矩阵分析在偏振光学中的应用

矩阵分析在偏振光学中的应用 摘要：本文撰写了矩阵分析在光学的一个分支偏振光学中的应用，介绍了偏振光和偏振器件的概念，研究了偏振光和偏振器件的琼斯矩阵和密勒矩阵的表示和运算方法。 关键词：矩阵；偏振光；偏振器件；琼斯矩阵；密勒矩阵 1. 引言 偏正光学时光学领域中一个很重要的分支，偏振光在光学显示，光学测试中有着不可替代的作用。矩阵作为一种数学分析计算方法，在对偏振光和偏正光学器件的描述和运算中有着十分重要的作用。描述偏振光和偏振器件有多种方式，如指数函数法，邦加球法等，用琼斯矢量和斯托克斯矢量表示光的偏振态，用琼斯矩阵和密勒矩阵表示偏振器件是一种很好的也很有效的数学方法，在一些文献中也有所涉及，但均不全面，本文从研究光的偏振含义出发，结合高等光学学习中的具体问题，系统地介绍了偏振光和偏振器件的矩阵表示方法，以及琼斯矩阵和密勒矩阵两种矩阵表示方法的联系和区别。 2. 偏振光 平面光波的矢量场可以表示为 ： 结合麦克斯韦旋度方程，运用运算关系： 可得： 进一步可得： (1) (2) 和三个矢量间构成一右手正交之矢量系统，电场矢量与磁场矢量均处在与传播方向互相垂直的平面上，平面光波为横波场。若简谐平面光波的传播方向沿着z轴，则和都在（xoy）平面内，只有x分量和y分量不等于零，则空间某一代表点上电矢量端点所描绘的曲线是下列坐标点的轨迹： (3) 上式也可以写成如下形式： （4） 为和的相位差,当a1、a2和给定后，空间任意一点处的电矢量端点随时间t变化而划出一个椭圆轨迹，式（3）或式（4）代表的波称为椭圆偏振波，这时的光波是完全偏振的，简称偏振光。且椭圆内切于边长分别为2a1、2a2的矩形，切点为和，如图1所示，椭圆的偏心率及主轴取向均由值确定。 图1 两种特殊情况： (1) 时， 椭圆偏振光退化成一条直线 ，称为线偏振光。用复数表示 1: 为实数。 (2) 且时 此时偏振光为圆偏振光。用复数表示： 右旋圆偏振光： 左旋圆偏振光： 一般椭圆的两轴并不在ox和oy方向，设角为椭圆长轴与ox方向夹角(见图1)，则经推导2椭圆的长短轴a和b可由下式决定： (5) 式中. 3.偏振光的矩阵表示： 3.1斯托克斯矢量 斯托克斯（G.G.Stokes）引入四个参量2 (6) 表示平面单色波，代表偏振光的光强，为x分量和y分量的强度差，表示偏振光的水平优先度，表示正450优先度，大于零，则表示线偏振分量较强,为右旋偏振优先度，大于零表示光波是右旋偏振态。将4个斯托克斯参量表示成阶的斯托克斯矢量 (7) 可以来描述光的偏振态，全偏振光时满足：，部分偏振光：,而对非偏振光：,正比于光强。若用角表示椭圆的取向，角表示椭圆率及转向，则有如下关系： 则偏振光又可以用邦加莱球表示6。 3.2 琼斯矢量 光的偏振态也以用琼斯矢量表示，设光在与传播方向(z方向)垂直的xoy平面中，在相互垂直的x和y方向上的分量 用偏振光矢量两个分量构成的一列矩阵表示光的偏振态，称为琼斯矢量： (8) 其中。 例：一电矢量为， 其中： 试将其表示成矩阵形式。 解：对这一电矢量： (9) 相位差为。 (1) 用斯托克斯矢量表示： 对于具体的和取值不同的偏振光，可经归一化，提出公因子，用更简洁的形式表示：（见表1） (2) 用琼斯矢量表示： 同样经归一化1，提取公因子，用简洁的形式表示：（见表1） 表1 不同偏振态的斯托克斯矢量和琼斯矢量表示 斯托克斯矢量 琼斯矢量 说明 +450线偏振 线偏振 右旋圆偏振 右旋椭圆偏振 右旋椭圆偏振 4.偏振器件的矩阵表示 上文引入了斯托克斯矢量和琼斯矢量表示光的偏振态，则当光波经一系列复杂的偏振元件，只要经简单的矩阵运算就可以得出出射光光的偏振态，这是用矩阵表示偏振的优点，在运算之前我们还必须对偏振器件也用矩阵表示，与表示光的偏振态的斯托克斯矢量和琼斯矢量相对应，可用密勒矩阵和琼斯矩阵来表示偏振器件。 4.1 密勒矩阵 若用斯托克斯矢量S表示入射光的偏振态，用斯托克斯矢量S表示经一偏振器件后相应出射光的偏振态（图1），则S可以经过一矩阵运算得到： 图 2 G S S (10) 式中矩阵M称为密勒矩阵，密勒矩阵也可以用于表示入射偏振光连续经过多个光学器件的运算：，其中为每个元件的密勒矩阵，且后经过的元件的密勒矩阵放在左边，可以用矩阵乘法来简化偏振光运算。常见偏振器件的密勒矩阵见表2。 4.2 琼斯矩阵 若用琼斯矢量J来表示光的偏振态，则光经过偏振器件后的偏振态J同样可以通过一个矩阵运算来得到： (11) 式中矩阵G称为琼斯矩阵，例如一块相位延迟为，且快轴与x轴成角波片，其琼斯矩阵可以表示为3： 琼斯矩阵同样也可以用来表示入射偏振光连续经过多个光学器件的运算：，其中为每个元件的琼斯矩阵，且后经过的元件的矩阵放在左边，常见偏振器件的琼斯矩阵见表21: 表2 常见偏振器件的密勒矩阵和琼斯矩阵 光学元件 密勒矩阵 琼斯矩阵 水平线起偏器 垂直线起偏器 +450线起偏器 -450线起偏器 1/4波片（垂直快轴） 1/4波片（水平快轴） 右旋圆起偏器 左旋圆起偏器 5.密勒矩阵和琼斯矩阵的联系和区别 斯托克斯矢量和琼斯矢量用不同的系列参数均可以用来描述光的偏振态，且可以通过两个个斯托克斯矢量相加或者两琼斯矢量相加来求计算给定偏振光波相加的结果。而用密勒矩阵和琼斯矩阵来表示偏振器件，进而以相应的矩阵运算来处理偏振光的的传播是一种非常有用的数学方法和工具，但从上文的讨论和分析可知，这两种矩阵表示和运算之间也存在着不同，如琼斯矢量用于光波间相干迭加，而斯托克斯矢量则用于光波间的非相干迭加；琼斯矩阵运算能保留偏振光位相信息，而密勒矩阵运算则不能；密勒矩阵运算能处理包含消偏在内的问题，而琼斯矩阵运算则不能等。 6.结束语 偏振问题是光学学习中的一个比较难于理解的问题，而矩阵方法在偏振光的表示和运算中有着独特的优点，本文全面系统地讨论分析了矩阵方法在偏振光的表示和运算中的应用。 参考文献： 1 蒋秀明,赵家驹,黄维实. 高等光学 上海交通大学出版社 1996. 2 M.波恩，E.沃尔夫. 光学原理（第二版）北京：科学出版社，1978. 3 梁铨廷. 偏振器件的矩阵表示.广西物理.2000第24卷.第4期. 4 王青狮，魏计林，杨型健.偏振光的MUELLER运算和JON