x届高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）函数、导数及其应用

X节函数及其表示备考方向要明了考什么怎么考1了解构成函数的要素，了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法如图象法、列表法、解析法表示函数3了解简单的分段函数，并能简单应用1考查方式多为选择题或填空题2函数的表示方法是高考的常考内容，特别是图象法与解析式更是高考的常客，如X年新课标全国T10等3分段函数是高考的重点也是热点，常以求解函数值，由函数值求自变量以及与不等式相关的问题为主，如X年XT3等归纳知识整合1函数与映射的概念函数映射两集合A，BA，B是两个非空数集A，B是两个非空集合对应关系FAB按照某种确定的对应关系F，对于集合A中的任意一个数X，在集合B中有唯按某一个确定的对应关系F，对于集合A中的任意一个元素X在集合B中都有一确定的数FX和它对应唯一确定的元素Y与之对应名称FAB为从集合A到集合B的一个函数对应FAB为从集合A到集合B的一个映射记法YFX，XA对应FAB是一个映射探究1函数和映射的区别与联系是什么提示二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射2函数的有关概念1函数的定义域、值域在函数YFX，XA中，X叫做自变量，X的取值范围A叫做函数的定义域；与X的值相对应的Y值叫做函数值，函数值的集合FX|XA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集2函数的三要素定义域、值域和对应关系3相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数探究2若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数提示不一定如函数YX与YX1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如YSINX与YCOSX，其定义域都为R，值域都为1,1，显然不是同一个函数因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数4函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法5分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数自测牛刀小试1教材习题改编给出下列五个命题，正确的有函数是定义域到值域的对应关系；函数FX；X41XFX5，因这个函数的值不随X的变化而变化，所以FT21也等于5；Y2XXN的图象是一条直线；FX1与GXX0表示同一个函数A1个B2个C3个D4个解析选B由函数的定义知正确；错误；由ERROR得定义域为，所以不是函数；因为函数FX5为常数函数，所以FT215，故正确；因为XN，所以函数Y2XXN的图象是一些离散的点，故错误；由于函数FX1的定义域为R，函数GXX0的定义域为X|X0，故错误综上分析，可知正确的个数是22教材习题改编以下给出的对应是从集合A到B的映射的有集合AP|P是数轴上的点，集合BR，对应关系F数轴上的点与它所代表的实数对应集合AP|P是平面直角坐标系中的点，集合BX，Y|XR，YR，对应关系F平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；集合AX|X是三角形，集合BX|X是圆，对应关系F每一个三角形都对应它的内切圆；集合AX|X是新华中学的班级，集合BX|X是新华中学的学生，对应关系F每一个班级都对应班里的学生A1个B2个C3个D4个解析选C由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以不是从集合A到集合B的映射3XX高考若函数FXERROR则FF10ALG101B2C1D0解析选BF10LG101，故FF10F1X124教材习题改编已知函数FX，则FF4_；若FA2，则A_X2X6_解析FX，F43X2X64246FF4F3323619FA2，即2，A2A6解得A14答案14195教材习题改编AX|X是锐角，B0,1，从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素60相对应的B中的元素是_；与B中元素相对应的A中的元素是_32解析COS60，与A中元素60相对应的B中的元素是1212又COS30，与B中元素相对应的A中的元素是303232答案3012函数与映射的概念例1有以下判断1FX与GXERROR表示同一个函数|X|X2函数YFX的图象与直线X1的交点最多有1个3FXX22X1与GTT22T1是同一函数4若FX|X1|X|，则F0F12其中正确判断的序号是_自主解答对于1，函数FX的定义域为X|XR且X0，而函数GXERROR的定义域是R，所以|X|X二者不是同一函数；对于2，