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2007年全国高中数学联赛试题一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1、在正四棱锥PABCD中,APC60,则二面角APBC的余弦值为()(A)(B)(C)(D)71712122、设实数A使得不等式对任意实数X恒成立,则满足条件的2|2|3|XAAA所组成的集合是()(A),(B),(C),(D)1,11311433、将号码分别为1,2,9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同。甲从袋中摸出一个球,其号码为A,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为B,则使不等式成立的事件发生的概率等于()0AB(A)(B)(C)(D)5281598160816184、设函数,若实数A,B,C使得对3SIN2COSFXX1FXBFC任意实数X恒成立,则的值等于()BA(A)(B)(C)1(D)11225、设和是两个定圆,动圆P与这两个定圆都相切,则P的圆心轨迹不可1O能是()(A)(B)(C)(D)6、已知A与B是集合1,2,3,100的两个子集,满足A与B的元素个数相同,且为空集。若时,总有,则集合的元素个数最多为(N2N)(A)62(B)66(C)68(D)74二、填空题(本题满分54分,每小题9分)7、在平面直角坐标系内,有四个定点A(3,0),B(1,1),C(0,3),D(1,3)及一个动点P,则|PA|PB|PC|PD|的最小值为。8、在ABC和AEF中,B是EF的中点,ABEF1,BC6,CA,若3,则与的夹角的余弦值等于。2ABECFEC9、已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,以顶点A为球心,为半径作一个23球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于。10、已知等差数列的公差D不为0,等比数列的公比Q是小于1的正有理数,NANB若,且是正整数,则Q等于。21,ADB213B11、已知函数,则的最小值为。SINCOS2154XFXFX12、将2个A和2个B共4个字母填在如图所示的16个小方格内,每个小方格内至多填1个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有种(用数字作答)。三、解答题(本题满分60分,每小题20分)13、设,求证当正整数时,。1NKA2N1NA14、已知过点(0,1)的直线L与曲线交于两个不同点M、N,10CYX求曲线C在点M、N处的切线的交点轨迹。15、设函数对所有的实数X都满足,求证存在4个函数FX2FFX(I1,2,3,4)满足FX(1)对I1,2,
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