上海市闸北区2016年高三数学二模(理)试卷及解析

闸北区2015学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分1设函数，且，则的值是 2已知集合，若，则实数的取值范围是 3如果复数满足且，其中，则的最大值是 4在直角坐标系中，已知三点，若向量，在向量方向上的投影相同，则的值是 5某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以为首项，为公比的等比数列，相应的奖金分别是以元、元、元，则参加此次大赛获得奖金的期望是 元6已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为，则 7中，分别是的对边且，若最大边长是且，则最小边的边长为 8在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为_9如右图，、是直线上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与相切于、两点，是这两个圆的公共点，则圆弧，圆弧与线段围成图形面积的取值范围是 10设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11已知与均为单位向量，其夹角为，则命题是命题的( )充分非必要条件 必要非充分条件 充分且必要条件 非充分且非必要条件12已知是球表面上的点，平面， ，则球的表面积等于（ ） 13已知数列的前项和为，对任意正整数，则下列关于的论断中正确的是（ ）一定是等差数列 一定是等比数列 可能是等差数列，但不会是等比数列 可能是等比数列，但不会是等差数列三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤14（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）在长方体中，点在棱上移动.D1.A1C1EABCDB1（1）探求等于何值时，直线与 平面成角；（2）点移动为棱中点时，求点到平面的距离15、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）某公司生产的某批产品的销售量万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足(其中，为正常数)已知生产该批产品还需投入成本万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元件（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？16（本题满分15分，第（1）小题7分，第（2）小题8分）已知函数的周期为，图象的一个对称中心为.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象（1）求函数与的解析式；（2）求证：存在，使得，能按照某种顺序成等差数列17（本题满分16分，第（1）小题8分，第（2）小题8分）若动点到定点与定直线的距离之和为（1）求点的轨迹方程，并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线，问曲线上关于点对称的不同点有几对？请说明理由18（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（2）小题8分）已知数列 ，为其前项的和，满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，数列的前项和为，求证：当时；（3）已知当，且时有，其中，求满足的所有的值高三数学（理科）期中练习卷参考答案一、 填空题1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、或填空题详解：1、解：，原式2、解：， 3、解：由可知， 取等4、解：向量，在向量方向上的投影分别为，由条件，即，：向量，在向量方向上的投影相同，即，即5、解：设获得的奖金为元，则=，6、解：，的面积为， 由椭圆定义， 代入上式得，7、解： ，最大边为又，最小边为由余弦定理解得8、解：联立方程组得，又，故所求为9、解：两圆半径时，点趋向直线，此时两圆外切时，10、解：依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。当时函数取得最小值，所以，即，解得或二、 选择题：11、 12、 13、 选择题详解：11、解：由向量几何意义知 若12、解：.由已知，球的直径为，表面积为13、解：时有，则，于是，即 又，即，数列一定不是等比数列。 若，则对任意正整数，有，它不是等比数列但它是等差数列三、解答题14、（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）解：（1）法一：长方体中，因为点在棱上移动，所以平面，从而为直线与平面所成的平面角，中，. 法二：以为坐标原点，射线依次为轴轴，建立空间直角坐标系，则点，平面的法向量为，设，得，由，得，故 （2）以为坐标原点，射线依次为轴，建立空间直角坐标系，则点， ，从而， 设平面的法向量为，由令，所以点到平面的距离为. 15、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）由题意知， 将代入化简得： （）. （2）， 上式当且仅当,即时，取等号。 当时, 促销费用投入万元时，厂家的利润最大; 当时,易证在上单调递增, 所以时,函数有最大值。综上：当时, 促销费用投入2万元，厂家的利润最大; 当时促销费用投入万元，厂家的利润最大。 16、（本题满分15分，第（1）小题7分，第（2）小题8分）解：(1)、由函数的周期为，得又曲线的一个对称中心为，故，得，所以将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以(2)、当时，所以问题转化为方程在内是否有解设，且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在零点，注：事实上可以证明这样的零点是唯一的任取，不妨 ， 又，由不等式的性质得， 又显然在内单调递增，可知函数在内存在唯一零点17、（本题满分16分，第（1）小题8分，第（2）小题8分）解：、设，由题意 ：当时，有，化简得： ：当时，有，化简得：（二次函数）综上所述：点的轨迹方程为（如图） 、当或显然不存在符合题意的对称点当时，注意到曲线关于轴对称，至少存在一对（关于轴对称的）对称点下面研究曲线上关于对称但不关于轴对称的对称点设是轨迹上任意一点，则，它关于的对称点为，由于点在轨迹上，所以，联立方程组（*）得，化简得 当时，此时方程组(*)有两解，即增加有两组对称点。 当时，此时方程组(*)只有一组解，即增加一组对称点。（注：对称点为，） 当时，此时方程组(*)有两解为，没有增加新的对称点。综上所述： 18、（本题满分