若X1不是YFX定义域内的值，则直线X1与YFX的图象没有交点，若X1是YFX定义域内的值，由函数的定义可知，直线X1与YFX的图象只有一个交点，即YFX的图象与直线X1最多有一个交点；对于3，FX与GT的定义域、值域和对应关系均相同，所以FX与GT表示同一函数；对于4，由于F012|121|12|，所以FF01F12综上可知，正确的判断是23答案231判断两个变量之间是否存在函数关系的方法要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验1定义域和对应关系是否给出；2根据给出的对应关系，自变量X在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值Y与之对应2判断两个函数是否为同一个函数的方法判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断11以下给出的同组函数中，是否表示同一函数为什么F1Y；F2Y1F1YERRORXXF2XX11X2X2Y123F1Y2X；F2如图所示解不同函数F1X的定义域为XR|X0，F2X的定义域为R同一函数X与Y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式同一函数理由同2已知映射FAB其中ABR，对应关系FXYX22X，对于实数KB，在集合A中不存在元素与之对应，则K的取值范围是AK1BK1CK1时满足题意求函数的解析式例21已知FX1X24X1，求FX的解析式2已知FX是一次函数，且满足3FX1FX2X9求FX自主解答1法一换元法设X1T，则XT1，FTT124T11，即FTT22T2所求函数为FXX22X2法二配凑法FX1X24X1X122X12，所求函数为FXX22X22待定系数法由题意，设函数为FXAXBA0，3FX1FX2X9，3AX13BAXB2X9，即2AX3A2B2X9由恒等式性质，得ERROR解得A1，B3所求函数解析式为FXX3若将本例1中“FX1X24X1”改为“FLGX”，如何求解2X1解令1T，X0，2XT1且X2T1FTLG，即FXLGX12T12X1求函数解析式的常用方法1配凑法由已知条件FGXFX，可将FX改写成关于GX的表达式，然后以X替代GX，便得FX的表达式；2待定系数法若已知函数的类型如一次函数、二次函数可用待定系数法；3换元法已知复合函数FGX的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；4解方程组法已知关于FX与F或FX的表达式，可根据已知条件再构造出另外一1X个等式组成方程组，通过解方程求出FX2给出下列两个条件1F1X2；XX2FX为二次函数且F03，FX2FX4X2试分别求出FX的解析式解1令T1，XT1，XT12则FTT122T1T21，FXX21X12设FXAX2BXC，又F0C3FXAX2BX3，FX2FXAX22BX23AX2BX34AX4A2B4X2ERROR解得ERRORFXX2X3分段函数求值例3已知函数FXERROR则F2LOG23的值为AB124112CD1613解析2LOG234，F2LOG23F3LOG233LOG23LOG231218121813124答案A解决分段函数求值问题的方法1求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值2若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决3已知函数FXERROR若FF04A，则实数A等于AB1245C2D9解析选CXFA，则实数A的取值范围是A1,00,1B，11，C1,01，D，10,1解析选C当A0时，FAFA，LOG2ALOGALOG211AA，得A11A当AFA，LOGALOG2ALOG12121AA4，则X的取值范围是_解析当X4得2X4，即X4得X24，所以X2或X2综上，X的取值范围是X2答案，22，一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分1下列各组函数中，表示相等函数的是AY与Y5X5X2BYLNEX与YELNXCY与YX3X1X3X1DYX0与Y1X0解析选DYX，Y|X|，故Y与Y不表示相等函数；B、C选项中的两函数定义域5X5X25X5X2不同；D选项中的两函数是同一个函数2设A0,1,2,4，B，则下列对应关系能构成A到B的映射的是12，0，1，2，6，8AFXX31BFXX12CFX2X1DFX2X解析选C对于A，由于集合A中X0时，X311B，即A中元素0在集合B中没有元素与之对应，所以选项A不符合；同理可知B、D两选项均不能构成A到B的映射，C符合3已知函数FXERROR则FF10AB1214C1D14解析选A依题意可知F10LG101，F1212124X杭州模拟设函数FXERROR若FAF12，则AA3B3C1D1解析选DFAF12，且F11，1FA1，当A0时，FA1，A1；A当A1时，FFX满足