数学练习题高中新课标数学基础知识汇整合

高中新课标数学基础知识汇整合第一部分集合1理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键元素是函数关系中自变量的取值还是因变量的取值还是曲线上的点；2数形结合是解集合问题的常用方法解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3（1）含N个元素的集合的子集数为2N,真子集数为2N1；非空真子集的数为2N2；（2）注意讨论的时候不要遗忘了的情况；BABAA（3）。BCACCIIIIII第二部分函数与导数1映射注意第一个集合中的元素必须有象；一对一，或多对一。2函数值域的求法分析法；配方法；判别式法；利用函数单调性；换元法；利用均值不等式；利用数形结合或几何意义（斜2BAAB率、距离、绝对值的意义等）；利用函数有界性（、等）；导数法XSINXCO3复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法若FX的定义域为A，B,则复合函数FGX的定义域由不等式AGXB解出若FGX的定义域为A,B,求FX的定义域，相当于XA,B时，求GX的值域。（2）复合函数单调性的判定首先将原函数分解为基本函数内函数XGFY与外函数；分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；根据XGUUFY“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。注意外函数的定义域是内函数的值域。FXGU4分段函数值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；是奇函数；XF10XFXFFXFF是偶函数；奇函数在原点有定义，则；XF0F在关于原点对称的单调区间内奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6函数的单调性单调性的定义在区间上是增（减）函数当时XFM,21MX21X021FXF02121FXF021FF；单调性的判定定义法注意一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，21XFF以利于判断符号；导数法（见导数部分）；复合函数法（见2（2）；图像法。注证明单调性主要用定义法和导数法。7函数的周期性1周期性的定义对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），XXFTFT则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周XFT期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期；2SINTXY2COSXYTXYTAN；|,ITAA|T函数周期的判定定义法（试值）图像法公式法（利用（2）中结论）与周期有关的结论或的周AXFF02AXFFXF期为；A的图象关于点中心对称周期2；XFY0,BAFB的图象关于直线轴对称周期为2；XXA的图象关于点中心对称，直线轴对称周期4；XFY0,ABXXFBA8基本初等函数的图像与性质幂函数（；指数函数；R1,0AYX对数函数；正弦函数；1,0LOGAXYASIN余弦函数；（6）正切函数；一元二次函数；CSXYTA02CBX其它常用函数正比例函数；反比例函数；特别的0KXKY，函数；XY10AXY9二次函数解析式一般式；顶点式CBXAXF2，为顶点；零点式。KHAF2,21XF二次函数问题解决需考虑的因素开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数问题解决方法数形结合；分类讨论。10函数图象图象作法描点法（注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换平移变换，左“”右“”；AXFYXFY0上“”下“”；,K伸缩变换，（纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；XFYXFY01，（横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；AA对称变换；XFY0,XFYXFY0YXF；XX1翻转变换右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；|FYXFYFY上不动，下向上翻（|在下面无图象）；|XX11函数图象（曲线）对称性的证明1证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称XFY点仍在图像上；（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对FXGYXFY称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；（3）函数的图象的对称性YFX函数的图象关于直线对称XAFXFA2FAXF函数的图象关于直对称F2BBB函数的图象关于点对称YX,02FF函数的图象关于点对称FAXAX（4）两个函数图象的对称性函数与函数的图象关于直线即轴对称FYF0Y函数与函数的图象关于直线对称YMXBMX2BXM特殊地与函数的图象关于直线对称FAFAA函数的图象关于直线对称的解析式为YF函数的图象关于点对称的解析式为YFX,0X函数和的图象关于直线YX对称1XF12函数零点的求法直接法（求的根）；图象法；二分法XF13导数导数定义FX在点X0处的导数记作；XFFXFYXLIM0000常见函数的导数公式；C1NNCOSSI；XSINCOAXLXEAXALN1LG。