途径（通常是画出草图）；（4）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；（5）证明，即验证所作图形的正确性（通常省略不写）。2、熟练以下三种三角形的作法及依据。（1）已知三角形的两边及其夹角，作三角形。（2）已知三角形的两角及其夹边，作三角形。（3）已知三角形的三边，作三角形。十、利用三角形全等测距离1、利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度，从而得到被测距离。2、运用全等三角形解决实际问题的步骤（1）先明确实际问题应该用哪些几何知道解决；（2）根据实际问题抽象出几何图形；（3）结合图形和题意分析已知条件；（4）找到解决问题的途径。十一、直角三角形全等的条件1、在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。2、“HL”是直角三角形特有的判定条件，对非直角三角形是不成立的；3、书写时要规范，即在三角形前面必须加上“RT”字样。十二、分析综合法1、我们在平时解几何题时，采用的解题方法通常有两种，综合法与分析法。2、综合法从问题的条件出发，通过分析条件，依据所学知识，逐步探索，直到得出问题的结论。3、分析法从问题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件。4、在具体解题中，通常是两种方法结合起来使用，既运用综合法，又运用分析法。第六章变量之间的关系自变量变量的概念因变量变量之间的关系表格法关系式法变量的表达方法速度时间图象图象法路程时间图象一、变量、自变量、因变量1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。2、如果一个变量Y随另一个变量X的变化而变化，则把X叫做自变量，Y叫做因变量。3、自变量与因变量的确定（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。二、表格1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；（3）结合实际情境理解它们之间的关系。2、绘制表格表示两个变量之间关系（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。三、关系式1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。3、求两个变量之间关系式的途径（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。4、关系式的应用（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。四、图象1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。4、图象上的点（1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值；（2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。（3）由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。（4）把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。5、图象理解（1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；（2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；（3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。五、速度图象1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；2、准确读懂不同走向的线所表示的意义（1）上升的线从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；（2）水平的线与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止；（3）下降的线从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。六、路程图象1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；2、准确读懂不同走向的线所表示的意义（1）上升的线从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；（2）水平的线与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；（3）下降的线从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。七、三种变量之间关系的表达方法与特点表达方法特点表格法多个变量可以同时出现在同一张表格中关系式法准确地反映了因变量与自变量的数值关系图象法直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势第七章生活中的轴对称轴对称图形轴对称分类轴对称角平分线轴对称实例线段的垂直平分线等腰三角形生活中的轴对称等边三角形轴对称的性质轴对称的性质镜面对称的性质图案设计轴对称的应用镶边与剪纸一、轴对称图形1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。2、理解轴对称图形要抓住以下几点（1）指一个图形；（2）存在一条直线（对称轴）；（3）图形被直线分成的两部分互相重合；（4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；二、轴对称1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。可以说成这两个图形关于某条直线对称。2、理解轴对称应注意（1）有两个图形；（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；（3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；（4）对称轴是直线而不是线段；轴对称图形轴对称区别是一个图形自身的对称特性是两个图形之间的对称关系对称轴可能不止一条对称轴只有一条共同点沿某条直线对折后都能够互相重合如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。三、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。2、性质角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。四、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。2、性质线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。五、等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。7、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”。8、“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。9、“三线合一”是等腰三角形特有的性质，是指其顶角平分线，底边上的高和中线，这三线，并非其他。10、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。11、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法（1）两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等相等，简写为“等角对等边”。六、等边三角形1、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形，是最特殊的三角形。