1X1X二、填空题7已知FX2，则函数F3_X1X1X2解析FX222，X1X1X2X1XFXX22F3322X答案X8若FABFAFB且F11，则_F2F1F3F2F2012F2011解析令B1，F11，FA1FA20XF2F1F3F2F2012F2011答案20X9已知函数FXERROR则满足不等式F1X2F2X的X的取值范围是_解析画出FXERROR的图象，如图由图象可知，若F1X2F2X，则ERROR即ERROR得X1，12答案1，12三、解答题本大题共3小题，每小题X分，共36分10已知FXX21，GXERROR1求FG2和GF2的值；2求FGX和GFX的解析式解1由已知，G21，F23，因此FG2F10，GF2G322当X0时，GXX1，故FGXX121X22X；当X1或X0，故GFXFX1X22；当12X5解1设二次函数FXAX2BXCA0F01，C1把FX的表达式代入FX1FX2X，有AX12BX11AX2BX12X2AXAB2XA1，B1FXX2X12由X2X12X5，即X23X40，解得X4或X4或X0，对应关系F对P中三角形求面积与集合Q中元素对应解析对于1，集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，故1不是函数；对于3集合P不是数集，故3不是函数；2正确答案23试判断以下各组函数是否表示同一函数1Y，Y；X2X2X242YX，Y；3T33Y|X|，Y2X解Y的定义域为X|X2，X2X2Y的定义域为X|X2或X2，X24它们不是同一函数2它们的定义域相同，且YT，3T3YX与Y是同一函数3T33Y|X|的定义域为R，Y2的定义域为X|X0，X它们不是同一函数4已知FXERROR且FA3，求A的值解当A1时，FAA2，由A23，得A1，与A1相矛盾，应舍去当10的图象与零点的关系000二次函数YAX2BXCA0的图象与X轴的交点X1,0，X2,0X1,0无交点零点个数两个一个零个3二分法的定义对于在区间A，B上连续不断且FAFB0，F3200950，所以方程EXX20的一个根所在的区间为1,24若函数FXX2AXB的两个零点是2和3，则函数GXBX2AX1的零点是_解析函数FXX2AXB的两个零点为2和3，ERROR即A5，B6GXBX2AX16X25X1，令GX0，得X或1213答案，12135函数FX3AX12A在区间1,1上存在零点，则实数A的取值范围是_解析FX3AX12A在区间1,1上有零点，且FX为一次函数，F1F1或A或A0，函数FX在R上单调递增对于A项，F1E1145E10，A不正确，同理可验证B、D不正确对于C项，F1E14E30，F1F20，F3434412E43E10，因此函数FXEX4X3的零点不在区间上；12121234，12对于B，注意到F0，FE43E20，即函数FX在0，1X2X2上单调递增由F2LN210，知X02，E，2EGX0X02答案2判断函数零点个数例21XX高考函数FXXX的零点个数为1212A0B1C2D32函数FXERROR的零点个数为A0B1C2D3自主解答1因为YX在X0，上单调递增，YX在XR上单调递减，所以FXXX在X121212120，上单调递增，又F010，所以FXX1212X在定义域内有唯一零点122当X0时，函数有零点X；当X0时，作出函数14YLNX，YX22X的图象，观察图象可知两个函数的图象如图有2个交点，即当X0时函数FX有2个零点故函数FX的零点的个数为3答案1B2D判断函数零点个数的方法1解方程法令FX0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；2零点存在性定理法利用定理不仅要求函数在区间A，B上是连续不断的曲线，且FAFB0，即X1时，FX1LNX，令FX0得XE1；当X10，即X1时，FX0LN10；当X10E2X1若YGXM有零点，求M的取值范围；2确定M的取值范围，使得GXFX0有两个相异实根解1法一GXX22E，E2XE2等号成立的条件是XE，GX的值域是2E，因而只需M2E，则YGXM就有零点法二作出GXXX0的大致图象如图E2X可知若使YGXM有零点，则只需M2E2若GXFX0有两个相异的实根，即GX与FX的图象有两个不同的交点，作出GXXX0的大致图象E2XFXX22EXM1XE2M1E2其图象的对称轴为XE，开口向下，最大值为M1E2故当M1E22E，即ME22E1时，GX与FX有两个交点，即GXFX0有两个相异实根M的取值范围是E22E1，1个口诀用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为定区间，找中点，中值计算两边看同号去，异号算，零点落在异号间周而复始怎么办精确度上来判断3种方法判断函数零点所在区间的方法判断函数YFX在某个区间上是否存在零点，常用以下方法1解方程当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；2利用函数零点的存在性定理进行判断；3通过画函数图象，观察图象与X轴在给定区间上是