X1L导数的四则运算法则2VUUVUV（理科）复合函数的导数XXY导数的应用利用导数求切线注意所给点是切点吗所求的是“在”还是“过”该点的切线利用导数判断函数单调性是增函数；0XFXF为减函数；为常数；0XFXF利用导数求极值求导数；求方程的根；列表得极值。XF0XF利用导数最大值与最小值求的极值；求区间端点值（如果有）；得最值。14（理科）定积分定积分的定义LIM1INBAFABDXF定积分的性质（常数）；BABADXFKFK；BADXFFX2121（其中。BCBACAXFDFBC微积分基本定理（牛顿莱布尼兹公式）AAFFF|定积分的应用求曲边梯形的面积；DXGSB|求变速直线运动的路程；求变力做功。BADTVBAW第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形1角度制与弧度制的互化弧度，弧度，弧度180180157弧长公式；扇形面积公式。RLRLS22三角函数定义角中边上任意一点为，设则P,YXROP|COS,SINRRYTAN3三角函数符号规律一全正，二正弦，三正切，四余弦；4诱导公式记忆规律“奇变偶不变，符号看象限”；5同角三角函数的基本关系；XXTANCOSI1SSIN226两角和与差的正弦、余弦、正切公式SINCOSII。SINCOSCOSTAN1TTA7二倍角公式；C2IN；。22SI1SSS2TT8辅助角公式辅助角所在象限由点的象限决定,IOAB2INABABTN9三角函数的增减性，对称性（1）的单调递增区间为单调递减区间为SIYX2,2KKZ，对称轴为,对称中心为32,2KKZX,0KZ（2）的单调递增区间为单调递减区间为，COSYX2,KK2K对称轴为,对称中心为K0Z（3）的单调递增区间为，对称中心为TANYX,2KK,02KZ（4）对称轴；对称中心；SIAX,对称轴；对称中心；COXYK0,2ZKK10三函数的周期公式函数，XR及函数，XRA,为常数，且A0，0的SINACOSYAX周期；若未说明大于0,则2T2|T函数，A,为常数，且A0，0的周期TAYX,KZT11正、余弦定理正弦定理（是外接圆直径）RCCBBAA2SINISINABC注；CBASIRCBSIN2,SI,。CCBASIIIINSI余弦定理等三个；注等三个。ABCAO22BCAA2COS12。几个公式三角形面积公式；1,SIN12PBPAHSABC内切圆半径R；外接圆直径2RCBASABCSINSINCCBA13已知时三角形解的个数的判定,ABACH其中HBSINA,A为锐角时AB时，一解（锐角）。14三角形内角和定理在ABC中，有2CABBCAB2CAB第四部分立体几何1三视图与直观图注原图形与直观图面积之比为。122表（侧）面积与体积公式柱体表面积SS侧2S底；侧面积S侧；体积VS底HRH锥体表面积SS侧S底；侧面积S侧；体积VS底HL3台体表面积SS侧S上底S下底；侧面积S侧；体积V（SLR1）H；球体表面积S；体积V。S24R34R3位置关系的证明（主要方法）直线与直线平行公理4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理。直线与平面平行线面平行的判定定理；面面平行线面平行。平面与平面平行面面平行的判定定理及推论；垂直于同一直线的两平面平行。直线与平面垂直直线与平面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理。平面与平面垂直定义两平面所成二面角为直角；面面垂直的判定定理。注理科还可用向量法。4求角（步骤。找或作角；。求角）异面直线所成角的求法平移法平移直线，构造三角形；补形法补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。注理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。直线与平面所成的角直接法（利用线面角定义）；先求斜线上的点到平面距离H，与斜线段长度作比，得SIN。注理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。二面角的求法定义法在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；三垂线法由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；射影法利用面积射影公式,其中为COSS平面角的大小；注对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；理科还可用向量法，转化为两个平面法向量的夹角。5求距离（步骤。找或作垂线段；。求距离）两异面直线间的距离一般先作出公垂线段，再进行计算；点到直线的距离一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；点到平面的距离垂面法借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；等体积法；理科还可用向量法。（1）异面直线间的距离是两异面直线，其公垂向量为，分别是|CDND12,LNCD、上任一点，为间的距离2,L12,L（2）点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，B|ABNAB）A球面距离（步骤）（）求线段AB的长；（）求球心角AOB的弧度数；求劣弧AB的长。