2016年江苏省南通市高考数学考前最后一练试卷含答案解析

第 1 页（共 24 页） 2016 年江苏省南通市高考数学考前最后一练 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分） 1已知集合 A=1， 2， 3， B=m， 3， 6， AB=2， 3，则实数 m 的值为 _ 2设复数 z=a+a， b R， i 是虚数单位），若 z（ 2 i） =i，则 a+b 的值为 _ 3如图是一个算法流程图，当输入的 x 的值为 2 时，则输出的 y 的值为 _ 4用 2 种不同的颜色给图中的 3 个圆随机涂色，每个圆只涂 1 种颜色， 则相邻的两个圆颜色均不相同的概率为 _ 5用系统抽样的方法从 480 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 480 名学生随机地编号为 1480按编号顺序平均分为 20 个组（ 1 24 号， 25 48 号， ， 457 480 号），若第 1 组用抽签的方法确定抽出的号码为 3，则第 4 组抽取的号码为 _ 6设不等式组 ，表示的平面区域 D， P（ x， y）是区域 D 内任意一点，则 3x+_ 7正四棱锥的底面边长为 ，它的侧棱与底面所成角为 60，则正四棱锥的体积为 _ 8在平面直角坐标系 ，角 的终边经过点 P（ 2， t），且 ，则实数t 的值为 _ 9已知一元二次不等式 f（ x） 0 的解集为（ ， 1） （ 2， +），则不等式 f（ 3x） 0的解集为 _ 10在平面直角坐标系 ，已知圆（ x a） 2+（ y b） 2=1（ a， b R）截直线 x+2y1=0 所得弦长为 ，则 最大值为 _ 11设直线 l 是曲线 y=4切线，则直线 l 的斜率的最小值为 _ 12在平行四边形 ，已知 ， ， 若点 P， Q 满足 =3 ， =4 ，则 的值为 _ 第 2 页（共 24 页） 13在平面直角坐标系 ，已知 A（ B（ 直线 y= x+上的两点，则 +）的 值为 _ 14已知函数 f（ x） =|x a| +a 2 有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数 _ 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分。解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15在 ，角 A， B， C 的对应边分别是 a， b， c， A B， ， A B）= （ 1）求 值； （ 2）若 c=15，求 a 的值 16如图，在四棱锥 P ， 正三角形， 直平分 足为 M， 20， B=1， ， N 为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： 平面 17某市 2015 年新建住房面积为 500 万 中安置房面积为 200 万 划以后每年新建住房面积比上一年增长 10%，且安置房面积比上一年增加 50 万 2015 年为第 1年 （ 1）该市几年内所建安 置房面积之和首次不低于 3000 万 （ 2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比例保持不变？并说明理由 18在平面直角坐标系 ，已知 A、 B 分别是椭圆 + =1（ a b 0）的上、下顶点，点 M（ 0， ）为线段 中点， a （ 1）求椭圆的方程； （ 2）设 N（ t， 2）（ t 0），直线 别交椭圆于点 P， Q，直线 斜率分别为 求证： P， M， Q 三点共线； 求证： 定值 第 3 页（共 24 页） 19已知数列 首项为 2，前 n 项和为 = （ n N*） （ 1）求 值； （ 2） 设 ，求数列 通项公式； （ 3）若 m， p， r N*， m p r）成等比数列，试比较 大小，并证明 20已知函数 f（ x） =g（ x） =2ax+a，其中 e 为自然对数的底数， a R （ 1）求证： f（ x） 0； （ 2）若存在 R，使 f（ =g（ 求 a 的取值范围； （ 3）若对任意的 x （ ， 1）， f（ x） g（ x）恒成立，求 a 的最小值 选做题 本题包括 A、 B、 C、 D 共 4 个小题。请选 定其中两个小题。若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 A选修 4何体证明选讲 21如图，四边形 圆的内接四边形， D， 延长线交 延长线于点 E，求证： 四边形 外角 平分线 B选修 4阵与变换 22已知变换 T： = ，试写出变换 T 对应的矩阵 A，并求出其逆矩阵 A 1 第 4 页（共 24 页） C选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），曲线 C 的参数方程为 （ m 为参数），若直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B 两点，求线段 长 D选修 4等式选讲 24若关于 x 的不等式 ax+b 0 的解集为（ 1， 2），求函数 f（ x） =（ a 1） +（ b 1） 的最大值 必做题 