否有交点来判断4个结论有关函数零点的结论1若连续不断的函数FX在定义域上是单调函数，则FX至多有一个零点2连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号3连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号4函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件数学思想利用数形结合思想解决与方程的根有关的问题在解决与方程的根或函数零点有关的问题时，如果按照传统方法很难奏效时，常通过数形结合将问题转化为函数图象的交点的坐标问题来解决典例XX高考对于实数A和B，定义运算“”ABERROR设FX2X1X1，且关于X的方程FXMMR恰有三个互不相等的实数根X1，X2，X3，则X1X2X3的取值范围是_解析由定义可知，FX2X1X1ERROR即FXERROR作出函数FX的图象，如图所示，关于X的方程FXM恰有三个互不相等的实根X1，X2，X3，即函数FX的图象与直线YM有三个不同的交点，则00时，X2XM，即X2XM0，X2X31，01时，由FX1LOG2X0，解得X，又因12为X1，所以此时方程无解综上函数FX的零点只有02X湖北高考函数FXXCOSX2在区间0,4上的零点个数为A4B5C6D7解析选CX0,4，X20,16X20，都是FX的零点，此时X有6个值232527292FX的零点个数为63函数FXEXX2的零点所在的一个区间是A2，1B1,0C0,1D1,2解析选C因为函数FX的图象是连续不断的一条曲线，又F2E240，F2E20，所以F0F1FX0，又X015是函数FX的零点，因此FX00，所以FX10，即此时FX1的值恒为正值，选A6X洛阳模拟若函数YFXXR满足FX2FX，且X1,1时，FX|X|，函数GXERROR则函数HXFXGX在区间5,5上的零点的个数为A10B9C8D7解析选B由FX2FX可知，函数FX是周期为2的周期函数在同一直角坐标系中画出函数FX与函数GX的图象，如图所示结合图象可知，函数HX在5,5上有9个零点注意函数GX在X0处无定义二、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分7定义在R上的奇函数FX满足当X0时，FX20XXLOG20XX，则在R上，函数FX零点的个数为_解析函数FX为R上的奇函数，因此F00，当X0时，FX20XXLOG20XX在区间内存在一个零点，又FX为增函数，因此在0，内有且仅有一个零点根据0，12012对称性可知函数在，0内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3答案38已知函数FXX2X，GXXLNX，HXX1的零点分别为X1，X2，X3，则X1，X2，X3的大小关系是_X解析令X2X0，得2XX，令XLNX0，得LNXX在同一坐标系内画出Y2X，YLNX，YX，如图X11所以X10，A8989所以若存在实数A满足条件，则只需F1F30即可，即F1F313A2A199A6A141A5A10所以A或A115检验当F10时，A1所以FXX2X令FX0，即X2X0得X0或X1方程在1,3上有两根，不合题意，故A1当F30时，A，15此时FXX2X，13565令FX0，即X2X0，13565解得X或X325方程在1,3上有两根，不合题意，故A15综上所述，A的取值范围为1，15X若函数FX|4XX2|A有4个零点，求实数A的取值范围解若FX|4XX2|A有4个零点，即|4XX2|A0有四个根，即|4XX2|A有四个根令GX|4XX2|，HXA则作出GX的图象，由图象可知要使|4XX2|A有四个根，则需GX的图象与HX的图象有四个交点，0LOG2210F3LOG2530且A1，B0对数函数模型FXBLOGAXCA，B，C为常数，A0且A1，B0幂函数模型FXAXNBA，B，N为常数，A0，N02三种函数模型性质比较YAXA1YLOGAXA1YXNN0在0，上的单调性单调递增函数单调递增函数单调递增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随X值增大，图象与Y轴接近平行随X值增大，图象与X轴接近平行随N值变化而不同探究1直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么提示直线上升匀速增长，其增长量固定不变；指数增长先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长先快后慢，其增长速度缓慢2你认为解答数学应用题的关键是什么提示解答数学应用题的关键有两点一是认真读题，缜密审题，将实际问题中的自然语言转化为相应的数学语言；二是要合理选取变量，设定变量后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型自测牛刀小试1教材习题改编在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