2、等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。3、等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是600。图形定义性质等腰三角形有两边相等的三角形1、两腰相等，两底角相等。2、顶角18002底角。底角（1800顶角）/2。3、顶角的平分线、底边上的中线和高“三线合一”。4、轴对称图形，有一条对称轴。等边三角形（又叫正三角形）三边都相等的三角形1、三边都相等，三内角相等，且每个内角都等于600。2、具有等腰三角形的所有性质。3、轴对称图形，有三条对称轴。七、轴对称的性质1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。5、类似地，轴对称图形的性质有（1）轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分。（2）轴对称图形的对应线段、对应角相等。（3）根据轴对称图形的性质可求作轴对称图形的对应点、对应线段或对应角，并由此能补全轴对称图形。八、图案设计1、作出简单平面图形经过轴对称后的图形，实际上是轴对称图形的性质的灵活运用。2、作出简单平面图形经过轴对称后的图形的步骤（1）首先要确定一个简单平面图形上的几个特殊点；（2）然后利用轴对称的性质，作出其相应的对称点（对应点所连的线段被对称轴垂直平分）。（3）分别连接其对称点，则可得其对称图形。3、表达方式（以点M为例）（1）过点M作对称轴的垂线，垂足为A；（2）延长MA到M到，使MAMA，则点M就是点M关于直线的对称点。（3）在复杂的作图中，也可以叙述为作出点M关于直线的对称点M4、在运用轴对称设计图案时，就注意以下几点（1）要有明确的设计意图；（2）创意要新颖独特；（3）设计出的图案要符合要求；（4）能清楚地表达自己的设计意图和制作过程。5、图案的设计除采用对称的手段外，通常还综合采用旋转、倒置、重复等手段和形式。6、设计的图案要美观、大方，积极向上，反映时代特色。九、镜面对称1、镜面对称的有关性质（1）任何一个平面图形（物体）在镜子中的像与它是可以重合的。因此，一个轴对称图形在镜子中的像仍是轴对称图形。（2）若一个平面图形正对镜面，则其左（右）侧在镜中的像是其右（左）侧；（3）若一个平面图形（物体）垂直于镜面摆放，则靠近镜面的部分，其像也靠近镜面；2、关于数字0、1、3、8在镜面中像的两个结论（1）如果写数字的纸条垂直于镜面摆放，则纸条上写的0、1、3、8所成的像与原来的数字完全一样。（2）如果纸条正对镜面摆放，则纸条上写的0、1、8这三个数字在镜中的像和原来的数字完全一样。3、像与物体到镜面的距离相等。4、像与物体的对应点连线被镜面垂直平分。5、由镜中的时间来判断真实时间是近几年来中考的一个热点。时间的表示有用一般数字表示的，也有直接用钟表来表示的。在判断时，大家要注意灵活利用镜面对称的知识来加以解决。北师大版初中数学八年级上册各章知识点第一章勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边A，B的平方和等于斜边C的平方，即22CBA2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长A，B，C有关系，那么这个三角形是直角三角形。22BA3、勾股数满足的三个正整数，称为勾股数。22第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类（1）开方开不尽的数，如等；32,7（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如8等；3（3）有特定结构的数，如01010010001等；（4）某些三角函数值，如SIN60O等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果A与B互为相反数，则有AB0，AB，反之亦成立。2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|A|0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|A|A，则A0；若|A|A，则A0。3、倒数如果A与B互为倒数，则有AB1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和1。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根一般地，如果一个正数X的平方等于A，即X2A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。表示方法记作“”，读作根号A。A性质正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2、平方根一般地，如果一个数X的平方等于A，即X2A，那么这个数X就叫做A的平方根（或二次方根）。表示方法正数A的平方根记做“”，读作“正、负根号A”。性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。开平方求一个数A的平方根的运算，叫做开平方。0A注意的双重非负性03、立方根一般地，如果一个数X的立方等于A，即X3A那么这个数X就叫做A的立方根（或三次方根）。表示方法记作3A性质一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。33四、实数大小的比较1、实数比较大小正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较设A、B是实数，,0BA（3）求商比较法设A、B是两正实数，111BABA（4）绝对值比较法设A、B是两负实数，则。BA（5）平方法设A、B是两负实数，则。2五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“”；被开方数A必须是非负数。2、性质（1）02A（2）20A（3）（）,BAB0,BAB（4）（）0,3、运算结果若含有“”形式，必须满足（1）被开方数的因数是整数，因式是A整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算（1）六种运算加、减、乘、除、乘方、开方（2）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3）运算律加法交换律AB加法结合律CC乘法交换律乘法结合律BA乘法对加法的分配律C第三章图形的平移与旋转一、平移1、定义在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。2、性质平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。二、旋转1、定义在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、性质旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。第四章四边形性质探索一、四边形的相关概念1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。2、四边形具有不稳定性3、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理四边形的内角和等于360。四边形的外角和定理四边形的外角和等于360。推论多边形的内角和定理N边形的内角和等于180；2N多边形的外角和定理任意多边形的外角和等于360。6、设多边形的边数为N，则多边形的对角线共有条。从N边形的一个顶点出3发能引（N3）条对角线，将N边形分成（N2）个三角形。二、平行四边形1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。常用点（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。（2）推论夹在两条平行线间的平行线段相等。3、平行四边形的判定（1）定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。