第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 25已知正六棱锥 S 底面边长为 2，高为 1，现从该棱锥的 7 个顶点中随机取3 个点构成三角形，设随机变量 X 表示所得的三角形的面积 （ 1）求概率 P（ X= ）的值； （ 2）求 X 的分布列，并求其数学期望 E（ X） 26已知（ +1） m= xm+中 m， N* （ 1）求证： 奇数； （ 2）定义： x表示不超过实数 x 的最大整数已知数列 通项公式为 n，求证：存在 无穷子数列 使得对任意的正整数 n，均有 以 4 的余数为 1 第 5 页（共 24 页） 2016 年江苏 省南通市高考数学考前最后一练 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分） 1已知集合 A=1， 2， 3， B=m， 3， 6， AB=2， 3，则实数 m 的值为 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 直接利用集合的交集关系，判断求解即可 【解答】 解：集合 A=1， 2， 3， B=m， 3， 6， AB=2， 3， 可知 2 B，可得 m=2 故答案为： 2 2设复数 z=a+a， b R， i 是虚数单位），若 z（ 2 i） =i，则 a+b 的值为 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把 z 代入 z（ 2 i） =i，展开左边，然后利用复数相等的条件列式求得 a， b 的值，则答案可求 【解答】 解： z=a+z（ 2 i） =i， （ a+ 2 i） =2a+b+（ 2b a） i=i， 则 ，解得 a= ， b= a+b= 故答案为： 3如图是一个算法流程图，当输入的 x 的值为 2 时，则输出的 y 的值为 7 【考点】 程序框图 【分析】 根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是计算变量 y 的值，并输出，根据 得答案 第 6 页（共 24 页） 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数y= 的值， 由题意： x= 2 0， 所以： y=4 （ 2） +1= 7 故答案为： 7 4用 2 种不同的颜色给图中的 3 个圆随机涂色，每个圆只涂 1 种颜色，则相邻的两个圆颜色均不相同的概率为 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 先计算出总的涂色方案，然后计算出满足题意的涂色方案，利用古典概型的概率公式计算即得结论 【解答】 解：依题意，每个圆只涂一种颜色的涂色方案共有 23 种， 要使 3 个圆中相邻两个圆的颜色不同，则 位于两端的两个矩形必须涂色相同，从而有 =2种， 故满足题意的概率 P= = ， 故答案为： 5用系统抽样的方法从 480 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 480 名学生随机地编号为 1480按编号顺序平均分为 20 个组（ 1 24 号， 25 48 号， ， 457 480 号），若第 1 组用抽签的方法确 定抽出的号码为 3，则第 4 组抽取的号码为 75 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据系统抽样的定义求出样本间隔进行求解即可 【解答】 解：用系统抽样的方法从 480 名学生中抽取容量为 20 的样本 则样本间隔为 480 20=24， 若第 1 组用抽签的方法确定抽出的号码为 3， 则第 4 组抽取的号码为 3+24 3=75， 故答案为： 75 6设不等式组 ，表示的平面区域 D， P（ x， y）是区域 D 内任意一点，则 3x+4 【考点】 简单线性规划 【 分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=3x+y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可 第 7 页（共 24 页） 【解答】 解：先根据约束条件不等式组 画出可行域， 当直线 3x+y=t 过点 A 时， 3x+y 取得最大值，由 ，可得 A（ 1， 1）时， z 最大是 4， 故答案为： 4 7正四棱锥的底面边长为 ，它的侧棱与底面所成角为 60，则正四棱锥的体积为 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由已知中正四棱锥的底面边长为 ，它的侧棱与底面所成角为 60，我们求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可求出答案 【解答】 解：由已知中正四棱锥的底面边长为 ， 故底面积 S=2 又 侧棱与底面所成角为 60， 正四棱锥的高为 故正四棱锥的体积 V= = 故答案为： 8在平面直角坐标系 ，角 的终边经过点 P（ 2， t），且 ，则实数t 的值为 4 【考点】 任意角的三角函数的定义 【分析】 根据三角函数的定义求 出 方程即可得到结论 【解答】 解： 角 的终边经过点 P（ 2， t）， ， ， 第 8 页（共 24 