加假设细菌A的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B的数量每5个小时可以增加为原来的4倍现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A的数量是B的数量的两倍，需要的时间为A5HB10HC15HD30H解析选B假设一开始两种细菌数量均为M，则依题意经过X小时后，细菌A的数量是FXM2，细菌X2B的数量是GXM4，令M22M4，解得X10X5X2X52教材习题改编在某种新型材料的研制中，X人员获得了下列一组X数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是X1953003945106XY097159198235261AY2XBYLOG2XCYX21DY261COSX12解析选B通过检验可知，YLOG2X较为接近3据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次03元，普通车存车费是每辆一次02元，若普通车存车数为X辆次，存车费总收入为Y元，则Y关于X的函数关系是AY01X8000X4000BY01X12000X4000CY01X8000X4000DY01X12000X4000解析选DY02X4000X0301X12004教材习题改编某种储蓄按复利计算利息，若本金为A元，每期利率为R，存期是X，本利和本金加利息为Y元，则本利和Y随存期X变化的函数关系式是_解析因为储蓄按复利计算，所以本利和Y随存期X变化的函数关系式是YA1RX，XN答案YA1RX，XN5某种商品进价为每件100元，按进价增加25出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利_元解析九折出售时价格为10012590X25元，此时每件还获利X25100X5元答案X5利用函数刻画实际问题例1如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象表示该容器中水面的高度H和时间T之间的关系，其中不正确的有A1个B2个C3个D4个自主解答将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度H和时间T之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图应该是匀速的，故下面的图象不正确，中的变化率应该是越来越慢的，正确；中的变化规律是先快后慢再快，正确；中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有是错误的答案A用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律如增长的快慢、最大、最小等与函数的性质如单调性、最值等、图象增加、减少的缓急等相吻合即可1一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示给出以下3个论断0点到3点只进水不出水；3点到4点不进水只出水；4点到6点不进水不出水，则一定正确的是ABCD解析选A由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进12水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是利用已知函数模型解决实际问题例2XX高考如图，建立平面直角坐标系XOY，X轴在地平面上，Y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程YKX1K2X2K0表示的120曲线上，其中K与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标1求炮的最大射程；2设在X象限有一飞行物忽略其大小，其飞行高度为32千米，试问它的横坐标A不超过多少时，炮弹可以击中它请说明理由自主解答1令Y0，得KX1K2X20，由实际意义和题设条件知X0，K0，120故X10，当且仅当K1时取等号20K1K220K1K202所以炮的最大射程为10千米2因为A0，所以炮弹可击中目标存在K0，使32KA1K2A2成立120关于K的方程A2K220AKA2640有正根判别式20A24A2A2640A6所以当A不超过6千米时，可击中目标利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题2某商品在近30天内每件的销售价格P元与时间T天的函数关系式是PERROR且该商品的日销售量Q件与时间T天的函数关系式是QT400900，知YMAX1X5，即在第25天日销售额最大，为1X5元构建函数模型解决实际问题例3某特许专营店销售西安世界园艺博览会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向世