高等数学-级数及其应用

第四讲级数一、级数的概念及收敛级数的性质1）级数和的定义对于级数，是其前项的和，我们定义。1NUSN1LIMNNUS例1设，求级数的和。21,2NNU1N解因为21111NNNNNNNUU所以11111NKKNNSU。1LIMNNU2）收敛级数的性质性质（柯西收敛准则）如果级数收敛，是其前项的和，则对任意的正数1NUNS有。PLI0NPS例2设是单调增加的正数数列，证明级数与级数N1NP同敛散。12NNPP证明（1）因为，所以级数收敛121NNP12NNPP则级数一定收敛；1NP（2）又因为1221221NNNPPP1221221NNN由收敛级数的性质，如果级数收敛，则级数也收敛，由比较判别法级1NP12NP数收敛，因此级数1122221,NNNP收敛。12NN例3判别级数的敛散性。21NNE解因为2222211LN11LIMILIMLI0NNNNNEEE所以级数发散。21NN二、常数项级数1）正项级数敛散判别法比较判别法、比之判别法、根式判别法。定理1（拉贝判别法）对于正项级数，如果，则当1NU1LIMNNUR（1）时，正项级数收敛；R1N（2）时，正项级数发散；1NU（3）时，不能确定正项级数的敛散性。1R1N证明我们证明2）如果LIMNNUR取使得，由极限的定义，存在自然数，当时，有01R0N0N1NNUURR11NUN01NNUN因为发散，由比较判别法，可得级数发散。1N1N例4判别正项级数的敛散性。0NE解利用拉贝判别法，因为11LIMLIM2NNNNNEE所以正项级数发散。下面是以上极限的算法0NE用替换，则时，X10X11200LN1LIMLIXXXXEE2200LNLILIM11XXX2000LNLLNIII333XXXX所以11LIMLIM2NNNNNEE2）一般项级数审敛法莱布尼茨判别法、条件收敛和绝对收敛。例5判别下列级数的敛散性（1）（2）21NN1NN解（1）因为12121NNNNN而级数都收敛2221,NNN所以收敛。21NN（2）因为111NNNNN而级数收敛，级数发散2221,NNN2N所以发散。21NN三、函数项级数1）函数项级数的一般概念2）幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域、幂级数求和、函数展成幂级数。函数的麦克劳琳级数FX2000NFFFFFXX注意运用好幂级数逐项求导、逐项积分的性质函数展成幂级数常用公式211NXXX341XNE242COSNXX3511IN1NX211MNMXX3）傅立叶级数例6设函数，求。21FX0NF解因为33313000NNNXXX所以301132NMNF例7设21,0,NFXX（1）证明；2LN16FFX（2）计算。10L2XD解（1）设，因为LN1FFFXLNXXFF11110NNNX所以在上恒为常数。又因为FX0,21NFF函数的傅立叶级数为,GX21COS2NNX221COS3COS1XNX当时，可得，设，0X2221381N1224S则有222114846FSSF（2）110000LNLNLNNNXDXDXD22101NNF由（1）可得，即22112LNLN6FF。20LNLXD例8证明。1SIN405XED证明利用泰勒公式2SIN1SINSISINNXXXEX其中在之间，0,I当时，3N2322SIN00SINI1XXEDDX230SII5152COS24X取时，2NM1222SINSIN01SININKMMXXKXEEDEDD2014SIMKKXD113122241KEKM2141MKKE当时，。M12SIN420112KXKKEDE例9求幂级数的收敛域。10NNA解因为，此幂级数收敛半径为。11LIMLILIMNNNA1当时，因为1X11LNLILILIM1NNNNAAA当时，级数收敛，1ALNLIM1NA1NA当时，级数发散，0N当时，级数发散；01ALLI1NA1NA当时，对于级数X1N当时，级数绝对收敛，1A1NA当时，级数发散，11NN当时，因为，级数发散；0ALIM0NA1NA由以上讨论可得，当时，级数收敛域为；当时，110NNX1,01A级数收敛域为。10NNXA,例10设为整数，证明方程在201NXTTTFED2NFX区间内至少有一个根。,2N证明因为，当时，21NTTTE0T21NTTTE所以22200NNNTTTTFD201NNTTTE22101NNTTTTTTEDT2011KNNNTTTEEDT2210021KKNNNNTTTT11000KKKNNNNTEEED110001KKKNNNNE022KNN利用介值定理，方程在区间内至少有一个根。FX,N四、练习题1）证明级数收敛并求其和。1123NN2）设是单调增加的正数列，证明