5、平行四边形的面积S平行四边形底边长高AH三、矩形1、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1）矩形的对边平行且相等（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等且互相平分（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。3、矩形的判定（1）定义有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积S矩形长宽AB四、菱形1、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行（2）菱形的相邻的角互补，对角相等（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。3、菱形的判定（1）定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1四边都相等的四边形是菱形（3）定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形底边长高两条对角线乘积的一半五、正方形（310分）1、正方形的定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质（1）正方形四条边都相等，对边平行（2）正方形的四个角都是直角（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。3、正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种先证它是矩形，再证它是菱形。先证它是菱形，再证它是矩形。4、正方形的面积设正方形边长为A，对角线长为BS正方形2B六、梯形（一）1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形的两底的距离叫做梯形的高。2、梯形的判定（1）定义一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。（二）直角梯形的定义一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分类如下一般梯形梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形（三）等腰梯形1、等腰梯形的定义两腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。（3）等腰梯形的对角线相等。（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。3、等腰梯形的判定（1）定义两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（选择题和填空题可直接用）（四）梯形的面积（1）如图，DEABCSABD21梯形（2）梯形中有关图形的面积；BACD；OSBCDA七、有关中点四边形问题的知识点（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；（2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；（3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形；（4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；（6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；（7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；八、中心对称图形1、定义在平面内，一个图形绕某个点旋转180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。九、四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的关系图第五章位置的确定一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。二、平面直角坐标系及有关概念1、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做X轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，取向上为正方向；X轴和Y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被X轴和Y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意X轴和Y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。3、点的坐标的概念对于平面内任意一点P,过点P分别X轴、Y轴向作垂线，垂足在上X轴、Y轴对应的数A，B分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（A，B）叫做点P的坐标。点的坐标用（A，B）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（A，B）和（B，A）是两个不同点的坐标。平面内点的与有序实数对是一一对应的。4、不同位置的点的坐标的特征（1）、各象限内点的坐标的特征点PX,Y在第一象限0,YX点PX,Y在第二象限点PX,Y在第三象限,点PX,Y在第四象限YX（2）、坐标轴上的点的特征点PX,Y在X轴上，X为任意实数0点PX,Y在Y轴上，Y为任意实数点PX,Y既在X轴上，又在Y轴上X，Y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点（3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点PX,Y在第一、三象限夹角平分线（直线YX）上X与Y相等点PX,Y在第二、四象限夹角平分线上X与Y互为相反数（4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于X轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于Y轴的直线上的各点的横坐标相同。（5）、关于X轴、Y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点P关于X轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（X，Y）关于X轴的对称点为P（X，Y）点P与点P关于Y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（X，Y）关于Y轴的对称点为P（X，Y）点P与点P关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点P（X，Y）关于原点的对称点为P（X，Y）6、点到坐标轴及原点的距离点PX,Y到坐标轴及原点的距离（1）点PX,Y到X轴的距离等于Y（2）点PX,Y到Y轴的距离等于X（3）点PX,Y到原点的距离等于2三、坐标变化与图形变化的规律坐标（X，Y）的变化图形的变化XA或YA被横向或纵向拉长（压缩）为原来的A倍XA，YA放大（缩小）为原来的A倍X（1）或Y（1）关于Y轴或X轴对称X（1），Y（1）关于原点成中心对称XA或YA沿X轴或Y轴平移A个单位XA，YA沿X轴平移A个单位，再沿Y轴平移A个单第六章一次函数一、函数一般地，在某一变化过程中有两个变量X与Y，如果给定一个X值，相应地就确定了一个Y值，那么我们称Y是X的函数，其中X是自变量，Y是因变量。二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。三、函数的三种表示法及其优缺点（1）关系式（解析）法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。（2）列表法把自变量X的一系列值和函数Y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。