博会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少1元则增加销售400枚，而每增加1元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为X元1写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润Y元与每枚纪念章的销售价格X的函数关系式并写出这个函数的定义域；2当每枚纪念章销售价格X为多少元时，该特许专营店一年内利润Y元最大，并求出这个最大值自主解答1依题意YERRORYERROR此函数的定义域为0,402YERROR若0X20，则当X16时，YMAX32400元若204时，Y4183X1835X4204X48当乙的用水量超过4吨，即3X4时，Y241833X45X424X96所以YERROR2由于YFX在各段区间上均单调递增，当X时，YF3千元设该容器的建造费用为Y千元1写出Y关于R的函数表达式，并求该函数的定义域；2求该容器的建造费用最小时的R快速规范审题第1问1审条件，挖解题信息观察条件中间为圆柱形，左右两端均为半球形的容器，球的半径为R，圆柱的母线为L，以及容器的体积R2L可根据体积公式建立关系式4R33803S球4R2，利用表面积公式，可求球及圆柱的表面积S圆柱2RL2审结论，明确解题方向观察所求结论求Y关于R的函数表达式，并求该函数的定义域求总造价Y，应求出球形部分及圆柱形部分各自的造价球形部分的造价为4R2C，圆柱型部分的造价为2RL33建联系，找解题突破口总造价Y球形部分的造价圆柱型部分的造价，即Y4R2C2RL3由R2L解得L，故可得建造应消掉L，只保留R4R33803803R24R3费用Y8R24CR203，所以C20当R30时，R20C2320C2令M，则M0320C2所以YRMR2RMM27分8C2R2易忽视条件L2R，从而误认为R0，导致定义域错误易忽视导数为零的点与定义域的关系，即忽视对C的取值的讨论而造成解题错误当0时，92当RM时，Y0；当R0，M时，Y0，所以RM是函数Y的极小值点，也是最小值点9分当M2，即3时，建造9292费最小时R12分320C2答题模板速成解决函数实际应用问题的一般步骤第一步审清题意弄清题意，理顺条件和结论，找到关键量，明确数量关系第二步找数量关系把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙第三步建数学模型将数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型第四步解数学问题利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论第五步返本还原将数学结论还原为实际问题本身所具有的意义如本题应还原建造费用最小时R的值第六步反思回顾查看关键点、易错点，如本题函数关系式，定义域，分易忽视将问题“返本还原”，即没将函数的最小值还原为建造费用最小而草率收兵类讨论等一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分1如图是张大爷晨练时所走的离家距离Y与行走时间X之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是解析选C由于中间一段时间，张大爷离家的距离不变，故应选C2某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润单位万元分别为L1506X015X2和L22X，其中X为销售量单位辆若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为A45606万元B456万元C4556万元D4551万元解析选B设该公司在甲地销售X辆，则在乙地销售15X辆，利润为LX506X015X2215X015X2306X30015201530，由于X为整数，所以当X10时，X153151532225LX取最大值L10456，即能获得的最大利润为456万元3某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6M2，如果该城市人口平均每年增长率为1问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7M2，平均每年新增住房面积至少为1011011046A90万M2B87万M2C85万M2D80万M2解析选B由题意866万M287万M2500111075006104某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法买一副球拍赠送一个羽毛球；按总价的92付款现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是A不能确定B同样省钱C省钱D省钱解析选D方法用款为42026580130210元方法用款为420305922116元因为210500时，FX005