6结论从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若AOBAOC，则点A在平面BOC上的射影在BOC的平分线上；立平斜公式最小角定理公式正COSCOS21棱锥的各侧面与底面所成的角相等记为，则S侧COSS底；长方体的性质长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则,COS2COS2COS21；SIN2SIN2SIN22。长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有,COS2COS2COS22；SIN2SIN2SIN21。正四面体的性质设棱长为，则正四面体的A高；对棱间距离；相邻两面所成角余弦值；内切球半径H36231；外接球半径；A12A4第五部分直线与圆1直线方程点斜式；斜截式；截距式XKYBKXY；两点式；一般式，（A，B不BYAX12120CA全为0）。（直线的方向向量（，法向量（,AB,B2求解线性规划问题的步骤是（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。3两条直线的位置关系4直线系直线方程BKXY0CBYAX平行直线系MM垂直直线系XKY1YX相交直线系02211CBACBA5几个公式设A（X1,Y1）、BX2,Y2、C（X3,Y3），ABC的重心G（）；3,2121YX点P（X0,Y0）到直线AXBYC0的距离；20BACYXD两条平行线AXBYC10与AXBYC20的距离是；216圆的方程标准方程；。2RBYAX2RYX一般方程（02FEDYX04FED注AX2BXYCY2DXEYF0表示圆AC0且B0且D2E24AF0；7圆的方程的求法待定系数法；几何法；圆系法。8圆系；1,22211YXYXYXYX注当时表示两圆交线。1,02CBAFED9点、直线与圆的位置关系（主要掌握几何法）点与圆的位置关系（表示点到圆心的距离）D点在圆上；点在圆内；点在圆外。RDRRD直线与圆的位置关系（表示圆心到直线的距离）相切；相交；相离。圆与圆的位置关系（表示圆心距，表示两圆半径，且）DR,RA直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注有斜率2211BXKYL12,KB121K21,L且不可写成011CBA,121BA021B（验证）分式22YXLC相离；外切；相交；RRDRRDRRDR内切；内含。010与圆有关的结论过圆X2Y2R2上的点MX0,Y0的切线方程为X0XY0YR2；过圆XA2YB2R2上的点MX0,Y0的切线方程为X0AXAY0BYBR2；以AX1，Y2、BX2,Y2为直径的圆的方程XX1XX2YY1YY20。第六部分圆锥曲线1定义椭圆；|2,|2121FAMF双曲线；抛物线略|,|2结论焦半径椭圆（E为离心率）；（左“”右0201,XPEX“”）；抛物线20PXPF弦长公式411212122XXKKAB；122YYYK注（）焦点弦长椭圆；抛物线X1X2P|21XEAABAB；（）通径（最短弦）椭圆、双曲线；抛物线2P。2SINPB过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为（同时大于0时表示椭圆，2NYMXN,时表示双曲线）；0M椭圆中的结论内接矩形最大面积2AB；P，Q为椭圆上任意两点，且OP0Q，则；2221|1BAOQP椭圆焦点三角形，（）；点是TAN21BSFP21FM内心，交于点，则；21FPM2NCM|当点与椭圆短轴顶点重合时最大；21双曲线中的结论双曲线（A0,B0）的渐近线；12BYAX02BYAX共渐进线的双曲线标准方程为为参数，0）；双曲线焦点三角形，（）；P是双曲线2COT21SFP21F2AX1A0，B0的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则PF1F2的内切圆的圆心2Y横坐标为；,双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；2EXY（6）抛物线中的结论抛物线Y22PXP0的焦点弦AB性质X1X2；Y1Y2P2；4；以AB为直径的圆与准线相切；以AF（或BF）PBFA|1|为直径的圆与轴相切；。YSIN2PSAOB抛物线Y22PXP0内结直角三角形OAB的性质；恒过定点；22114,4PXABL0,2P中点轨迹方程；，则轨迹方程为BA,PXYM；。22PYX2MINSAOB抛物线Y22PXP0，对称轴上一定点，则0,A当时，顶点到点A距离最小，最小值为；当时，抛物线上A0PA有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为。X2P3直线与圆锥曲线问题解法直接法（通法）联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程XY直线斜率不存在时考虑了吗判别式验证了吗设而不求（代点相减法）处理弦中点问题步骤如下设点AX1，Y1、BX2,Y2；作差得；解决问题。21XYKAB4求轨迹的常用方法（1）定义法利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。第七部分平面向量设AX1,Y1,BX2,Y2，则ABB0AB（X1Y2X2Y10；RABA、B0AB0X1X2Y1Y20AB|A|B|COSX2Y1Y2；注|A|COS叫做A在B方向上的投影；|B|COS叫做B在A方向上的投影；AB的几何意义AB等于|A|与|B|在A方向上的投影|B|COS的乘积。