四、由函数关系式画其图像的一般步骤（1）列表列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。五、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，若两个变量X，Y间的关系可以表示成（K，B为常数，K0）的XY形式，则称Y是X的一次函数（X为自变量，Y为因变量）。特别地，当一次函数中的B0时（即）（K为常数，K0），称Y是BKX的正比例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征一次函数的图像是经过点（0，B）的直线；正比例函数的图像是经KXYKXY过原点（0，0）的直线。K的符号B的符号函数图像图像特征K0B0Y0X图像经过一、二、三象限，Y随X的增大而增大。B0Y0X图像经过一、二、四象限，Y随X的增大而减小K0时，图像经过第一、三象限，Y随X的增大而增大；（2）当K0时，Y随X的增大而增大（2）当K、若AB,则ACBC；、若AB,C0则ACBC，若CB,则BB,且BC,则AC三、解不等式的步骤1、去分母2、去括号3、移项、合并同类项4、系数化为1。四、解不等式组的步骤1、解出不等式的解集。2、在同一数轴表示不等式的解集。3、写出不等式组的解集。五、列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤（1）审题；（2）设未知数，找（不等量）关系式；（3）设元，根据不等量关系式列不等式组（4）解不等式组；检验并作答。六、常考题型1、求4X60K0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，Y随X的增大而减小。X的取值范围是X0，Y的取值范围是Y0；当K0）或向左（H0）或向下（K0，则当X时，AB2Y随X的增大而增大。若A时，AB2Y随X的增大而减小。最值若A0，则当X时，；若A0抛物线与X轴有2个交点；ACB420抛物线与X轴有1个交点；抛物线与X轴有0个交点（无交点）；C2当0时，设抛物线与X轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的AB4距离21212124|1XXXAB化简后即为这就是抛物线与X轴的0|4|2ACB两交点之间的距离公式。第三章圆一车轮为什么做成圆形1圆的定义描述性定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”集合性定义圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。对圆的定义的理解圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。2点与圆的位置关系及其数量特征如果圆的半径为R，点到圆心的距离为D，则点在圆上DR点在圆内DDR其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。二圆的对称性1与圆相关的概念弦和直径弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。直径经过圆心的弦叫做直径。弧、半圆、优弧、劣弧弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧大于半圆的弧叫做优弧。劣弧小于半圆的弧叫做劣弧。为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。弓形弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。同心圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。等圆能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距2圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。3垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。说明根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。4定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等三圆周角和圆心角的关系11的弧的概念把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1的圆心角,相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1弧2圆心角的度数和它所对的弧的度数相等这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等即不能写成AOB,这是错误的3圆周角的定义顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角4圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论2半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；四确定圆的条件1理解确定一个圆必须的具备两个条件圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上2经过三点作圆要分两种情况1经过同一直线上的三点不能作圆2经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆定理不在同一直线上的三个点确定一个圆3三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念1三角形的外接圆和圆的内接三角形经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形2三角形的外心三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心3三角形的外心的性质三角形外心到三顶点的距离相等五直线与圆的位置关系1直线和圆相交、相切相离的定义1相交直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线2相切直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点3相离直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离2直线与圆的位置关系的数量特征设O的半径为R，圆心O到直线的距离为D；D直线L和O相交DR直线L和O相切DR直线L和O相离3切线的总判定定理经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线4切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个垂直于切线过切点过圆心5三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形6三角形内心的性质1三角形的内心到三边的距离相等2过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角由此性质引出一条重要的辅助线连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角六圆和圆的位置关系1外离、外切、相交、内切、内含包括同心圆这五种位置关系的定义1外离两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离2外切两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切这个惟一的公共点叫做切点3相交两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交4内切两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切这个惟一的公共点叫做切点5内含两个圆没有公