500500212X，120000025X100051400故FXERROR2当0500时，FX12XFX2，那么就说函数FX在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的2如果函数YFX在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数YFX在区间D具有严格的单调性，这一区间叫做YFX的单调区间探究1函数Y的单调递减区间为，00，这种表示法对吗1X提示首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结2函数FX在区间A，B上单调递增与函数FX的单调递增区间为A，B含义相同吗提示含义不同FX在区间A，B上单调递增并不能排除FX在其他区间上单调递增，而FX的单调递增区间为A，B意味着FX在其他区间上不可能单调递增2函数的最值前提设函数YFX的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意XI，都有FXM；存在X0I，使得FX0M对于任意XI，都有FXM；存在X0I，使得FX0M结论M为最大值M为最小值探究3函数的单调性、最大小值反映在其图象上有什么特征提示函数的单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大小值反映在图象上为其最高低点的纵坐标的值自测牛刀小试1教材习题改编函数FX，X2,6，则下列说法正确的有2X1函数FX为减函数；函数FX为增函数；函数FX的最大值为2；函数FX的最小值为25ABCD解析选B易知函数FX在X2,6上为减函数，故FXMINF6，FXMAXF222X1252函数Y2K1XB在，上是减函数，则AKBKDK1，即|X|0X211若2F1F1，求A的值；2证明当A1时，函数FX在区间0，上为单调减函数自主解答1由2F1F1，可得22AA，得A22232证明任取X1，X20，且X10，FX在0，上单调递减判断或证明函数的单调性的两种方法1利用定义的基本步骤是取值作差商变形确定符号得出结论2利用导数的基本步骤是求导函数确定符号得出结论1讨论函数FXA0的单调性AXX21解由X210，得X1，即定义域为，11,11，当X1,1时，设10，X1X210，X1X10212又A0，FX1FX20，函数FX在1,1上为减函数设10，X10，212X2X10，X1X210FX1FX20，即FX1FX2FX在1，上为减函数又函数FX是奇函数，FX在，1上是减函数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间1YX22|X|3；2YLOG2X21自主解答1依题意，可得当X0时，YX22X3X124；当X0，在1，上为增函数且0当X，1时，YLOG2X21为减函数，当X1，时，YLOG2X21为增函数1求函数单调区间应注意的问题函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行2求复合函数YFGX的单调区间的步骤1确定定义域；2将复合函数分解成基本初等函数YFU，UGX；3分别确定这两个函数的单调区间；4若这两个函数同增或同减，则YFGX为增函数；若一增一减，则YFGX为减函数，即“同增异减”2求函数Y的单调区间X2X6解令UX2X6，Y可以看作有Y与UX2X6的复合函数X2X6U由UX2X60，得X3或X2UX2X6在，3上是减函数，在2，上是增函数，而Y在0，上是增函数UY的单调减区间为，3，单调增区间为2，X2X6由函数的单调性求参数的值或范围例3已知函数FXA0在2，上为单调递增函数，求实数A的取值范围X2AX自主解答在区间2，上任取X1，X2，且X14A4，又A0，A的取值范围为0,4若将“FXA0”改为“FX”，如何求解X2AXX5XA2解FX1X5XA2A3XA2FX在2，上为增函数，302A，解得即A0，故实数A的取值范围为，0利用函数的单调性求参数的方法及注意点利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参需注意若函数在区间A，B上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的3已知FXXA，若A0且FX在1，内单调递减，求A的取值范围XXA解任设10，X2X10，要使FX1FX20，只需X1AX2A0恒成立A1综上所述，A的取值范围是0,1函数的最值与应用例42013昆明模拟已知函数FX，X1，X22XAX1当A时，求函数FX的最小值；122若对任意X1，FX0恒成立，试求实数A的取值范围自主解答1当A时，FXX2，在1，上为增函数，FXMINF11212X722FXX2，X1，AX当A0时，FX在1，内为增函数最小值为F1A3要使FX0在X1，上恒成立，只需A30，即A3，所以30，A3所以01时，FX在1，A上为减函数，在，上为增函数，所以FX在1，上的最小值是F22AAA，220，显然成立综上