高考精品系列之数学3年高考2年模拟1年原创第一章 集合与常用逻辑用语-专题2常用逻辑用语（理科）【解析版】

第一章集合与常用逻辑用语专题2常用逻辑用语（理科）【三年高考】1【2015高考新课标1，理3】设命题，则为P2,NNP（A）（B）（C）（D）2,NN2,N2,N2,NN【答案】C【解析】，故选CP2,N2【2015高考湖北，理5】设，若P成等比数列；12,NAR312,NAQ，则（）2211312NNAAAAP是Q的充分条件，但不是Q的必要条件BP是Q的必要条件，但不是Q的充分条件CP是Q的充分必要条件DP既不是Q的充分条件，也不是Q的必要条件【答案】A【解析】对命题P成等比数列，则公比且；12,NA31NA0NA对命题，当时，成立；Q0N222221131231NNNAA当时，根据柯西不等式，等式成立，NA22123231NNAA则，所以成等比数列，所以是的充分条件，但不是的必要条件NAA132112,NAPQQ3【2015高考重庆，理4】“”是“”的（）X12LOG0XA、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，因此选B12LOG021XXX4【2015高考山东，理12】若“”是真命题，则实数的最小值为0,TAN4MM【答案】1【解析】若“”是真命题，则大于或等于函数在的最大值0,TAN4XXTANYX0,4因为函数在上为增函数，所以，函数在上的最大值为1，TAY,TANYX0,4所以，即实数的最小值为1所以答案应填11M5【2015高考湖南，理2】设，是两个集合，则“”是“”的（）ABABABA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意得，反之，故为充要条件，选C6【2014高考湖南卷第5题】已知命题在命题,2YXQYXYP则若；命题则若中，真命题是（）QQPQP）（ABCD【答案】C【解析】当时,两边乘以可得,所以命题为真命题,当时,XY1XYP1,2XY因为,所以命题为假命题,则为真命题,所以根据真值表可得为真命题,故选C214QQ7【2014陕西高考理第8题】原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题，否命题，逆12Z12Z否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A真，假，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假【答案】【解析】设复数，则，所以，故原命题为真；1ZABI21ZABI21ZAB逆命题若，则互为共轭复数；如，且，但此时21,34I23I125Z不互为共轭复，故逆命题为假；否命题若不互为共轭复数，则；如，12,Z12,Z134I，此时不互为共轭复，但，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，243ZI12,Z125Z所以逆否命题为真；故选B8【2014重庆高考理第6题】已知命题对任意，总有；是的充分不必PXR20X“1Q2“X要条件则下列命题为真命题的是（）APQBQCPDPQ【答案】D【解析】由题设可知是真命题，是假命题；所以，是假命题，是真命题；P所以，是假命题，是假命题，是假命题，是真命题；故选DPQQPQPQ9【2014高考福建卷理科第6题】直线与圆相交于两点，则是“1LYKX21OXY,AB“1K的面积为”的（）OAB12充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件BC【答案】A【解析】由时,圆心到直线的距离所以弦长为所以1K1LYX2D2所以充分性成立,由图形的对成性当时,的面积为所以不要2OABS1KOAB12性不成立故选A10【2013年高考安徽卷理科4】“是函数在区间内单调递增”的（”0AFXAX,0）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，令解得,当，的图像如下21FXAX20,AX12,XA0FX图当，的图像如下图0AFX由上两图可知是充要条件,故选C11【2013高考北京卷理科7】双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）21YXM2ABCD12M1M【答案】C【解析】由双曲线的方程可知，解不等式，得，故选C2,1ABC121M12【2013年高考辽宁卷理科4】下面是关于公差的等差数列的四个命题0DNA1NPA数列是递增数列；2NPA数列是递增数列；3P数列是递增数列；43ND数列是递增数列；其中的真命题为（）ABCD12,P34,P23,P14,P【答案】D【解析】若等差数列的公差为正数，则这个等差数列为递增数列；正确；数列也是递增数列，故1P3ND是递增数列，正确，故选D3NAD4P【2016年高考命题预测】纵观2015年全国各地的高考试题，可以发现高考对常用逻辑用语的考查以考查四种命题、逻辑联结词、充分条件、必要条件、全称与特称命题等知识点为主，难度不大，估计2016年高考命题仍会以基本概念为考查对象，并且以本节知识作为工具，以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查题目以选择填空题为主，在总分中占5分，重点考查学生的推理能力，所以对于2016年的高考备考同学们只需要像集合一样，掌握四种命