COS；|BA三点共线的充要条件P，A，B三点共线；1YX且OBAXP附（理科）P，A，B，C四点共面。Z且CZYO第八部分数列1定义等差数列,221N1NNADANNN为常数）；BASBKAN2等比数列N2,01N2N1NAQA；0K,QKS,的常数）均为不为QCAN2等差、等比数列性质等差数列等比数列通项公式DNAN11NQA前N项和DNASNN21211QASQNN11时，时，性质ANAMNMD,ANAMQNMMNPQ时AMANAPAQMNPQ时AMANAPAQ成等差数列成等比数列,232KKKSS,232KKKSS成AP,成GP,MDMM等差数列特有性质项数为2N时S2NNANAN1NA1A2N；ND奇偶；1NAS偶奇项数为2N1时S2N12N1；中A中偶奇AS1NS偶奇若；若；0,NMMNA，则,NMMN则若。SNS，则3数列通项的求法分析法；定义法（利用AP,GP的定义）；公式法累加法（；NNCA1叠乘法（型）；构造法（型）；（6）迭代法；NCA1BKAN1间接法（例如）；作商法（型）；44111NNNANCA21待定系数法；（理科）数学归纳法。注当遇到时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。QADANN11或ANS1N1SNSN1N24前项和的求法拆、并、裂项法；倒序相加法；错位相减法。N5等差数列前N项和最值的求法；利用二次函数的图象与性质。0011NNA或第九部分不等式1均值不等式2BAAB注意一正二定三相等；变形，。2BA2绝对值不等式|BA3不等式的性质；ABC,CBA（4）；（5）；DC,DBCDBA0,；（6）；（7）0CDC；NNABN（8）。B4不等式等证明（主要）方法比较法作差或作比；综合法；分析法。第十部分复数1概念ZABIRB0A,BRZZ20；ZABI是虚数B0A,BR；ZABI是纯虚数A0且B0A,BRZ0（Z0）Z20时，变量正相关；0时，变量负相关；RYX,Y,越接近于1，两个变量的线性相关性越强；接近于0时，两个变量之间几乎|R不存在线性相关关系。4回归分析中回归效果的判定总偏差平方和残差；残差平方和；NIIY12IIIYE21NIYI回归平方和；相关指数。NIIY1221NIYINIIIIIIYR122注得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；2R越接近于1，则回归效果越好。5独立性检验（分类变量关系）随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。2K第十三部分算法初步1程序框图图形符号终端框（起止况）；输入、输出框；连接点。处理框（执行框）；判断框；流程线；程序框图分类顺序结构条件结构循环结构R0否求N除以I的余数输入N是N不是质素N是质数II1I2IN或R0否是注循环结构分为当型（WHILE型）先判断条件，再执行循环体；直到型（UNTIL型）先执行一次循环体，再判断条件。2基本算法语句输入语句INPUT“提示内容”；变量；输出语句PRINT“提示内容”；表达式赋值语句变量表达式条件语句IF条件THENIF条件THEN语句体语句体1ENDIFELSE语句体2ENDIF循环语句当型直到型WHILE条件DO循环体循环体WENDLOOPUNTIL条件3算法案例辗转相除法与更相减损法求两个正整数的最大公约数；秦九韶算法求多项式的值；进位制各进制数之间的互化。第十四部分常用逻辑用语与推理证明1四种命题原命题若P则Q；逆命题若Q则P；否命题若P则Q；逆否命题若Q则P注原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。2充要条件的判断（1）定义法正、反方向推理；（2）利用集合间的包含关系例如若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件；3逻辑连接词且AND命题形式PQ；PQPQPQP或（OR）命题形式PQ；真真真真假非（NOT）命题形式P真假假真假假真假真真假假假假真4全称量词与存在量词全称量词“所有的”、“任意一个”等，用表示；全称命题P；全称命题P的否定P。,XM,XPM存在量词“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；特称命题P；特称命题P的否定P；,第十五部分推理与证明1推理合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。归纳推理由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。类比推理由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。注类比推理是特殊到特殊的推理。演绎推理从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提已知的一般结论；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况得出的判断。二证明直接证明综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。2间接证明反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。附数学归纳法（仅限理科）一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