所述，FX在1，上恒大于零时，A的取值范围是3，A1求函数最值的常用方法1单调性法先确定函数的单调性，再由单调性求最值；2图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；3基本不等式法先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；4导数法先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；5换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值2恒成立问题的解法1MFX恒成立MFXMAX；2M0X1X2FX1FX20FX在A，B上是增函数；FX1FX2X1X220CFX10，FX20，FX20解析选B函数FXLOG2X在1，上为增函数，且F20当X11,2时，FX1F20，即FX103若FXX22AX与GX在区间1,2上都是减函数，则A的取值范围是AX1A1,00,1B1,00,1C0,1D0,1解析选D函数FXX22AX在区间1,2上是减函数，A1又函数GX在区间1,2上也是减函数，AX1A0A的取值范围是0,142013潍坊模拟已知函数FX的图象向左平移1个单位后关于Y轴对称，当X2X11时，FX2FX1X2X1ABBCBACACBDBAC解析选D根据已知可得函数FX的图象关于直线X1对称，且在1，上是减函数AFF，所以BAC12525若函数FXLOGA2X2XA0且A1在区间内恒有FX0，则FX的单调递增区0，12间为AB，1414，C0，D，12解析选D令GX2X2X0，得X0或X0恒成立，故00，则函数FX在A，B上有A最小值FAB最大值FBC最小值FBD最大值FAB2解析选CFX是定义在R上的函数，且FXYFXFY，F00，令YX，则有FXFXF00FXFXFX是R上的奇函数设X10FX在R上是减函数FX在A，B有最小值FB二、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分7函数FXXLOG2X2在区间1,1上的最大值为_13解析由于YX在R上递减，YLOG2X2在1,1上递增，所以FX在1,1上单调13递减，故FX在1，1上的最大值为F13答案382013东城模拟函数FX的定义域为A，若X1，X2A且FX1FX2时总有X1X2，则称FX为单函数例如函数FX2X1XR是单函数给出下列命题函数FXX2XR是单函数；指数函数FX2XXR是单函数；若FX为单函数，X1，X2A且X1X2，则FX1FX2；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中真命题是_写出所有真命题的编号解析根据单函数的定义，函数是单函数等价于这个函数在其定义域内是单调的，故命题是真命题，是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题是真命题答案9已知函数FXERRORA是常数且A0对于下列命题函数FX的最小值是1；函数FX在R上是单调函数；若FX0在上恒成立，则A的取值范围是A1；12，对任意的X10在上恒成立，则2A10，A1，故正确；由图象可知12，12在，0上对任意的X10，X01A1X1求证FX在0，上是单调递增函数；2若FX在上的值域是，求A的值12，212，2解1证明设X2X10，则X2X10，X1X20，FX2FX11A1X21A1X10，1X11X2X2X1X1X2FX2FX1FX在0，上是单调递增的2FX在上的值域是，又FX在上单调递增，12，212，212，2F，F22易得A12122511已知函数FX对任意的A，BR恒有FABFAFB1，并且当X0时，FX11求证FX是R上的增函数；2若F45，解不等式F3M2M20，FX2X11FX2FX1FX2X110，即FX2FX1FX是R上的增函数2令AB2，得F4F2F212F21，F23而F3M2M20成立FAFBAB1判断FX在1,1上的单调性，并证明它；2解不等式F0，X1X20，则X2所以函数YLOGX23X2的定义域为，12，1又UX23X2的对称轴X，且开口向上32所以UX23X2在，1上是单调减函数，在2，上是单调增函数而YLOGU在0，上是单调减函数，12故YLOGX23X2的单调减区间为2，单调增区间为，112讨论函数FXM00，MX1X2X22X12即FX2FX1，故函数FX在区间，2上是增函数同理可得函数FX在区间2，上也是增函数综上，函数FX在，2，2，上为增函数3已知函数FX对于任意X，YR，总有FXFYFXY，且当X0时，FXX2，则X1X20，FX1FX2FX1FX2FX1X2，又X0时，FX0，FX1X2X2，则FX1FX2FX1X2X2FX2FX1X2FX2FX2FX1X2又X0时，FX0，FX1X20，右移A个单位A0，上移B个单位B1，伸为原来的A倍00对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数其解析