题、逻辑联结词、充分条件、必要条件等基本知识点，对典型的例题加强练习，不宜搞过深过难的题目，关于本专题的高考备考还需要注意以下几点1在命题类的题目中首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；2要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手；3要特别注意一些特殊量词的否定形式,例如至少个的否定为至多个等；4充要条N1N件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若P，则Q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件；5注意区分“P是Q的充分不必要条件”与“P的一个充分不必要条件是Q”两者的不同，前者是“PQ”而后者是“QP”；6注意理解逻辑联结词与集合的关系；7正确区别命题的否定与否命题【2016年高考考点定位】高考对常用逻辑用语的考查有四种形式一是考查四种命题的真假与转化，二是逻辑联结词、三是特称与全称命题的否定,四是充分条件和必要条件的判断难度不大,以本节知识作为工具，以代数中的函数、不等式和几何中的点、线、面以及三角、解析几何为载体来考查【考点1】四种命题【备考知识梳理】一、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题二、四种命题命题表述形式原命题若P，则Q逆命题若Q，则P否命题若，则逆否命题若，则三、四种命题之间的逆否关系四、四种命题之间的真假关系1、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系【规律方法技巧】1四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。注意在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。2正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要3命题真假的判断方法判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手4判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假5否命题与命题的否定是两个不同的概念否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法【考点针对训练】1【2015年浙江省杭州地区七校联考】有下列四个命题“平面内一个动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆”；“若Q1，则方程有实根”的否命题；20XQ“若，则的解集为R”的逆命题1M13M“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆否命题其中真命题的序号有（）ABCD【答案】A【解析】是假命题,只有当动点到两个定点的距离之和大于两定点间的距离时,点的轨迹才是椭圆是真命题,“若，则方程有实根”的逆命题为“若方程有实根，则1Q20XQ20XQ”,若方程有实根则有,解得则说明原命题的逆命题为真命题,所以其否命题1Q41也为真是真命题,“若，则的解集为”的逆命题为“若1M2130XXMR的解集为，则”的解集为时,当230XXR2130XXMR时不等式变形为,解得,与解集为矛盾,故舍当时由题意可得02X是假命题,因为两直线没有公共点两直线可能平行可能异面,所24130M1M以原命题是假命题,则其逆否命题也为假命题综上可知真命题为故A正确2【2015届湖北省襄阳市五中高三5月模拟】下列四个结论命题“若P，则Q”的逆命题是“若Q，则P”设是两个非零向量，则“”是“”成立的充分不必要条件,AB/ABAB某学校有男、女学生各500名为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样设某大学的女生体重Y单位KG与身高X单位CM具有线性相关关系，回归方程为085X8571，Y则可以得出结论该大学某女生身高增加1CM，则其体重约增加085KG其中正确的结论个数是（）A1B2C3D4【答案】C【解析】互换条件和结论，故正确；显然是必要不充分条件，错误；总体由男生和女生组成，比例为50050011，所抽取的比例也是11故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法，正确；将对应X值代入计算即可得到身高增加1CM，则其体重约增加085KG，正确；故选C【考点2】逻辑连接词【备考知识梳理】1用联结词“且”联结命题P和命题Q，记作PQ，读作“P且Q”2用联结词“或”联结命题P和命题Q，记作PQ，读作“P或Q”3对一个命题P全盘否定，就得到一个新命题，记作，读作“非P”或“P的否定”4命题PQ，PQ，的真假判断PQ中P、Q有一假为假，PQ有一真为真，P与非P必定是一真一假【规律方法技巧】1正确理解逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题2正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若P，则Q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