页） ， + = ， 即 = ，则 t 2， 平方得 = = ， 即 1 = ， 即 = ， 则 5t+4=0， 则 t=1（舍）或 t=4， 故答案为： 4 9已知一元二次不等式 f（ x） 0 的解集为（ ， 1） （ 2， +），则不等式 f（ 3x） 0的解集为 1， 【考点】 其他不等式的解法 【分析】 由已知利用补集思想求出一元二次不等式 f（ x） 0 的解集，然后得到关于 x 的不等式，求解 x 的取值集合即可得到答案 【解答】 解：由一元二次不等式 f（ x） 0 的解集为（ ， 1） （ 2， +）， 得 f（ x） 0 的解集为 1， 2， 由 30=1 3x 2， 得： 1 x ， 故 f（ 3x） 0 的解集为： 1， ， 故答案为： 1， 10在平面直角坐标系 ，已知圆（ x a） 2+（ y b） 2=1（ a， b R）截直线 x+2y1=0 所得弦长为 ，则 最大值为 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 先求出圆（ x a） 2+（ y b） 2=1 的圆心和半径，再求出圆心（ a， b）到直线 x+2y 1=0 的距离，由此概率圆（ x a） 2+（ y b） 2=1（ a， b R）截直线 x+2y 1=0 所得弦长为 ，由勾股定理和基本不等式能求出 最大值 【解答】 解： 圆（ x a） 2+（ y b） 2=1 的圆心（ a， b），半径 r=1， 第 9 页（共 24 页） 圆心（ a， b）到直线 x+2y 1=0 的距离 d= = ， 圆（ x a） 2+（ y b） 2=1（ a， b R）截直线 x+2y 1=0 所得弦长为 ， 由勾股定理得 ， 即 1= + ， a+2b=2 或 a+2b=0， 当 a 0， b 0， a+2b=2， 2（ ） 2=1， 当且仅当 a=2b=1 时， 最大值 故答案为： 11设直线 l 是曲线 y=4切线，则直 线 l 的斜率的最小值为 9 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出原函数的导函数，得到直线 l 的斜率，第二次求导后即可求得直线 l 的斜率的最小值 【解答】 解：由 y=4 y= （ x 0）， 又 =12+ 3 =9 直线 l 的斜率的最小值为 9 故答案为： 9 12在平行四边形 ，已知 ， ， 若点 P， Q 满足 =3 ， =4 ，则 的值为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 可画出图形，在 由余弦定理便可求出 ，进而得出，而根据条件可得出 ，从而进行向量数量积的运算便可求出 的值 【解答】 解：如图，在 ， ， ， ，由余弦定理得：； 第 10 页（共 24 页） ； 根据条件， ； = = = ； = = = = 故答案为： 13在平面直角坐标系 ，已知 A（ B（ 直线 y= x+上的两点，则 +）的值为 【考点】 两角和与差的正切函数 【分析】 利用已知条件通过直线与单位圆的关系求出 A、 B 坐标，然后利用两角和的正切函数求解即可 【解答】 解：由题意可得： A（ B（ 单位圆上的点，与直线 y=x+ 上的交点， ，解得 x= ， x= ， ， ， = 2 ， 第 11 页（共 24 页） 则 ， =2 +） = = = = 故答案为： 14已知函数 f（ x） =|x a| +a 2 有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数 a|a= 或 【考点】 数列与函数的综合； 函数零点的判定定理 【分析】 令 g（ x） =0，化简函数 g（ x） = ，从而不妨设 f（ x） =0 的 3个根为 论当 x a 时，求得两根， x a 时， a 1， 1 a 3， a 3，运用等差数列的中项的性质，进而确定 a 的值 【解答】 解：设 f（ x） =0，可得 |x a| +a=2， 设 g（ x） =|x a| +a， h（ x） =2， 函数 g（ x） = ， 不妨设 f（ x） =0 的 3 个根为 当 x a 时， f（ x） =0，解得 x= 1， x=3； a 1， 1， ，由等差数列的性质可得 5， 第 12 页（共 24 页） 由 f（ 5） =0，解得 a= ，满足 f（ x） =0 在（ ， a上有一解 1 a 3， f（ x） =0 在（ ， a上有两个不同的解，不妨设 中 ， 所以有 2a x =2 的两个解， 即 2a 2） x+3=0 的两个解 得到 x1+a 2， ， 又由设 f（ x） =0 的 3 个根为 差数列，且 到 2x2=， 解得： a= 或 （舍去）； a 3， f（ x） =0 最多只有两个解，不满足题意； 综上所述， a= 或 故答案为： a|a= 或 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分。