非P”，只是否定命题P的结论命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系3含有逻辑连接词命题的真假判断步骤1准确判断简单命题P、Q的真假；2判断“PQ”“PQ”“P”命题的真假4含有逻辑联结词的命题的真假判断规律1PQP、Q中有一个为真，则PQ为真，即一真即真；2PQP、Q中有一个为假，则PQ为假，即一假即假；3P与P的真假相反，即一真一假，真假相反【考点针对训练】1【2015届广东省汕头市潮南区高三高考模拟二理科】已知命题若是非零向量，是非零实数，PA则与方向相反；命题则下列命题为真命题的是AQ|AABCDPQPPQQ【答案】C【解析】当时，与方向相反；当时，与方向相同，命题是假命题；0A0AP，命题是假命题，是真命题，是真命题，故答案为CAQPQP2已知且，设命题函数在上单调递减；命题曲线1LOG1AYX,Q与轴交于不同的两点，如果是假命题，是真命题，求的取值范围23YXAXPQPA【解析】因为函数在上是单调递减，所以命题成立，则，又因为曲线LOGYA,010与轴交于不同的两点，所以，解得或12XXY432AQ25因为是假命题，是真命题，所以命题一真一假，真假，则，所以QPQPQP,P1A12A假真，则，所以，故实数的取值范围是PQ25A或A,251,【考点3】全称命题与特称命题【备考知识梳理】1全称量词与全称命题1短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示2含有全称量词的命题，叫做全称命题3全称命题“对M中任意一个X，有PX成立”可用符号简记为XM，PX，读作“对任意X属于M，有PX成立”2存在量词与特称命题1短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示2含有存在量词的命题，叫做特称命题3特称命题“存在M中的一个X0，使PX0成立”可用符号简记为X0M，PX0，读作“存在M中的元素X0，使PX0成立”3含有一个量词的命题的否定命题命题的否定XM，PXX0M，PX0X0M，PX0XM，PX【规律方法技巧】1全称命题真假的判断方法1要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素X，证明PX成立；2要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值XX0，使PX0不成立即可2特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个XX0，使PX0成立即可，否则这一特称命题就是假命题3全称与特称命题的否定需要注意1弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提2注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定【考点针对训练】1【重庆南开中学2015级高三9月月考】已知命题“或”是假命题，则下列命题或；PQPQ且；或；且；其中真命题的个数为（）PQPQA1B2C3D4【答案】C【解析】由命题“或”是假命题，知，两个均为假命题，从而、均是真命题，故知PQPQPQ或；且；或均为真命，故选CPQ2【皖南八校2015届高三第一次联考】命题“对任意”的否定是_2,310XRX【答案】存在使得0,XR2031X【解析】命题“对任意”是全称命题，所以其否定是特称命题，故答案为存在,0使得0,X20X【考点4】充分条件与必要条件【备考知识梳理】1如果PQ，则P是Q的充分条件，Q是P的必要条件2如果PQ，QP，则P是Q的充要条件3充分条件与必要条件的两个特征1对称性若P是Q的充分条件，则Q是P的必要条件，即“PQ”“QP”；2传递性若P是Q的充分必要条件，Q是R的充分必要条件，则P是R的充分必要条件【规律方法技巧】充要关系的几种判断方法1定义法若,PQ，则P是Q的充分而不必要条件；若,PQ，则P是Q的必要而不充分条件；若，则是的充要条件；若，则是的既不充分也不必要条件。2等价法即利用与；与；与的等价关系，对于条PQPQPQQP件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法3充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题P的集合为M，满足命题Q的集合为N，则M是N的真子集等价于P是Q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于P是Q的必要不充分条件，MN等价于P和Q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于P既不是Q的充分条件也不是Q的必要条件【特别提醒】1充分条件与必要条件的两个特征1对称性若P是Q的充分条件，则Q是P的必要条件，即“PQ”“QP”；2传递性若P是Q的充分必要条件，Q是R的充分必要条件，则P是R的充分必要条件注意区分“P是Q的充分不必要条件”与“P的一个充分不必要条件是Q”两者的不同，前者是“,”而后者是“,”2从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”【考点针对训练】1【河南八校2015学年第一次联考】设在，上单调递增；321PFXMX，则P是Q的43QMA充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D以上都不对【答案】C【解析】由在（，）内单调递增，得在上恒321FXMX2340（）FXMR成立，只需，即命题P等价于命题P是Q的充分必要条件，故选C160A43M2【四川省成都市新都区高2015届诊断性测试】设PX2Y50；QX2或Y5；RXY7；则下列命题P是R的既不充分也不必要条件；P是Q的充分不必要条件；Q是R的必要不充分条件其中为真命题有ABCD【答案】D【解析】考虑三个条件的否定PX2Y50；QX2且Y5；RXY7，可知R与P既不充分也不必要条件，故P是R的既不充分也不必要条件，正确；Q是P的充分不必要条件，故P是Q的充分不必要条件，正确；R是Q的必要不充分条件，故Q是R的必要不充分条件，正确选D【两年模拟详解析】1【2015届湖南省益阳市高三四月调研】给出下列两个命题命题,当时，1P,0AB1AB；命题函数是偶函数则下列命题是真命题的是14AB2PXY1LNABCD12P1212P12P【答案】B【解析】对于命题显然存在时，故为真命题，对于命题函数1PAB4AB12P的定义域且，故其为奇函数，即XY1LN,1LNLLNXXFF为假命题，所以为真命题；故选B2P12P2【2015届湖北省襄阳四中等四校高三下学期期中理科】下列选项中，说法正确的是A若命题“”为真命题，则命题和命题均为真命题QPQB是的必要不充分条件2AMBAC是的充要条件4XKZSINCOSXD命题“若构成空间的一个基底，则构成空间的一个基底”的否命题为真命,C,ABC题【答案】D【解析】A命题“”为真命题，则命题和命题至少一个为真命题A错；B是PQPQ2AMB的充分不必要条件，B错误C选项AB，故C错误D选项中命题“若SINCOSSINTA1,4XXXKZ构成空间的一个基底，则构成空间的一个基底”的否命题为命题“若,A,BC不为构成空间的一个基底，则也不为构成空间的一个基底”的为真，故选DABC3【2015届陕西省西工大附中高三下学期模拟考试一理科】AB是直线YX2与圆（XA）2（YB）22相切的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线YX2与圆（XA）2（YB）22相切,所以AB24ABAB或是直线YX2与圆（XA）2（YB）22相切的充分不必要条件,故选A4【2015届北京市东城区高三5月综合练习二】已知，是简单命题，那么“是真命题”是“PQPQ是真命题”的（）P（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若是真命题，则为真命题，且为真，而为假命题，所以“是真命题”是PQPQPPQ为真命题的既不充分也不必要条件，所以答案为D5【2015届山东省日照市高三校际联合检测（二模）】下列说法不正确的是（）A若“P且Q”为假，则P，Q至少有一个是假命题B命题“”的否定是“”2,10XR2,10XRC“”是“为偶函数”的充要条件SINYXD当时，幂函数上单调递减0,在【答案】C【解析】A若“P且Q”为假，则P、Q至少有一个是假命题，正确；B命题“，”XR210X的否定是“，”，正确；C“”是“为偶函数”的充分不必XR210X2SIN2Y要条件，故C错误；D时，幂函数在上单调递减，正确故选CYX0,6【2015届吉林省吉林市高三第三次模拟考试】已知命题，则（）RPX20XA，B，RPX20XRPX20XC，D，【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以，故选BPX20X7【2015届山东省实验中学高三第一次模拟】已知条件，条件，则是|1|256QXP的（）QA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意可得，或，是是充分不必要条件，故选P13XQ2X3PQA8【2015届浙江省嘉兴市高三下学期教学测试一】已知条件，条件042X若是的充分不必要条件，则的取值范围是09622MXQPQMABCD1,4,4,1,【答案】C【解析】由题意可得，令则该函数开口向上1032XPXP2296MXF且对称轴为，所以结合图像观察若是的充分不必要条件，则应满足或3XQ401F4M9【2015届安徽省淮南一中等四校高三5月联考】已知命题“存在，使得”，P0,X02LOG31X则下列说法正确的是（）A是假命题；“任意，都有”PP1,X2LOG31XB是真命题；“不存在，使得”00C是真命题；“任意，都有”,X2LXD是假命题；“任意，都有”PP1OG31【答案】C【解析】由于所以存在，使得，即是真命题；而存在性命22LOG3L1,01,X02LOG31XP题的否定是全称命题，否定结论，所以“任意，都有”,故选P,2LXC10【2015届辽宁省锦州市高三质量检测二】下列说法不正确的是（A）若“P且Q”为假，则P、Q至少有一个是假命题（B）命题“X0R，XX0L”是“|X|0”的充分不必要条件C若PQ为假命题,则P、G均为假命题D命题P“R,使得X2X1L”，则必有“|X|0”，故是充分反之，“|X|0”，则X可取负数，这时“XL”不成立，故不是必要条件所以B正确；对C若PQ为假命题,则有可能是P、Q中一真一假，故C不正确对D因为命题“”的否定为“”，所以命题P“R,使得,APAX2X10”的否定是“01“2XRP，是正确的15【2014宿州一模】“”是“直线和直线互相垂直”的（）1M0XY0XMYA