解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15在 ，角 A， B， C 的对应边分别是 a， b， c， A B， ， A B）= （ 1）求 值； （ 2）若 c=15，求 a 的值 【考点】 余弦定理；两角和与差的余弦函数；正弦定理 【分析】 （ 1）由已知及三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式可求 A B）， A+B）， A+B）的值，由于 2A=（ A+B）（ A B），利用两角差的余弦函数公式即可计算得解 （ 2）由于 2得 值，利用正弦定理即可求得 a 的值 【解答】 （本题满分为 14 分） 解：（ 1） A B） = ， A B） = ， ，可得： A+B） = ， A+B） = ， A+B） +（ A B） =A+B） A B） A+B） A B） =（ ） = （ 2） 2 =1 2 第 13 页（共 24 页） 2+ = ， ， （负值舍去）， ， = ， a= = =2 16如图，在四棱锥 P ， 正三角形， 直平分 足为 M， 20， B=1， ， N 为 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： 平面 【考点】 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）根据中垂线定理得出 用正三角形的性质得出 而得出 是 平面 （ 2）取 中点 H，连结 可证明 平面 是平面 平面是 平面 【解答】 证明：（ 1） 中垂线， 20， 0， 0， ， 0 正三角形， ， 0， 0， 又 ， ， 又 面 面 B=A， 平面 （ 2）取 中点 H，连结 正三角形， N， H 是 中点， 又 面 面 H=H， 第 14 页（共 24 页） 平面 平面 平面 平面 面 平面 17某市 2015 年新建住房面积为 500 万 中安置房面积为 200 万 划以后每年新建住房面积比上一年增长 10%，且安置房面积比上一年增加 50 万 2015 年为第 1年 （ 1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于 3000 万 （ 2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比例保持不变？并说明理由 【考点】 函数解析式的求解及常用方法 【分析】 （ 1）由题意得，所建安置房面积为等差数列，由等差数列的前 n 项和公式，得到答案 （ 2）由题意得，新建住房面积是等比数列，两者做比，可得比例相等时的年份 【解答】 解：（ 1）设安置房面积形成数列 由题意可知 等差数列， 其中 00， d=50， 则 00n+ 50=2575n， 令 2575n 3000 即 n 120 0， 而 n 是正整数， n 8 该市 8 年内所建安置房面积之和首次不低于 3000 万 （ 2）设新建住房面积数列 由题意可知 等比数列， 其中 00， q= 则 00 1， 0n+150， = ， .3=n+4， n=7， 即存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比例保持不变 第 15 页（共 24 页） 18在平面直角坐标系 ，已知 A、 B 分别是椭圆 + =1（ a b 0）的上、下顶点，点 M（ 0， ）为线段 中点， a （ 1）求椭圆的方程； （ 2）设 N（ t， 2）（ t 0），直线 别交椭圆于点 P， Q，直线 斜率分别为 求证： P， M， Q 三点共线； 求证： 定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由题意知 2b=4（ b ） = ，由此能求出椭圆的方程 （ 2） 由 N（ t， 2）， A（ 0， 1）， B（ 0， 1），得直线 方程为 y= ，直线 联立方程组求出 P（ ， ）， Q（ ， ），从而 此能证明 P， M， Q 三点共线 由 ， ， ，能证明 定值 【解答】 解：（ 1） A、 B 分别是椭圆 + =1（ a b 0）的上、下顶点，点 M（ 0， ）为线段 中点， a， 由题意知 2b=4（ b ） = ， 解得 a= ， b=1， 椭圆的方程为 证明：（ 2） 由 N（ t， 2）， A（ 0， 1）， B（ 0， 1）， 得直线 方程为 y= ， 第 16 页（共 24 页） 直线 方程为 ， 由 ，解得 ， P（ ， ）， 由 ，解得 ， Q（ ， ）， 直线 斜率 = ， 直线 斜率 = ， P， M， Q 三点共线 由 知： ， ， ， = 定值 19已知数列 首项为 2，前 n 项和为 = （ n N*） （ 1）求 值； （ 2）设 ，求数列 通项公式； （ 3）若 m， p， r N*， m p r）成等比数列，试比较 大小，并证明 【考点】 数列递推式；等比数列的通项公式 第 17 页（共 24 页） 【分析】 （ 1）由 ，且 = （ n N*） n=1 时可得： = ，解得 （ 2）由 = （ n N*），可得： 41= ，当 n 2 时，利用递推关系可得： =2，化为： =1，即 bn1=1，利用等差数列的通项公式即可得出 （ 3）由（ 2）可得： = ，化为： = 利用 “累乘求积 ”可得：由 m， p， r N*， m p r）成等比数列，可得 = ，（ 4p 1） 2=164（ m+r） +1，再利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：（ 1） ，且 = （ n N*） = ，解得 （ 2）由 = （ n N*），可得： 41= ， 当 n 2 时， 41 1= ， 相减可得： 4 ， 0， 可得： =2，变形为 =2， 化为： =1， 1=1， 数列 等差数列，首项为 = ，公差为 1 +（ n 1） = 第 18 页（共 24 页） （ 3）由（ 2）可得： = ，化为： = 2= n=1时也成立 m， p， r N*， m p r）成等比数列， = = ， 化为：（ 4p 1） 2=（ 4m 1）（ 4r 1）， （ 4p 1） 2=164（ m+r） +1 168 +1= ， 4p 1 4 1， 可得 号不成立，因此 20已知函数 f（ x） =g（ x） =2ax+a，其中 e 为自然对数的底数， a R （ 1）求证： f（ x） 0； （ 2）若存在 R，使 f（ =g（ 求 a 的取值范围； （ 3）若对任意的 x （ ， 1）， f（ x） g（ x）恒成立，求 a 的最小值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）判断 f（ x）的单调性，利用单调性求出 f（ x）的最小值，即可得出结论； （ 2）令 f（ x） =g（ x），分离参数得 a= ，求出右侧函数的值域即为 a 的范围； （ 3）令 f（ x） g（ x），分离参数得 a ，则右侧函数在（ ， 1）上的最大值为 a 的最小值 【解答】 解：（ 1） f（ x） =e， 当 x 1 时， f（ x） 0，当 x 1 时， f（ x） 0， f（ x）在（ ， 1）上是减函数，在（ 1， +）上是增函数， x） =f（ 1） =0， f（ x） 0 （ 2）令 f（ x） =g（ x）得 a= ， 设 h（ x） = ，则 h（ x） = ， 第 19 页（共 24 页） 当 x 时， h（ x） 0，当 x 时， h（ x） 0， h（ x）在（ ， ）上是减函数，在（ ， +）上是增函数， h（ x） = ， h（ x） = ， h（ 1） =0， h（ x） =+，h（ x） =+ 存在 R，使 f（ =g（ a= 有解 a 0 或 a （ 3） 当 x （ ， 1）时， f（ x） g（ x）恒 成立，即 a（ 2x+1）在（ ， 1）上恒成立， a 在（ ， 1）上恒成立 由（ 2）可知 h（ x） = 在（ ， 1）上是减函数， 且 h（ x） = ， a 即 a 的最小值为 选做题 本题包括 A、 B、 C、 D 共 4 个小题。请选定其中两个小题。若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 A选修 4何体证明选讲 21如图，四边形 圆的内接四边形， D， 延长线交 延长线于点 E，求证： 四边形 外角 平分线 【考点】 弦切角 【分析】 由对顶角相等得出 据圆内接四边形的性质得出 而由 得出结论 而得证 第 20 页（共 24 页） 【解答】 证明： D 分 B选修 4阵与变换 22已知变换 T： = ，试写出变换 T 对应的矩阵 A，并求出其逆矩阵 A 1 【考点】 逆变换与逆矩阵 【分析】 由题意求得变换矩阵 T，根据二阶矩阵的求法，求得行列式丨 A 丨及其伴随矩阵，即可求得逆矩阵 A 1 【解答】 解：由题意可知设变换矩阵 T= ， = ， ，解得： ， A= ， 丨 A 丨 =1 逆矩阵 A 1= C选修 4标系与参数方程 第 21 页（共 24 页） 23在平面直角坐标系 ，已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），曲线 C 的参数方程为 （ m 为参数），若直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B 两点，求线段 长 【考点】 参数方程化成普通方程 【分析】 把参数方程分别化为普通方程，联立方程得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出 【解答】 解：直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），化为普通方程： 2 2y 3=0 曲线 C 的参数方程为 （ m 为参数） ，化为普通方程： x 联立 ，化为： 420x+9=0 x1+， | = =8 D选修 4等式选讲 24若关于 x 的不等式 ax+b 0 的解集为（ 1， 2），求函数 f（ x） =（ a 1） +（ b 1） 的最大值 【考点】 函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的解法 【分析】 由题意可得 1， 2 是方程 ax+b=0 的两根，运用韦达定理可得 a=3， b=2，即有 f（ x） =2 + ，运用柯西不等式即可得到所求最大值 【解答】 解：关于 x 的不等式 ax+b 0 的解集为（ 1， 2）， 可得 1， 2 是方程 ax+b=0 的两根， 即有 1+2=a， 1 2=b， 解得 a=3， b=2， 则函数 f（ x） =（ a 1） +（ b 1） =2 + ， 由 x 3 0， 4 x 0 可得 3 x 4， 由柯西不等式可得，（ 2 + ） 2 （ 4+1）（ x 3+4 x）， 即有 2 + 第 22 页（共 24 页） 当 2 = ，即为 x= 3， 4时，